第2課時空間向量與垂直關系第1頁問題引航1.線線、線面、面面垂直時對應直線方向向量及平面法向量間有哪些關系?2.怎樣用向量方法證實線線垂直、線面垂直、面面垂直?第2頁空間垂直關系向量表示設直線l,m方向向量分別為a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),平面α,β法向量分別為u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3),則位置關系向量關系向量運算關系坐標關系l⊥m____________a1b1+a2b2+a3b3=0l⊥α_________________a1=λu1,a2=λu2,a3=λu3α⊥β_____u·v=0u1v1+u2v2+u3v3=0a⊥ba·b=0a∥ua=λu,λ∈Ru⊥v第3頁1.判一判(正確打“√”,錯誤打“×”)(1)若兩直線方向向量數量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.()(2)若一直線與平面垂直,則該直線方向向量與平面內全部直線方向向量數量積為0.()(3)兩個平面垂直則其中一平面內直線方向向量與另一平面內直線方向向量垂直.()第4頁【解析】(1)錯誤.兩直線方向向量垂直,則這兩條直線垂直,但它們不一定相交也可能異面.(2)正確.由直線與平面垂直定義知,若直線與平面垂直,則直線與平面內全部直線都垂直.故直線方向向量與平面內全部直線方向向量數量積為0.(3)錯誤.兩垂直平面內直線可能相交也可能平行,故此種說法錯誤.答案:(1)×(2)√(3)×第5頁2.做一做(請把正確答案寫在橫線上)(1)若直線l1方向向量為u1=(1,3,2),直線l2上有兩點A(1,0,1),B(2,-1,2),則兩直線位置關系是

.(2)若直線l方向向量為a=(1,0,2),平面α法向量為n=(-2,0,-4),則直線l與平面α位置關系為

.(3)已知兩平面α,β法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β位置關系為

.第6頁【解析】(1)因為=(1,-1,1),又u1·=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,故兩直線位置關系為垂直.答案:垂直(2)因為a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),所以n=-2a,即a∥n.所以l⊥α.答案:垂直(3)因為u1·u2=(1,0,1)·(0,2,0)=0,所以兩平面法向量垂直,即兩平面垂直.答案:垂直第7頁【關鍵點探究】知識點空間垂直關系向量表示空間中線、面垂直關系與向量關系三種類型(1)空間兩直線垂直:分為相交垂直和異面垂直,都能夠轉化為兩直線方向向量相互垂直.(2)直線與平面垂直:空間直線與平面垂直可轉化為直線方向向量與平面法向量共線關系.第8頁(3)兩個平面垂直:兩個平面垂直可轉化為兩個平面法向量相互垂直.第9頁【微思索】(1)確定直線方向向量兩種方法是什么?提醒:一是用空間一個基底表示,二是建立空間直角坐標系,寫出方向向量坐標.(2)用向量法證實空間線、面垂直關系關鍵是什么?提醒:需要確定直線方向向量和平面法向量,然后把證實線、面垂直關系轉化為向量間關系.第10頁【即時練】設a,b分別是不重合直線l1,l2方向向量,平面α法向量是v,依據以下條件判斷l1,l2及平面α位置關系.(1)a=(5,0,2),b=(0,1,0);(2)a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8).(3)a=(2,0,3),v=(1,-4,-3).第11頁【解析】(1)因為a=(5,0,2),b=(0,1,0),所以a·b=0,a⊥b,所以l1⊥l2.(2)因為a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8),所以a與b不共線也不垂直.所以l1與l2相交或異面.(3)因為a=(2,0,3),v=(1,-4,-3),所以a與v既不共線也不垂直,所以l1與α斜交.第12頁【題型示范】類型一向量法處理線線垂直問題【典例1】(1)(·天津高二檢測)已知空間三點A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直線AB上一點M,滿足CM⊥AB,則點M坐標為

