3公式法

第1課時(shí)運(yùn)用平方差公式因式分解

知識(shí)點(diǎn)1直接運(yùn)用平方差公式因式分解

1?(2020?金華)下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是()

A,a2+b-B.2a—b2

C?a2—b2D.—a2—b2

2?已知多項(xiàng)式x?+a能用平方差公式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，那么在下列四個(gè)數(shù)中a

可以等于()

A-9B.4C.-1D.-2

3?把多項(xiàng)式(x—1)2—4因式分解的結(jié)果是()

A?(x+3)(x+1)B.(x+1)(x—3)

C-(x-1)(x+3)D.(x-5)(x+3)

4-因式分解：

(1)(2020?紹興)1一x2=；

(2)(2020?張家界)X2-9=；

(3)(2019?黔東南)9x2—y2=.

5.把下列各式因式分解：

(1)9m2-4n2；

(2)—16+a2b2；

(4)(x—2y)2—4y2.

知識(shí)點(diǎn)2先提公因式后運(yùn)用平方差公式因式分解

6?對(duì)a2b-b3因式分解，結(jié)果正確的是()

A,b(a+b)(a—b)B.b(a—b)2

C-b(a2-b2)D.b(a+b)2

7-因式分解：

(1)(2020?濟(jì)寧)a3-4a=；

(2)(2019■黃岡)3x2—27y2=__________________________

(3)(202().黃石)m3n_mn3=__________________________

8?把下列各式因式分解：

(1)16m3—mn2；

(2)a2(a—b)—4(a—b).

知識(shí)點(diǎn)3用平方差公式因式分解的應(yīng)用

9?如圖，在邊長(zhǎng)為6.75cm的正方形紙片上，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3.25cm的小正方形，則

圖中陰影部分的面積為()

A13.5cm2

B-12.25cm2

C-27cm2

D-35cm2

10?若m2—n2z=6）且m—n=2，則m+n=.

11?已知長(zhǎng)方形的面積是9a2—16（a>?若一邊長(zhǎng)為3a+4則另一邊長(zhǎng)為.

易錯(cuò)點(diǎn)因式分解不徹底導(dǎo)致出錯(cuò)

12?（2019?畢節(jié)）分解因式：X4-16=.

13?如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線

剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個(gè)正確的等式是（）

A.(a-b)2=a2-2ab+b2

B?a(a—b)=a2—ab

C,(a—b)2=a2—b2

D?a2—b2—(a+b)(a-b)

14?對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式(n+7)2-(n-3)?的值都能()

A?被20整除B.被7整除

C?被21整除D.被(n+4)整除

15-因式分解：

(1)(X—8)(x+2)+6x=；

(2)-9x2+(x-y)2=；

(3)m2(a-2)+(2~a)=.

16?若a+b=4，a-b=l，則(a+1)2-(b-l)2的值為

17?把下列各式因式分解：

(1)(2019?河池)(x-1)2+2(X-5)；(2)0.36x2—49y2；

(3)a3b-16ab；(4)3m4-48；

(5)xn-xn+2；(6)(y+2x)2-(x+2y)2；

(7)a2(a_b)+b2(b—a).

18?如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧

數(shù)”.如4=22~02-12=42~22，20=62-42>因此，4，12，20都是“和諧數(shù)”.

36和2020這兩個(gè)數(shù)是“和諧數(shù)”嗎？為什么？

第2課時(shí)運(yùn)用完全平方公式因式分解

知識(shí)點(diǎn)1完全平方式

1?下列式子中是完全平方式的是()

A-a2+ab+b~B.a?+2a+2

C-a2-2b+b2D.a2+2a+l

2?(1)若x2-6x+k是完全平方式，則k=9；

(2)若x?+kx+4是完全平方式，則k=±4；

(3)若x2+2xy+m是完全平方式，則m=yS

知識(shí)點(diǎn)2直接運(yùn)用完全平方公式因式分解

3?下列各式中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是()

A-x2+x+lB.X2+2X—1

C,x2—1D.x2—2x+l

4?把下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是()

A-4a2+4a+l=(2a+l)2

B-a2-2a+4=(a-2)2

C?a2—2a—1—(a—1)2

D-a2-b2=(a-b)2

5-因式分解：

(1)(2019?溫州)m2+4m+4=；

(2)a2—2ab+b2=.

