“三會”在教學過程中的案例分析——以“完全平方公式與平方差公式”教學為例摘要：“三會”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的三大核心素養，既表現出教師對數學教學的過程，也表現了學生對數學學習的生成過程。完全平方公式與平方差公式的學習與教學過程主要體現了“觀察--思考---表達”的過程。關鍵詞：核心素養三會完全平方公式平方差公式1.引言2022年5月，《義務教育數學課程標準（2022年版）》發布，數學新課標在目標設定中，明確了學科核心素養的導向，提出了數學學科的三大核心素養，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）[1]。“三會”就是學生面對現實情景的問題，從數學的角度去分析與思考，最后推出一個比較滿意的問題解決的過程[3]。通過對數學新課標的學習與理解，筆者將“三會”核心素養與課堂教學進行聯系，發現“三會”對學生的數學學習有較深較清晰的學習效果，本文筆者以滬科版七年級下冊第八章8.3“完全平方公式與平方差公式”的教學為例，對“三會”進行教學分析。2.教學展示案例1完全平方公式觀察探索一個邊長為a的正方形菜地的邊長擴大b,求變化后正方形菜地的面積。（1）觀察圖經歷探索能在圖中分割得到圖（2）經歷觀察，給出圖中正方形面積的不同表示：（a+b）2和a2+2ab+b2教師：它們相等嗎？計算并歸納（1）計算(a+b)2（2）計算(a-b)2（3）在計算(a+b)2中將b換成-b結果如何？學生活動：利用多項式乘法的法則計算(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2這兩個公式就叫做完全平方公式，用語言描述是：兩數和（或差）的平方等于這兩數的平方和，加上（或減去）這兩個數乘積的2倍[2]。圖形驗證請設計一個圖形，通過面積割補的方法驗證完全平方公式,以和的平方為例可以看成邊長為a的正方形分成了4小塊，其中S4是邊長為b的正方形的面積,S1+S4是長為a,寬為b的長方形的面積，S3+S4也是長為a,寬為b的長方形的面積，S2是邊長為（a-b）的正方形的面積。可知S1+S2+S3+S4=a2S4=b2S1+S4=abS3+S4=abS2=(a-b)2S2=(S1+S2+S3+S4)-(S1+S4)-(S3+S4)+S4=a2-ab-ab+b2則(a-b)2=a2-2ab+b2。以上的教學片段主要是基于幾何圖形直觀得出關于圖形面積的結論，然后要求學生針對這個結論思考兩個問題。問題1:能否將幾何結論運用于代數運算中，即能否將圖形的面積用整式來替換。問題2:能否為“結論性知識”尋找到“過程性算理”，最后將上述思考的結果用數學語言表示出來。這可分為順次遞推的三個環節。首先，要求學生會用數學的眼光來觀察這兩個特殊的多項式的乘法算式和幾何圖形的結構特點。要求學生從兩個角度觀察擴大后的菜地。一是整體觀察即邊長為(a+b)的正方形，它的面積為(a+b)2。二是局部觀察擴大后看成4小塊，其中有2塊是正方形面積分別為a2和b2，剩余2塊是形狀相同的長方形，面積是ab。雖然觀察角度不同，但都表示同一個正方形的面積，因此得到(a+b)2=a2+2ab+b2[4]。其次,要求學生思考:幾何中基于圖形直觀得到的關于面積的結論(a+b)2=a2+2ab+b2，是否可作為代數中多項式與多項式的乘法法則?這里學生必須思考清楚兩個問題:①將幾何中表示長度的幾何量a,b引申為代數中的單項式;②(a+b)2=a2+2ab+b2的運算過程及其算理，其中算理就是教材上所敘述的。最后,要求學生將上述兩個問題思考清楚之后把結果準確表達出來。教材提供三種表示形式,教學中應要求學生掌握。符號語言:(a±b)2的結果可以看作由(a±b)的每一項乘(a±b)的每一項,再把所得的積相加而得（過程性語言或算法化語言），即(a±b)2=a2±2ab+b2（結論性語言）。文字語言:兩數和（或差）的平方等于這兩數的平方和，加上（或減去）這兩個數乘積的2倍[2]。幾何語言：學生通過畫圖割補拼接的方式直觀感受完全平方差公式的正確性。由此可見，“完全平方公式”的教學與學習過程充分體現了“三會”的特征。案例2平方差公式關于平方差公式，教材內容片段如下：思考：1.