第6章自由空間中的電磁波

1.散度的概念2.旋度的概念3.梯度的概念1.麥克斯韋方程及內(nèi)涵2.坡印廷矢量及內(nèi)涵3.時諧場的概念第一部分第二部分主要內(nèi)容回顧自由空間是一個沒有電荷因而也就不存在電流的空間。這并不是說在整個空間中沒有源存在，而只是指在我們所感興趣的區(qū)域不存在源，這個區(qū)域應有=0和=0。

這樣，一般形式的麥克斯韋方程式組就變得特別簡單，即為：自由空間？自由空間中存在著電波（波）和磁波（波）？表明：變化的電場產(chǎn)生變化的磁場，變化的磁場產(chǎn)生變化的電場，二者相互依存。1.電波4.波的極化本章教學內(nèi)容3.自由空間中的平面電磁波2.

磁波5.電磁波譜1.電波、磁波的導出

3.定義波的極化2.描述平面電磁波重點難點波的極化電場磁場通過交流電流電力線λ(波長)前進方向觀看波形圖電場與磁場1.波的數(shù)學形式6.１波的數(shù)學描述自變量為（z-vt）的函數(shù)f（z-vt）表示以速度

v沿著Z方向傳播的行波（Travelingwave）

沿著Z方向傳播的行波

以速度v向前傳播的波任何變量為(z-vt)的函數(shù)所描述的波是隨時間變化沿著z軸正方向傳播;任何變量為(z+vt)的函數(shù)所描述的波則是隨時間變化沿著z軸負方向傳播

則表示一個隨時間和空間變化的任意函數(shù)，例如，力、位移或概率。

表示函數(shù)的傳播速度例：試證滿足一維波動方程

證明：首先考慮函數(shù)

則有問題以和為變量的函數(shù)滿足一維波動方程？二階導數(shù)

函數(shù)對時間的導數(shù)則為

所以有

這就是一維波動方程根據(jù)疊加定理，我們就證明了滿足一維波動方程。

并且對于函數(shù)，也可以得出類似的結(jié)果。

6.2均勻平面波與三維波動方程定義平面波，是三維波中最簡單的一種。這個波在空間傳播過程中，對應于任意時刻t，在其傳播空間具有相同相位的點所構(gòu)成的等相位面（也稱為波陣面）為平面，于是就稱其為平面波。

波前進方向觀看波形圖均勻平面波是研究起來最簡單同時也是最容易理解的。均勻（Uniform）:在任意時刻，在所在的平面中場的大小和方向都是不變的。理解在距離電磁波的激勵源很遠處，球面波陣面上的一小部分可視為平面，該處的電磁波可稱為均勻平面電磁波。

或三維波動方程：三個一維波疊加起來所得到結(jié)果也將會滿足三維波動方程證明：（三個一維波疊加）（代入三維波動方程）類似地有

這樣便證明了函數(shù):

滿足三維波動方程

6.3電波與磁波

已知方程二兩邊取旋度得假設是空間和時間無關的函數(shù),那么我們就可以將上式右邊的運算順序交換,并在其左邊運用矢量三重積恒等式，有

與上一節(jié)中給出的三維波動方程形式相同

關于電波麥克斯韋方程組說明：在自由空間存在著電波，對其所作的唯一的限制是它在自由空間必須以光速傳播。由于上式還可表示為此式又被稱為亥姆霍茲方程（Helmholtzequation）。注意：式中不存在關于t的一階項，表明…………隨時間變化的磁場能產(chǎn)生時變的電場。即盡管上述方程只涉及到電場,但從第二章的內(nèi)容可知，伴隨著電場必定同時存在著一個磁場,這正是麥克斯韋方程組告訴我們的。……表明電波在自由空間傳播時不衰減。亥姆霍茲磁場方程的導出變化的電場產(chǎn)生磁場兩邊取旋度得假設是空間和時間無關的函數(shù),左邊運用矢量三重積恒等式，有