6?把下列完全平方式因式分解：

(1)y2+y+^；(2)4x2+y2—4xy；(3)(m—n)2+6(in—n)+9.

知識(shí)點(diǎn)3先提公因式后運(yùn)用完全平方公式因式分解

7?把代數(shù)式3x3—12x?+12x因式分解，結(jié)果正確的是()

A-3X(X2-4X+4)B.3X(X-4)2

C-3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2

8?因式分解:

(1)(2019?威海)2X2—2X+3=；

(2)(2019?綿陽)m2n+2mn2+n3-=

(3)(2019?眉山)3a3-6a?+3a=.

9?把下列各式因式分解：

(1)—x2+6xy—9y2；(2)a3+9ab2—6a2b.

易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)完全平方式理解不透

10?在多項(xiàng)式4X2+1中，添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)

式是.（寫出一個(gè)即可）

11?計(jì)算1252-50X125+252的結(jié)果為（）

A-100B.150

C-10000D.22500

12?下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法因式分解的有.

a2+b2；②4x2+4x+l；③-x?—y2；x2+8x_16；@x4—1；@m2+4m—4.

13?若m=2n+1，貝?。輓?—4mn+4n?的值是.

14?（教材P94習(xí)題T4變式）將圖1中兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形（它

的直角邊等于前兩個(gè)三角形的斜邊）拼接成一個(gè)梯形（如圖2），請(qǐng)根據(jù)拼接前后面積的關(guān)系

寫出一個(gè)關(guān)于a，b的多項(xiàng)式的因式分解：.

15.把下列各式因式分解：

(1)(a—b)2+4ab；(2)-2a3b2+8a2b2-8ab2：

(3)4X2-(X2+1)2；(4)25—30(x—y)+9(x—y)2；

(5)(x2—2xy+y2)+(—2x+2y)+1.

16?(教材P105復(fù)習(xí)題T6變式)若a+b=—3，ab=l，求;a%+a2b的值.

17?下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(X2—4X+2)(X2-4X+6)+4進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)X2—4x—y>

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y?+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x2—4x+4)2.(第四步)

(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的()

A-提取公因式

B?平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D-兩數(shù)差的完全平方公式

(2)該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的x的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果.這個(gè)

結(jié)果是否分解到最后？查(填“是”或"否”).如果否，直接寫出最后的結(jié)果；

(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(X：—2x)(x2—2x+2)+1進(jìn)行因式分解.

18?上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同

學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式X2+4X+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)

出如下解答方法：

解：X2+4X+5=X2+4X+4+1=(X+2)2+l.

V(x+2)2)0，

當(dāng)x=-2時(shí)，(x+2)2的值最小，最小值是0.

，(x+2)2+1)1.

，當(dāng)x=-2時(shí)>X2+4X+5的最小值是1.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題：

(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式x2—6x+12的最小值是；

(2)知識(shí)運(yùn)用：若y=-x?+2x-3，當(dāng)x=U寸，y有最大值(填“大”或“小”)，這個(gè)

值是;

(3)知識(shí)拓展：若一x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值.

第3課時(shí)運(yùn)用特殊方法因式分解

知識(shí)點(diǎn)1利用十字相乘法因式分解

1,閱讀理解：由多項(xiàng)式乘法：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq＞將該式從右到左使

用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，示

例：分解因式：X2+5X+6=X2+(2+3)X+2X3—(X+2)(x+3).

問題解決：分解因式：

(1)X2+5X+4=；

(2)X2-6X+8=；

(3)X2+2X-3=；

(4)X2-6X-27=.

拓展訓(xùn)練：分解因式：

(1)2X2+3X+1=；

(2)3X2-5X+2=.

2?分解因式：

(1)x2—2x-8=；

(2)2X2-10X-12=.

知識(shí)點(diǎn)2利用分組分解法因式分解

3?【閱讀材料】分解因式：mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+

y(m+n)=(m+n)(x+y).以上分解因式的方法稱為分組分解法.對(duì)于四項(xiàng)多項(xiàng)式的分組，

可以是“二、二分組(如此例)"，也可以是“三、一(或一、三)分組”.