.第13頁(2)如圖,△ABC中,AC=BC,D為AB邊中點,PO⊥平面ABC,垂足O在CD上,求證:AB⊥PC.第14頁【解題探究】1.題(1)中，點M滿足條件有哪些？2.題(2)中，向量能否作為基底？用向量法怎樣證實直線AB⊥PC？【探究提醒】1.點M滿足兩個條件：一是A，B，M共線，二是CM⊥AB.2.因為向量不共面所以能夠作為基底.若要證實直線AB⊥PC可經過判斷兩直線方向向量數量積是否為0去證實.第15頁【自主解答】(1)設M(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由點M在直線AB上得與共線即x=－λ，y=λ，z－1=0，又CM⊥AB，向量與向量數量積為0，即·=0得-(x－1)+(y－2)=0，第16頁聯立得所以x＝－，y＝，z＝1，所以點M坐標為答案：第17頁(2)設由條件知，v是平面ABC法向量，所以v·a＝0，v·b＝0，因為D為AB中點，所以＝(a＋b)，因為O在CD上，所以存在實數λ，使第18頁因為CA＝CB，所以|a|＝|b|，所以＝(b－a)·[(a+b)+v]＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v＝(|b|2-|a|2)＋b·v－a·v＝0，所以所以AB⊥PC.第19頁【方法技巧】1.利用向量法證實線線垂直往往轉化為證實直線方向向量垂直，即證實它們方向向量數量積為0.證實關鍵是建立恰當空間直角坐標系，正確地表示出點坐標進而求直線方向向量．第20頁2.應用線線垂直求點坐標策略(1)設出點坐標.(2)利用點滿足條件建立與坐標相關方程.(3)經過解方程方法求出點坐標.第21頁3.用向量法證實垂直問題三個關鍵點關鍵點1：建立恰當坐標系，空間直角坐標系是把圖形與數字建立聯絡橋梁，選擇好適當坐標系能夠有效地減化運算；關鍵點2：轉化，經過向量運算研究空間中線線、線面、面面間垂直關系.關鍵點3：“翻譯”，把向量運算結果翻譯成空間元素位置關系.第22頁【變式訓練】在棱長為a正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上動點,且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.【解題指南】依題意建立空間直角坐標系，求出點A1，F，C1，E坐標，表示出向量與計算值進而判斷兩直線關系.第23頁【證實】以O為坐標原點建立如圖所表示空間直角坐標系，則A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設AE＝BF＝x，則E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．因為＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，所以即A1F⊥C1E.第24頁【賠償訓練】已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，點M，N分別是棱BB′與對角線CA′中點．求證：MN⊥A′C；MN⊥BB′.【解題指南】正方體是特殊幾何體，從一頂點出發三條棱相互垂直，故先建系，再求出點坐標，最終只要驗證＝0，＝0即可．第25頁【證實】設正方體棱長為1,以A為原點,AB,AD,AA′所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則第26頁M(1，0，)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A′(0，0，1)，B′(1，0，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，0，1)．因為·(1，1，－1)＝0，·(0，0，1)＝0，所以MN⊥A′C；MN⊥BB′.第27頁類型二向量法處理線面垂直問題【典例2】(1)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為()第28頁(2)(·石家莊高二檢測)如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.證實：AB⊥平面VAD.第29頁【解題探究】1.題(1)中由BP⊥平面ABC可得向量與向量關系是什么？與向量關系是什么？2.題(2)中若以D點為坐標原點怎樣建系？【探究提醒】1.向量與向量垂直，與向量垂直.2.因為VAD為正三角形且平面VAD與平面ABCD垂直，所以能夠以DA，DC為x軸，y軸，以平行于三角形VAD中AD邊上高線直線為z軸建系.第30頁【自主解答】(1)選B.＝3＋5－2z＝0，所以z＝4.又BP⊥平面ABC，所以＝x－1＋5y＋6＝0，①＝3x－3＋y－3z＝0，②由①②得第31頁(2)以D為坐標原點，建立如圖所表示坐標系.不妨設A(1，0，0)，則B(1，1，0)，=(0，1，0)，由=0，得AB⊥VA，又AB⊥AD，因而AB與平面VAD內兩條相交直線VA，AD都垂直.所以AB⊥平面VAD.第32頁【方法技巧】用向量法證實線面垂直方法及步驟(1)基向量法.①確定基向量作為空間一個基底,用基向量表示相關直線方向向量;②找出平面內兩條相交直線方向向量,并分別用基向量表示;③分別計算相關直線方向向量與平面內相交直線方向向量數量積,依據數量積為0,證得線線垂直,然后由線面垂直判定定理得出結論.第33頁(2)坐標法.方法一:①建立空間直角坐標系;②將直線方向向量用坐標表示;③找出平面內兩條相交直線,并用坐標表示它們方向向量;④分別計算兩組向量數量積,得到數量積為0;方法二:①建立空間直角坐標系;②將直線方向向量用坐標表示;③求出平面法向量;④判斷直線方向向量與平面法向量平行.第34頁【變式訓練】(·成都高二檢測)在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.(1)設平面PAB∩平面PCD=m,求證:CD∥m.(2)求證:BD⊥平面PAC.第35頁【證實】(1)因為AB∥CD,CD?平面PAB,AB?平面PAB,所以CD∥平面PAB.因為CD?平面PCD,平面PAB∩平面PCD=m,所以CD∥m.(2)因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,第36頁則B(4，0，0)，P(0，0，4)，D(0，，0)，C(2，，0)，所以=(-4，，0)，=(2，，0)，=(0，0，4)，所以=(-4)×2+×+0×0=0，=(-4)×0+×0+0×4=0，所以BD⊥AC，BD⊥AP.因為AP∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.第37頁【賠償訓練】在棱長AB=AD=2,AA1=3長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是平面BCC1B1上動點,點F是CD中點.試確定點E位置,使D1E⊥平面AB1F.第38頁【解析】建立空間直角坐標系如圖，則A(0，0，0)，F(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，設E(2，y，z)，則＝(2，y－2，z－3)，＝(1，2，0)，＝(2，0，3)，因為D1E⊥平面AB1F，所以即解得所以E(2，1，)即為所求．第39頁類型三向量法處理面面垂直問題【典例3】(1)平面α,β法向量分別為m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,則k等于