與上一節(jié)相類似的推導，我們可以推斷在自由空間中也存在著以光速傳播的磁波

亥姆霍茲磁場方程式中不存在一階項，表明磁波在自由空間傳播時也不衰減。關于磁波目的6.4自由空間中的平面電磁波

研究平面單色（單波長）波（planemonochromaticwave）,探索E波和B波在自由空間的傳播過程中是如何相互關聯(lián)的。

6.4.1隨時間變化的波該式表示一種隨時間變化的波,即角頻率為ω的正弦波,它只在Z方向上傳播，由于其頻率一定，我們稱這種波為平面“單色”波。將該平面“單色”波的函數(shù)代入一般的三維電波方程得作為一個矢量方程，上式包含了三個常微分方程,每一個分別對應著一個分矢量

，其方程形式為：根據(jù)高等數(shù)學知識，由于f僅為z的函數(shù)，f對z二次微分后與本身僅差一個常數(shù)，所以，方程的解必為z的指數(shù)函數(shù)，設為：式中K和β都是常數(shù)，從β所具有的性質(zhì)看，我們稱其為相位常數(shù)，通過代入方程解得：或物理意義：＋z方向傳播的波與－z方向傳播的波疊加其中的±符號表示K是兩個可能的任意常數(shù)因此

平面波可表示為由此可以看出±號的意義：表示了波沿著Z軸正方向傳播和沿著Z軸負方向傳播。或其中表示一個任意的常矢量或即結(jié)論：方程解中常數(shù)C所包含的±號分別表示了波沿著Z軸正方向傳播和沿著Z軸負方向傳播。一旦確定了任意常矢量，電場波傳播的方向也就隨之而定。即電波將會隨著時間的變化而沿著確定的傳播方向以正弦波的形式向前傳播。因為6.4.2均勻平面電磁波的特性

其中而平面電波的分量都與x,y無關

其中由麥克斯韋第一方程可知,平面電波沒有沿z軸的分量，即在波的傳播方向上不存在電場分量,換句話說,平面電波是橫波。

所以已知是一個常量，要使上式對任意z與t均成立,則只有由如果存在一個隨時間變化的E場，那么同時必將會出現(xiàn)一個場，在自由空間中，這兩種場的關系為

平面電波不存在Z分量式中代表，也類似。對時間積分可得

式中，不是x,y的函數(shù),所以分量必定為0表示與電磁波在空間傳播時與電場相伴而產(chǎn)生的磁場。由于我們感興趣的是“波”，即隨時間變化的量，所以上式中的“積分常數(shù)”可以置零。因此,伴隨著平面電波的磁場為同樣，由于波在傳播的Z方向上沒有分量,所以它也是橫波。那么,電波、磁波與傳播方向三者之間關系如何呢？即考慮用叉乘有所以，和一定是相互垂直的，而且兩者都垂直于波的傳播方向。另外，由于的大小與大小相同,所以和的大小滿足：將其代入到第2章的洛倫茲力表達式中：電荷受到的力幾乎完全取決于電場除非…定義根據(jù)E波和B波的表達方程發(fā)現(xiàn),電場E和磁場B是空間沿著傳播的正負方向相互垂直的兩條軸線,當波在自由空間中傳播時,其方向不會發(fā)生變化,換而言之,場不會發(fā)生旋轉(zhuǎn),傳播的方向也不會改變。

電場和磁場相對于傳播方向來說都是橫向波，這種波稱為橫向電磁波（TransverseElectromagneticWave）或簡稱為TEM波。練習：對于某一平面電波，我們已經(jīng)得出了若干結(jié)論，但對于某一平面磁波，看看你是否也能得出同樣的結(jié)論電磁波的產(chǎn)生與變化