由多項式乘法計算：（1）（3m+1）（3m-1）（2）（x2+y）（x2-y）2.你能得到(a+b)(a-b)的計算公式嗎？這個公式稱為平方差公式，用語言如何表述？3.你能設計一個圖形來說明上面公式嗎？以上教材片段主要從三個角度探究平方差公式的生成過程，即：（1）用數學的眼光觀察思考問題1多項式相乘的特點；（2）用數學的思維思考符合相同結構的多項式乘法，從特殊到一般是否成立；（3）用數學的語言歸納平方差公式。基于以上三點筆者分析如下：1.要求學生用數學眼光觀察等式，通過直觀想象到數學抽象。由多項式乘法計算：（1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd（2）（a+2）（a+2）=a2+4a+4（3）（x+1）（x-1）=x2-1（4）（3m+1）（3m-1）=9m2-1（5）（x2+y）（x2-y）=x4–y2具體來說，可以從兩個角度進行觀察:（1）既要觀察其中的每個等式，還要從整體上觀察5個等式，教學中應引導學生從逐個觀察到整體觀察;（2）既要觀察同類的也要觀察不同類的（3）教學中引導學生觀察兩個二項式相乘，積可以是兩項、三項或四項，觀察怎樣的兩個二項式相乘，積是兩項。（4）教學中應要求學生積極思考觀察到的結果，觀察上述后三個等式發現:等式左邊是兩個數的和與這兩個數的差積，右邊是這兩個數的平方差，并且是相同項的平方減去相反項的平方。2.用數學的思維思考符合相同結構的多項式乘法，從特殊到一般是否成立；猜想：（a+b）（a-b）=a2-b2如何來推導這個等式呢？（1）代數推導：利用多項式乘法的法則計算（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2歸納：把（a+b）（a-b）=a2-b2稱為平方差公式。（2）幾何驗證：引導學生構造出面積是（a+b）（a-b）和a2-b2的幾何圖形，然后，發現這兩塊圖形面積相等，從而驗證等式成立。其實，學生剛開始只會構造面積是a2-b2的圖形，卻構造不出面積是（a+b）（a-b）的圖形；或只構造出面積是（a+b）（a-b）的圖形，卻構造不出面積是a2-b2的圖形。后來老師先示范一種方法如下：則（a+b）（a-b）=a2-b2得到驗證。經過分組探究合作，學生得到如下幾種方法：方法1：沿對角線分割，拼接成如下3種情況。矩形面積：(a+b)(a-b)都可以驗證(a+b)(a-b)=a2-b2這個結論。空白部分的面積，從整體看是a2-b2，從部分來看是4個完全相同梯形的面積之所以(a+b)(a-b)=a2-b2得到驗證.空白部分的面積，從整體看是a2-b2，從部分來看是2個直角梯形和1個等腰梯形所以(a+b)(a-b)=a2-b2方法4：空白部分的面積是a2-b2，割補得到的，其面積可表示所以(a+b)(a-b)=a2-b2得到驗證。學生在幾何驗證的過程中，分組合作，通過畫圖、拼圖驗證公式成立，建立代數與幾何圖形之間的關聯，培養了學生的數形結合的思想，從而更直觀地理解平方差公式的多元表征，使學生在學習新知識的過程中知其然而知其所以然，何以知其所以然。動手操作開發了學生的動手動腦的能力，激發了學生的學習興趣，在獲得知識的過程中，感受到成功的喜悅與成就感。（3）要求學生用數學語言表達結果。在教師引導下學生將思考的結果用數學符號或文字語言來表示。數學符號:（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2文字語言:兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。通過上述分析可以看出,要求學生通過觀察5個等式，以歸納的思維方式發現后三個等式的共同規律，并將其用數學符號、文字語言、幾何驗證表示出來，是典型的“三會”過程。這個過程，既是學生解決問題的過程，更是學生建構新知的過程。因此，在教學中，教師應該按照“觀察-思考-表達”這一進展過程來設計與實施。3．結語：從完全完全平方公式和平方差公式的教學過程可以看出，教材編寫遵循“三會”的過程。學生學習新知識的過程就是“三會”的過程，這個過程既是體現學生數學核心素養的過程，更是發展學生數學核心素養的過程。因此，教師在教學設計時，應依據“觀察—思考—表達”的基本流程和主要環節為學生設計教學活動，還