.(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分別是棱AA1,BB1,A1B1中點.①求證:CE∥平面C1E1F.②求證:平面C1E1F⊥平面CEF.第40頁【解題探究】1.題(1)中由α⊥β則平面α,β法向量關系怎樣?2.題(2)中怎樣建立空間直角坐標系?【探究提醒】1.若α⊥β,則平面α,β法向量垂直,其數量積為0.2.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.第41頁【自主解答】(1)由α⊥β知,m·n=0.所以-2-8-2k=0,解得k=-5.答案:-5(2)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設BC=1,則C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1第42頁①設平面C1E1F法向量n＝(x，y，z)．因為＝(1，，0)，＝(－1，0，1)，所以即取n＝(1，2，1)．因為＝(1，－1，1)，n·＝1－2＋1＝0，所以⊥n.又因為CE?平面C1E1F，所以CE∥平面C1E1F.第43頁②設平面EFC法向量為m＝(a，b，c)，由＝(0，1，0)，＝(－1，0，－1)，所以即取m＝(－1，0，1)．因為m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.第44頁【延伸探究】若題(2)條件不變，求證：CF⊥平面C1EF.【證實】由例題可知，E(1，0，1)，F(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，所以＝(1，0，1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，0)．所以＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0，＝1×0＋0×1＋1×0＝0.所以所以CF⊥C1F，CF⊥EF.因為C1F∩EF＝F，所以CF⊥平面C1EF.第45頁【方法技巧】證實面面垂直兩種方法(1)常規法：利用面面垂直判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證實.(2)向量法：證實兩個平面法向量相互垂直．第46頁【變式訓練】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為,側棱長為4,E,F分別是棱AB,BC中點,EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.第47頁【解題指南】先設出平面B1EF法向量為n=(x,y,z),再利使用方法向量與平面內向量垂直建立方程組求出法向量坐標,可用賦值法處理.第48頁【證實】以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,第49頁由題意知：D(0，0，0)，設平面B1EF法向量為n＝(x，y，z)．則n·＝－y－4z＝0，n·＝0.解得x＝y，z＝令y＝1得n＝(1，1，)，平面BDD1B1一個法向量為而n·即n⊥所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.第50頁【賠償訓練】如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求證：平面ADE⊥平面ABE.第51頁【證實】取BE中點O,連接OC,又AB⊥平面BCE,所以以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.如圖所表示．則由已知條件有C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)．第52頁設平面ADE法向量為n＝(a，b，c)，則n·＝(a，b，c)·(0，)＝-2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.令b＝1，則a＝0，c＝，所以n＝(0，1，)，又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE，所以AB⊥OC，因為BE⊥OC，AB∩BE于點B，所以OC⊥平面ABE，所以平面ABE法向量可取為m＝(1，0，0)．因為n·m＝(0，1，)·(1，0，0)＝0，所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE.第53頁【規范解答】利用向量證實垂直關系【典例】(12分)(·北京高二檢測)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,C1B1中點,G為CC1上任一點,tan∠ECD=4.(1)求證:AG⊥EF.(2)在CC1上是否存在點G,使AG⊥面CEF,并說明理由.第54頁【審題】抓信息,找思緒第55頁【解題】明步驟,得高分第56頁第57頁【點題】警誤區,促提升失分點1:若在①處不能很好地利用條件tan∠ECD=4.借助∠ECD=∠CEC1,設出CC1與EC1長度值,則本例將