根據(jù)以上閱讀材料解決問題：

【跟著學(xué)】分解因式：

a3-b3+a2b—ab2=(a3+)—(b3+)

=a?()—(a+b)

=()(a+b)

【我也可以】分解因式：

(1)4x2—2x—y2—y；(2)a2+b2—9+2ab.

4-若x2+kx+20能在整數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則k可取的整數(shù)值有()

A?2個(gè)B.3個(gè)

C?4個(gè)D.6個(gè)

5?將下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)X3-7X2-30X；(2)(2019?齊齊哈爾)a2+l-2a+4(a-1)；

(3)(m'+2m)-—7(m_+2m)—8；(4)(a—b)2+3(a—b)(a+b)—10(a+b)

6■已知在4ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，請(qǐng)判斷4ABC

的形狀并證明你的結(jié)論.

【變式】變式點(diǎn)：變換條件

若4ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則4ABC的形狀

是.

參考答案：

第1課時(shí)運(yùn)用平方差公式因式分解

知識(shí)點(diǎn)1直接運(yùn)用平方差公式因式分解

1?(2020?金華)下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是(C)

A,a2+b2B.2a—b2

C?a2—b2D.—a2—b2

2?己知多項(xiàng)式x?+a能用平方差公式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，那么在下列四個(gè)數(shù)中a

可以等于(C)

A-9B.4C.-1D.-2

3?把多項(xiàng)式(x—1)2—4因式分解的結(jié)果是(B)

A-(x+3)(x+1)B.(x+1)(x-3)

C-(x-1)(x+3)D.(x-5)(x+3)

4-因式分解：

(1)(2020?紹興)l-x2=(l-x)(1+x)；

(2)(2020?張家界)X2-9=(X+3)(X-3)；

(3)(2019?黔東南)9X2~V2^(3X+V)(3x-y).

5?把下列各式因式分解：

(1)9m2-4n2；

解:原式=(3m+2n)(3m—2n).

(2)—16+a2b2；

解：原式=(ab+4)(ab—4).

9，,

(3)n；

解：原式=gm+n)(1m—n).

(4)(x—2y)2—4y2.

解：原式=(x—2y+2y)(x—2y—2y)

=x(x—4y).

知識(shí)點(diǎn)2先提公因式后運(yùn)用平方差公式因式分解

6?對(duì)a2b-b3因式分解，結(jié)果正確的是(A)

A?b(a+b)(a—b)B.b(a—b)2

C-b(a2-b2)D.b(a+b)2

7-因式分解：

(1)(2020?濟(jì)寧)a'—4a=a(a+2)(a—2)；

(2)(2019?黃岡)3X2-27V2^3(X+3V)(X-3V)；

(3)(2020?黃石)m%—mn3=mn(m+n)(m—n).

8.把下列各式因式分解：

(1)16m3-mn2；

解：原式=m(4m+n)(4m-n).

(2)a2(a-b)—4(a—b).

解：原式=(a—b)(a+2)(a—2).

知識(shí)點(diǎn)3用平方差公式因式分解的應(yīng)用

9?如圖，在邊長(zhǎng)為6.75cm的正方形紙片上，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3.25cm的小正方形，則

圖中陰影部分的面積為(D)

A-3.5cm2

B-12.25cm2

C-27cm2

D-35cm2

10?若m2—n2=6，且m—n=2，則m+n=3.

,4

11?已知長(zhǎng)方形的面積是9a2-16(a>,)，若一邊長(zhǎng)為3a+4，則另一邊長(zhǎng)為3a—4.

易錯(cuò)點(diǎn)因式分解不徹底導(dǎo)致出錯(cuò)

12?(2019?畢節(jié))分解因式：xJ6=(x2+4)(x+2)(x-2).

13?如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線

剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個(gè)正確的等式是(D)

A.(a-b)2=a2-2ab+b2

B?a(a—b)=a2—ab

C,(a—b)2=a2—b2

D,a2-b2=(a+b)(a—b)

14?對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式(n+7)2—6一3)?的值都能(A)

A-被20整除B.被7整除

C?被21整除D.被(n+4)整除

15-因式分解：

(1)(X—8)(x+2)+6x=(x+4)(x—4)；

(2)—9x2+(x—y)2=—(4x—y)(2x+y)；

(3)m2(a—2)+(2—a)=(a—2)(m+1)(m—1).

