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發展學生幾何直觀的意義及教學實踐

首都師范大學劉曉玫

2課程目標的結構課程目標概述具體闡述知識技能數學思考問題解決情感態度學段目標第一學段第二學段第三學段總體目標3課程目標的四個維度知識技能數學思考問題解決情感態度課程目標的具體闡述4數學思考：建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維。體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。對幾何直觀的認識直觀就是當人們接觸事物時，借助于觀察、經驗、想象等所產生的對事物及其關系直接的感知與認識。而幾何直觀則是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生的對事物的性質或數量關系的直接感知與認識。幾何直觀是一種運用圖形認識事物的能力。56《標準》（2011年版）中

幾何直觀的含義幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。6“幾何直觀”的意義20世紀最偉大數學家希爾伯特（Hilbert）在名著“直觀幾何”一書中談到，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。7荷蘭數學教育家弗萊登塔爾也指出，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！?借助圖形描述事物，就可以把抽象的問題直觀化，使人們更容易地了解其內在的性質和規律；另外，利用圖形還可以找到解決問題的途徑和方法。反過來，能否恰當地用圖形描述你對一個抽象的問題的理解，也是檢驗你對事物認識或對知識理解與否的一種方式。9幾何直觀在研究、學習數學中都是非常重要的。幾何直觀是借助圖形對事物的認識，那么對圖形的學習與認識以及運用圖形的意識和能力就是幾何直觀的基礎了。因此，無論是在“圖形與幾何”領域的學習還是在其他領域的學習中，都應重視幾何直觀的培養。1011在教學中如何培養學生的

“幾何直觀”幾何直觀存在于各個數學學習領域中代數——函數圖象、列方程的線段圖統計——各種統計圖有意培養學生通過畫圖說明問題和解決問題的意識。11幾何直觀包括在已有的圖形中利用其蘊含的信息，發現問題、解決問題；也包括在沒有圖形的情況下，根據已有信息繪制圖形解釋和說明并進一步解決問題。12

利用幾何直觀解讀概念、體現量之間的關系（公式、法則等）；利用幾何直觀解決問題，等等1314圖115圖10圖11案例1.這是一節圓周角的起始課，引入概念、剖析定義中的關鍵詞、探索并證明圓周角定理，…，一切進行的比較順利。在鞏固概念的環節，教師的一道看似平常的小題，卻讓初次認識圓周角的一個高個男生不知所錯了。16老師出示的問題是：已知∠AOB=1000，問∠ACB的度數。學生：∠ACB=500教師：這個角是什么角，它與已知角是什么關系，那么，找一找，和它在同一弧上的圓心角是哪個角呢？那你知道這個角是多少了嗎？（圖見下頁）1718案例2.若點A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）在反比例函數y=的圖像上，則下列結論正確的是（）A.y1>y2>y3B.y3>y1>y2C.y2>y1>y3D.y3>y2>y119很多學生的解答方法是將四個點的橫坐標代入，然后比較四個數的大小，也就是說這樣的一個題目的完成完全轉變成了代數的運算和數的比較大小。然而函數學習中借助圖像解決問題的思路和方法是很重要的，教師們也都贊同這一點，但是在遇到具體問題時，我們應該如何處理，如何讓學生們體會到圖像的意義？這還需要老師們的真正對它的認識。20案例3.從四個三角形中找出與左面圖形相似的圖形。21由于有些同學錯選了圖形D這個答案，所以教師帶領學生們試圖分析說明圖形D與左面的圖形是不相似的。在解釋和說明兩個圖形不相似的過程中，教師引領學生證明（2）不是直角三角形，為此，引輔助線、用銳角三角函數等等，經過計算，得出1不是直角，進而兩個圖形不相似。其實，想證明1不是直角借