PAGE微專題81排列組合——尋找合適的模型在排列組合問題中，有一些問題如果直接從題目入手，處理起來比較繁瑣。但若找到解決問題的合適模型，或將問題進行等價的轉化。便可巧妙的解決問題一、典型例題：例1：設集合SKIPIF1<0由SKIPIF1<0個元素構成，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所有子集的個數為_______思路：可將組成子集的過程視為SKIPIF1<0中的元素一個個進行選擇，要不要進入到這個子集當中，所以第一步從SKIPIF1<0開始，有兩種選擇，同樣后面的SKIPIF1<0都有兩種選擇，所以總數SKIPIF1<0個答案：SKIPIF1<0例2：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0中有三個元素，若SKIPIF1<0中的元素可構成等差數列，則這樣的集合SKIPIF1<0共有（）個A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：設SKIPIF1<0中構成等差數列的元素為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0應該同奇同偶，而當SKIPIF1<0同奇同偶時，則必存在中間項SKIPIF1<0，所以問題轉變為只需在SKIPIF1<0中尋找同奇同偶數的情況。SKIPIF1<0同為奇數的可能的情況為SKIPIF1<0，同為偶數的可能的情況為SKIPIF1<0，所以一共有SKIPIF1<0種答案：C例3：設集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中滿足條件“SKIPIF1<0”的元素個數為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中至少有一個SKIPIF1<0，且不多于SKIPIF1<0個。所以可根據SKIPIF1<0中含0的個數進行分類討論。①五個數中有2個0，則另外3個從SKIPIF1<0中取，共有方法數為SKIPIF1<0②五個數中有3個0，則另外2個從SKIPIF1<0中取，共有方法數為SKIPIF1<0③五個數中有4個0，則另外1個從SKIPIF1<0中取，共有方法數為SKIPIF1<0所以共有SKIPIF1<0種答案：D例4：設集合SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的三元素子集中，三個元素的和分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值思路：SKIPIF1<0的三元子集共有SKIPIF1<0個，若按照題目敘述一個個相加，則計算過于繁瑣。所以不妨換個思路，考慮將這些子集中的SKIPIF1<0各自加在一起，再進行匯總。則需要統計這SKIPIF1<0個子集中共含有多少個SKIPIF1<0。以1為例，含SKIPIF1<0的子集可視為集合中有元素1，剩下兩個元素從9個數中任取，不同的選取構成不同的含1的子集，共有SKIPIF1<0個，所以和為SKIPIF1<0，同理，含2的集合有SKIPIF1<0，其和為SKIPIF1<0……，含10的集合有SKIPIF1<0個，其和為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例5：身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每個人都比他同列的身后的個子矮，則所有不同的排法種數是多少思路：雖然表面上是排隊問題，但分析實質可發現，只需要將這六個人平均分成三組，并且進行排列，即可完成任務。至于高矮問題，在分組之后只需讓個子矮的站在前面即可。從而將問題轉化為分組問題。則SKIPIF1<0（種）答案：90例6：四面體的頂點和各棱中點共10個點，則由這10點構成的直線中，有（）對異面直線A.450B.441C.432D.423思路：首先要了解一個結論，就是在一個三棱錐中存在3對異面直線，而不共面的四個點便可構成一個三棱錐，尋找不共面的四點只需用總數減去共面的四點即可。所以將問題轉化為尋找這10個點中共面四點的情況。首先4個面上共面的情況共有SKIPIF1<0，每條棱與對棱中點共面情況共有6種，連結中點所成的中位線中有3對平行關系，所以共面，所以四點共面的情況共有SKIPIF1<0種，所以四點不共面的情況有SKIPIF1<0種，從而異面直線的對數為SKIPIF1<0種答案：D小煉有話說：要熟悉異面直線問題的轉化：即異面→三棱錐→四點不共面→四點共面，從而將所考慮的問題簡單化例7：設SKIPIF1<0是整數集的一個非空子集，對于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么稱SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的一個“孤立元”，給定SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的3個元素構成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合個數是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：首先要理解“SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，意味著“獨立元”不含相鄰的數，元素均為獨立元，則說明3個元素彼此不相鄰，從而將問題轉化為不相鄰取元素問題，利用插空法可得：SKIPIF1<0種答案：C例8：圓周上有20個點，過任意兩點連接一條弦，這些弦在圓內的交點最多有多少個思路：本題可從另一個角度考慮交點的來源，一個交點由兩條弦構成，也就用去圓上4個點，而這四個點可以構成一個四邊形，在這個四邊形中，只有對角線的交點是在圓內，其余均在圓上，所以有多少個四邊形就會有多少個對角線的交點，從而把交點問題轉化為圓上的點可組成多少個四邊形的問題，所以共有SKIPIF1<0個答案：SKIPIF1<0個例9：一個含有10項的數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則符合這樣條件的數列SKIPIF1<0有（）個A.30B.35C.36D.40思路：以SKIPIF1<0為入手點可得：SKIPIF1<0，即可視為在數軸上，SKIPIF1<0向左或向右移動一個單位即可得到SKIPIF1<0，則問題轉化為從SKIPIF1<0開始，點向左或向右移動，總共9次達到SKIPIF1<0，所以在這9步中，有且只有2步向左移動1個單位，7步向右移動1個單位。所以不同的走法共有SKIPIF1<0種，即構成36種不同的數列答案：36種例10：方程SKIPIF1<0的正整數解有多少組？非負整數解有多少組？思路：本題可將10理解為10個1相加，而SKIPIF1<0相當于四個盒子，每個盒子里裝入了多少個1，則這個變量的值就為多少。從而將問題轉化為相同元素分組的模型，可以使用擋板法得：SKIPIF1<0種；非負整數解相當于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，所以考慮進行化歸：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0這四個盒子非空即可。所以使用擋板法得：SKIPIF1<0種答案：正整數解有84種，非負整數解有286種二、歷年好題精選1、在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則在該實驗中程序順序的編排方法共有（）A．144種B．96種C．48種D．34種2、現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數為（）A.232B.252C.472D.4843、在1，2，3，4，5這五個數字所組成的允許有重復數字的三位數中，其各個數字之和為9的三位數共有（）A.16個B.18個C.19個D.21個4、把座位號為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數為（）A．