16,若a+b=4、a—b=1?則(a+1)2—(b—1)?的值為12.

17-把下列各式因式分解：

(1)(2019?河池)(x—l)2+2(X-5)；

解：原式=x?—2x+1+2x—10

=X2—9

=(x+3)(x—3).

(2)0.36x2-49y2；

解：原式=(0.6x)2-(7y)2

=(0.6x+7y)(0.6x-7y).

(3)a3b—16ab；

解：原式=ab(a?-16)

=ab(a+4)(a—4).

(4)3m4—48；

解：原式=3(m4一16)

=3(11?+4)(m2-4)

=3(m2+4)(m+2)(m—2).

nn+2

(5)x-x;

解：原式=x(-x2)

=xn(l+x)(1—x).

(6)(y+2x)2—(x+2y)2；

解：原式=[(y+式)+(x+2y)][(y+2x)—(x+2y)]

=(y+2x+x+2y)(y+2x—x—2y)

=(3x+3y)(x—y)

=3(x+y)(x—y).

(7)a2(a—b)+b2(b—a).

解：原式=a?(a—b)—b2(a—b)

=(a2—b2)(a—b)

=(a—b)2(a+b).

18■如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧

數(shù)”.如4=22~02>12=42~^22，20=62-42-因此，4，12，20都是“和諧數(shù)”.

36和2020這兩個(gè)數(shù)是“和諧數(shù)”嗎？為什么？

解：36和2020都是和諧數(shù).

理由如下：

設(shè)a=(n+2)2—n2=(n+2—n)(n+2+n)=2(2n+2)=4(n+I)>

令36=4(n+I)，解得n=8.

A36=102-82.

同理：令2020=4(n+l)，解得n=504.

.?.2020=5062-5042.

第2課時(shí)運(yùn)用完全平方公式因式分解

知識(shí)點(diǎn)1完全平方式

1?下列式子中是完全平方式的是(D)

A?a2+ab+b-B.a2+2a+2

C-a2-2b+b2D.a2+2a+l

2-(1)若x2-6x+k是完全平方式，則k=9；

(2)若x2+kx+4是完全平方式，則k=±4；

(3)若C+Zxy+m是完全平方式，則m=《.

知識(shí)點(diǎn)2直接運(yùn)用完全平方公式因式分解

3?下列各式中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是(D)

A,x2+x+1B.x?+2x—1

C-x2-lD.X2-2X+1

4■把下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是(A)

A-4a2+4a+l=(2a+l)2

B-a2-2a+4=(a-2)2

C,a2-2a—1—(a-1)2

D-a2-b2=(a-b)2

5?因式分解：

(1)(2019?溫州)m2+4m+4^(m+2)2；

(2)a2~2ab+b2=(a~b)2.

6-把下列完全平方式因式分解：

,1

(1)y+丫+不

解：原式=(y+3)2.

(2)4x2+y2—4xy；

解：原式=(2x)2+y2-2-2x-y

=(2x—y)，

(3)(m-n)2+6(m-n)+9.

解：原式=(m—n—3)2.

知識(shí)點(diǎn)3先提公因式后運(yùn)用完全平方公式因式分解

7?把代數(shù)式3x3—12x2+12x因式分解，結(jié)果正確的是①)

A,3x(x2—4x+4)B.3x(x—4)2

C-3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2

8.因式分解：

(1)(2019?威海)2x2—2x+,斗2xT)?；

(2)(2019?綿陽)m2n+2mn2+n3=n(m+n)2；

(3)(2019?眉山)3a3-6a2+3a^3a(a-l)2.

9?把下列各式因式分解:

(I)—x2+6xy—9y，

解：原式=—(x?—6xy+9y2)

=—(x—3y)2.

(2)a3+9ab2—6a2b.

解：原式=a(a2+9b2—6ab)

=a(a—3b)2.

