此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除焦半徑公式的證明【尋根】橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義： 到兩定點 F1，F(xiàn)（2|F1F2|=2c）距離之和為定值 2a（2a>2c）的動點軌跡（圖形） .這里，從橢圓的“根上”找到了兩個參數(shù) c和a.第一個參數(shù) c，就確定了橢圓的位置； 再加上另一個參數(shù) a，就確定了橢圓的形狀和大小 .比較它們的“身份”來，c比a更“顯貴”.遺憾的是，在橢圓的方程 里，卻看不到 c的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本”之嫌 .為了“正本”，我們回到橢圓的焦點處，尋找 c，并尋找關于 c的“題根”.一、用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式數(shù)學題的題根不等同數(shù)學教學的根基，數(shù)學教學的根基是數(shù)學概念，如橢圓教學的根基是橢圓的定義.但是在具體數(shù)學解題時，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學定義引出來的某些已知結論（定理或公式）出發(fā)，如解答橢圓問題時，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā) .只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【例1】 已知點 P（x，y）是橢圓 上任意一點， F1（ -c,0 ） 和 F2(c,0) 是 橢 圓 的 兩 個 焦 點 . 求 證 ：|1|=a+；|2|=aPFPF- .只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【分析】 可用距離公式先將 |PF1|和|PF2|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消 y”即可.【解答】 由兩點間距離公式，可知|PF1|=(1)從 橢 圓 方 程 解 出只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(2)代（2）于（1）并化簡，得|PF1|= (-a≤x≤a)只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除同理有 |PF2|= (-a≤x≤a)【說明】 通過例1，得出了橢圓的焦半徑公式r1=a+exr2=(e=)a-ex從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點 P（x,y）橫坐標的一次函數(shù) . r1是x的增函數(shù)，r2是x的減函數(shù)，它們都有最大值 a+c,最小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質 （關于x,y軸，關于原點）.只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除二、用橢圓的定義求橢圓的焦點半徑用橢圓方程推導焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的.為了看清焦半徑公式的基礎性，我們考慮從橢圓定義直接導出公式來 .橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標化”后的產物 ,按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可 .【例2】P(x,y)是平面上的一點，P到兩定點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）的距離的和為2a（a>c>0）.試用x，y的解析式來表示r1=|1|和r2=|2|.PFPF【分析】問題是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可視x為參數(shù)列出關于r1和r2的方程組，然后從中得出r1和r2.【解答】 依題意，有方程組只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除②-③得代①于④并整理得 r1-r2=⑤聯(lián)立①，⑤得只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【說明】橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導出，對橢圓的方程有自己的獨立性.由于公式中含c而無b，其基礎性顯然.三、焦半徑公式與準線的關系用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點 P（x，y）是以F1（-c,0）為焦點，以 l1：x=- 為準線的橢圓上任意一點 .PD⊥l1于D.按橢圓的第二定義，則有只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.對中學生來講，橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”.準線缺乏定義的“客觀性” .因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質定理更符合邏輯性 .【例3】（，）是以1（-c，0），2（，0）為焦點，以距離之和為2a的橢圓上任意一點.直線l為PxyFFc只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除x=- ，PD1⊥l交l于D1.求證：.【解答】由橢圓的焦半徑公式|1|=+ex.PFa對|PD1|用距離公式只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除|PD1|=x- =x+.故有 .【說明】 此性質即是：該橢圓上任意一點，到定點 F1（-c,0）（F2（c,0））與定直線只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除l:x=-(l2：1x= )的距離之比為定值 e（0<e<1）.四、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分，只完成了“從曲線到方程”的單向推導，實際上這只完成了任務的一半 .而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學生（關于這一點，被許多學生所忽略了可逆推導過程并不簡單 ,特別是逆過程中的兩次求平方根） .其實，有了焦半徑公式， “證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明 .只供學習與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【例4】 設點P（x，y）適合方程 .求證：點 P（x，y）到兩定點 F1（-c,0）和F2（c，0）的距離之和為 2a（c2=a2-b2）.【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程 .利用例 2導出的焦點半徑公式，很快可推出結果 .【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距離設作 r1=|PF1|.由橢圓的焦點半徑公式可知r1=a+ex ①同理還有r2=a-ex ②①+②得r1+2=2ra即 | PF1|+|P