96B．240C．48D．405、某班組織文藝晚會，準備從SKIPIF1<0等8個節目中選出4個節目演出，要求：SKIPIF1<0兩個節目至少有一個選中，且SKIPIF1<0同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的和數為（）A．1860B．1320C．1140D．10206、某班一天中有SKIPIF1<0節課，上午SKIPIF1<0節課，下午SKIPIF1<0節課，要排出此班一天中語文、數學、英語、物理、體育、藝術SKIPIF1<0堂課的課程表，要求數學課排在上午，藝術課排在下午，不同排法種數為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07、用0、1、2、3、4這五個數字組成無重復數字的五位數，其中恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的五位數的個數是（）A．48B．36C．28D．128、某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（）種A．24B．48C．96D．1149、（2014重慶八中一月考，2）要從SKIPIF1<0名男生和SKIPIF1<0名女生中選出SKIPIF1<0人組成啦啦隊，若按性別分層抽樣且甲男生擔任隊長，則不同的抽樣方法數是 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010、（2015，廣東文），若集合：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示集合SKIPIF1<0中的元素個數，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2014，浙江）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種12、（2014，安徽）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對B．30對C．48對D．60對13、（2014，重慶）某次聯歡會要安排3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是()A．72B．120C．144D．16814、（2014，廣東）設集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中滿足條件“SKIPIF1<0”的元素個數為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<015、（2016，哈爾濱六中上學期期末考試）高一學習雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的學生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數為()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<016、集合SKIPIF1<0的4元子集SKIPIF1<0中，任意兩個元素差的絕對值都不為1，這樣的4元子集SKIPIF1<0的個數有_____個習題答案：1、答案：B解析：SKIPIF1<0相鄰則考慮使用整體法，程序SKIPIF1<0有要求所以先確定SKIPIF1<0的位置，共有2種選法，然后排剩下的元素SKIPIF1<0，再排SKIPIF1<0間的順序SKIPIF1<0，所以總數為SKIPIF1<02、答案：C解析：考慮使用間接法，16張卡片任取3張共有SKIPIF1<0種，然后三張卡片同色則不符合要求，共有SKIPIF1<0種，然后若紅色卡片有2張則不符合要求，共有SKIPIF1<0種，所以不同的取法種數為：SKIPIF1<03、答案：A解析：可按重復數字個數進行分類討論，若沒有重復數字，則數字只能是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，三位數共有SKIPIF1<0個；若有兩個重復數字，則數字為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，三位數有SKIPIF1<0個；若三個數字相同，則只有333，所以SKIPIF1<04、答案：A解析：5張票分給4個人，則必有一人拿兩張票，所以先確定哪個人有兩張票，共SKIPIF1<0種選擇，然后確定給哪兩張連號的票，共4種情況，剩下的票分給3人即可。所以SKIPIF1<05、答案：C解析：由題可知可分為兩類：第一類SKIPIF1<0只有一個選中，則還需從剩下6個里選出3個節目，然后全排列，所以不同的演出順序有SKIPIF1<0；第二類，SKIPIF1<0同時選中，則還需從剩下6個里選出2個，然后SKIPIF1<0不相鄰則進行插空，所以不同演出順序有SKIPIF1<0。綜上SKIPIF1<06、答案：B解析：先排數學與藝術各有3種共9種，其余的4個科目全排列有SKIPIF1<0種，所以SKIPIF1<07、答案：C解析：根據題意，在0，1，2，3，4中有3個偶數，2個奇數，可以分3種情況討論：（1）0被奇數夾在中間，先考慮奇數1、3的順序，有2種情況；再將1、0、3看成一個整體，與2、4全排列，有SKIPIF1<0種情況；故0被奇數夾在中間時，有SKIPIF1<0種情況；（2）2被奇數夾在中間，先考慮奇數1、3的順序，有2種情況；再將1、2、3看成一個整體，與0、4全排列，有SKIPIF1<0種情況，其中0在首位的有2種情況，則有SKIPIF1<0種排法；故2被奇數夾在中間時，有SKIPIF1<0種情況；（3）4被奇數夾在中間時，同2被奇數夾在中間的情況，有8種情況，則這樣的五位數共有12+8+8=28種.8、答案：D解析：由題可知，5個人住三個房間，每個房間至少住一人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩種，當為（3,1,1）時，有SKIPIF1<0種，A、B住同一房間有SKIPIF1<0種，故有SKIPIF1<0種，當為（2,2,1）時，有SKIPIF1<0種，A、B住同一房間有SKIPIF1<0種，故有SKIPIF1<0種，根據分類計數原理共有SKIPIF1<0種9、答案：A解析：由分層抽樣可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生擔任隊長，則還需要出3名男生，所以SKIPIF1<010、答案：D解析：分別統計SKIPIF1<0中元素的個數，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0可取的值由SKIPIF1<0的值決定，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0分別可選SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0種，當SKIPIF1<0時；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種；當SKIPIF1<0時；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種；當SKIPIF1<0時；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種，所以共計SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，可知SKIPIF1<0一組，SKIPIF1<0一組，按照SKIPIF1<0的計算方式可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的選擇各