易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)完全平方式理解不透

10?在多項(xiàng)式4X2+1中，添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)

式是±4x或4x4(寫出一個(gè)即可)

11?計(jì)算1252-50X125+252的結(jié)果為(C)

A-100B.150

C-10000D.22500

12-下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法因式分解的有①②④⑤.

①一a2+b2；②4x?+4x+l；③-x2—y2；④-x2+8x—16；⑤x"-1；@m2+4m—4.

13,若m=2n+l?貝！Jn?—4mn+4n?的值是

14?(教材P94習(xí)題T4變式)將圖1中兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形(它

的直角邊等于前兩個(gè)三角形的斜邊)拼接成一個(gè)梯形(如圖2)，請(qǐng)根據(jù)拼接前后面積的關(guān)系

寫出一個(gè)關(guān)于a，b的多項(xiàng)式的因式分解：ab+1(a2+b2)-X(a+b)2.

-------2r------------------Zr-------------

15.把下列各式因式分解：

(1)(a—b)2+4ab；

解：原式=a?—2ab+b?+4ab

=a2+2ab+b2

=(a+b)2.

(2)-2a3b2+8a2b2-8ab2；

解：原式=-2ab2(a?—4a+4)

=-2ab2(a-2)2.

(3)4X2-(X2+1)2；

解：原式=(2x+x2+l)(2x—x2—1)

=-(x+l)2(x-l)2.

(4)25-30(x-y)+9(x-y)2；

解：原式=52-2X5X3(x-y)+[3(x-y)]2

=[5—3(x—y)]2

=(5-3x+3y)2.

(5)(x2—2xy+y2)+(—2x+2y)+1.

解：原式=(x—y)2—2(x—y)+1

—(x—y—1)2.

16?(教材P105復(fù)習(xí)題T6變式)若a+b=-3-ab=l，求%3b+a2b2+同？的值.

解：當(dāng)a+b=-3'ab=l時(shí)，

原式=Jab(a2+2ab+b2)

1,

=/ab(a+b)

1,

=1XlX(-3)2

_9

-2-

17?下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2—4x+2)(X2-4X+6)+4進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)X2—4x=y1

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y?+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(x?—4x+4)2(第四步)

(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的(C)

A?提取公因式

B?平方差公式

C-兩數(shù)和的完全平方公式

D?兩數(shù)差的完全平方公式

(2)該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的x的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果.這個(gè)

結(jié)果是否分解到最后？查(填“是”或“否”).如果否，直接寫出最后的結(jié)果(x—2):

(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2—2x)(x2—2x+2)+1進(jìn)行因式分解.

解：原式=(x?—2x)2+2(X2—2x)+1

=(X2-2X+1)2

=(x—1)4.

18?上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同

學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x?+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)

出如下解答方法：

解：X2+4X+5=X2+4X+4+1=(x+2)2+l.

V(x+2)220，

...當(dāng)x=-2時(shí)，(x+2)2的值最小，最小值是0.

/.(x+2)2+1^1.

當(dāng)x=-2時(shí)，X2+4X+5的最小值是I.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題：

(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)*=工時(shí)，代數(shù)式x2—6x+12的最小值是壬

(2)知識(shí)運(yùn)用：若y=-x?+2x—3，當(dāng)x=J、t，y有最大值(填“大”或“小”)，這個(gè)

值是二2；

(3)知識(shí)拓展：若一x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值.

解：-x2+3x+y+5—0,

.*.x+y=x2—2x—5—(x—1)2-6.

V(x-l)220，

(x—1)2_62_6.

...當(dāng)x=l時(shí)，y+x的最小值為一6.

第3課時(shí)運(yùn)用特殊方法因式分解

知識(shí)點(diǎn)1利用十字相乘法因式分解

1,閱讀理解：由多項(xiàng)式乘法：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，將該式從右到左使

用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，示

例：分解因式：X2+5X+6=X2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).

問題解決：分解因式：

(1)X2+5X+4=(X+1)(X+4)；

(2)x?—6x+8=(x—2)(X—4)；

(3)X2+2X—3=(x+3)(x—1)；

(4)X2-6X_27=(X-9)(X+3).

拓展訓(xùn)練：分解因式：

(1)2x?+3x+l=(2x+l)(x+1)；