電波磁波通過交流電流電力線λ(波長)前進方向觀看波形圖

在自由空間中傳播的平面電磁波的電場為試求磁場強度

解：因為題中所給電場是沿+Z方向傳播的，電磁波能流密度矢量也是沿+Z方向的，因此磁場應取方向。而

A/m例題故對比可知：相位常數(shù)（傳播系數(shù)）

傳播方向為+Z方向，電場方向為x方向。由波數(shù)公式所以

波長

解：平面電磁波的一般表達式為

已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場為

試求此波的波長、頻率、相速度、磁場強度以及平均能流密度矢量例題

在自由空間，相速頻率因為所以為求平均坡印廷矢量，須先將場量寫成復數(shù)形式：

解：（1）波沿+Z軸方向傳播;（rad/m）試求（1）

及傳播方向；（2）E

的表達式；（3）S

的表達式；巳知自由空間中例題V/m（3）

（2）6.5波的極化

其中在空間中的一點，電場可表示為均勻平面波是橫波，即對于沿著z方向傳播的波來說，其場量沒有z方向的分量，但卻可以有x、y方向的分量，如和。并且以及波的傳播方向三者之間構(gòu)成了一個相互垂直的正交系統(tǒng)

式中分別為和的振幅，分別為和的相位。定義均勻平面波傳播過程中，在某一波陣面上，電場矢量的振動狀態(tài)隨時間變化的方式為波的極化(或稱為偏振)一般情況下，和這兩個分量的振幅和相位不一定相同，所以在同一波陣面上，合成場量的矢量的振動狀態(tài)（大小和方向）隨時間變化的方式也就不同。極化（polarization）通常是用電場矢量的尖端在空間隨時間變化的軌跡來描述的。定義1.如果矢量的尖端在一條直線上運動，稱之為線極化波。

2.如果矢量的尖端的運動軌跡是一個圓，則稱之為圓極化波。

3.橢圓極化波：電場的尖端的運動將描繪出一個橢圓。（1）如果用右手的拇指指向波傳播的方向，其它四指所指的方向正好與電場矢量運動的方向相同，這個波就是右旋極化波。

（2）如果用左手的拇指指向波傳播的方向，其它四指所指的方向正好與電場矢量運動的方向相同，這個波就是左旋極化波。4.無一定極化的波，如光波，通常稱為隨機極化波。

一般橢圓極化波方程推導

注意上式分別平方后相加得這是一個非標準形式的橢圓方程，它表明一般情況下和的合成波矢量的端點軌跡為一橢圓，即合成波為橢圓極化波。

將兩式分別乘以和后相減得

將兩式分別乘以和后相減得

特殊情形情況1

（直）線極化(1)或

這是直線方程，它說明:平面波在自由空間傳播時，在不同時刻、不同位置，電場強度的兩個分量雖取不同的值，但其電場矢量的端點總是在一條直線上變化（如右圖所示）.所以該波是線極化波，該直線在第一、三象限。線極化波(1)

當，其中為整數(shù)，則橢圓方程變?yōu)?/p>

情況2

（直）線極化(2)這也是直線方程，其電場矢量的端點也是在一條直線上變化，該直線在第二、四象限，如下圖所示，所以該波也是線極化波。線極化波(2)當，其中為整數(shù)，則橢圓方程變?yōu)?/p>

或直線（電場）和x軸之間的夾角滿足

分析情況3

右旋圓極化右旋圓極化波當，并且

，則橢圓方程變?yōu)?/p>

這是一個以為半徑的圓的方程，故為圓極化波。

電場與x方向的夾角將由動點坐標和決定即從上式可以看出，由于kz是一個與時間無關的常量，所以角將隨時間t的增加而變大，即電場與x軸的夾角將隨時間t的增加而變大，這時電磁波在傳播方向上以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，在空間向右旋轉(zhuǎn)著螺旋前進，因此，將這種波稱為右旋圓極化波。分析情況4

左旋圓極化左旋圓極化波

當，并且

，則橢圓方程變?yōu)?/p>

這也是一個以為半徑的圓的方程，故為圓極化波。

電場與x方向的夾角將由動點坐標和決定即從上式可以看出，由于kz是一個與時間無關的常量，所以角將隨時間t的增加而減小，即電場與x軸的夾角將隨時間t的增加而變小，這時電磁波在傳播方向上以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，在空間向左旋轉(zhuǎn)著螺旋前進，因此，將這種波稱為左旋圓極化波。分析情況5

右旋橢圓極化這是一個標準的橢圓方程，故為橢圓極化波。右旋橢圓極化波當，但

，則方程變?yōu)?/p>

電場與x方向的夾角將由動點坐標和決定即從上式可以看出，當時，與相比，的相位超前，因此在一個固定點上，將先達到最大值，然后才輪到達到最大值。這說明，隨著時間的推移，電場的矢量端點按照逆時針方向向右掃出了一個橢圓，于是將這種波稱為右旋橢圓極化波。分析情況6

左旋橢圓極化左旋橢圓極化波當，但

，則方程變?yōu)?/p>

這是一個標準的橢圓方程，故為橢圓極化波。電場與x方向的夾角將由動點坐標和決定即從上式可以看出，當時，與相比，的相位超前，因此在一個固定點上，將先達到最大值，然后才輪到達到最大值。這說明，隨著時間的推移，電場的矢量端點按照逆時針方向向左掃出了一個橢圓，于是將這種波稱為左旋橢圓極化波。總結(jié)1.線極化和圓極化都可看成是橢圓極化的特殊情況。當橢圓的長短軸相等時，橢圓極化變成圓極化。當橢圓的短軸縮為零時，橢圓極化退化為線極化。2.任一橢圓極化波均可分解為兩個極化方向互相垂直的線極化波，3.任一線極化波均可分解為兩個振幅相等但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。如果將電場矢量隨z軸的旋轉(zhuǎn)與電磁波傳播方向按照左、右手定則判斷，那么右旋橢圓極化波或右旋圓極化波在給定時刻的矢端曲線恰好為左旋螺旋線，而左旋橢圓極化波或左旋圓極化波在給定時刻的矢端曲線恰好為右旋螺旋線，如圖所示。注意左旋圓極化波的右旋螺旋矢端曲線極化的工程問題橢圓極化波的旋轉(zhuǎn)速度不是常數(shù)，而是時間的函數(shù)。

在橢圓極化的情況下，電場的矢端旋轉(zhuǎn)速度為當時，

，電磁波為右旋橢圓極化波當時，

，電磁波為左旋橢圓極化波當時，

，電磁波是線極化波當，并且

時，電磁波是圓極化波波的極化取決于發(fā)射源，波的極化特性在工程上具有很重要的應用1.當利用極化波進行工作時，接收天線的極化特性必須與發(fā)射天線的極化特性相同，才能獲得好的接收效果，這是天線設計中最基本的原則之一。2.天線若輻射左旋圓極化波，則接收天線在接收到左旋圓極化波的時候，就接收不到右旋圓極化波，反之亦然，這稱為圓極化波的旋相正交性。3.在很多情況下，無線電系統(tǒng)必須利用圓極化才能進行正常工作。例如，由于火箭等飛行器在飛行過程中，其狀態(tài)和位置在不斷變化，因此火箭上的天線姿態(tài)也在不斷地改變，此時如用線極化的發(fā)射信號來遙控火箭，在某些情況下，可能出現(xiàn)火箭上的天線收不到地面控制信號，從而造成失控。如采用圓極化發(fā)射和接收，則從理論上講將不會出現(xiàn)失控情況。目前，在電子對抗系統(tǒng)中，大多采用圓極化波進行工作。工程上由于某種原因，有時還需要對極化進行變換。例如將線極化變換成圓極化，將水平極化變換成垂直極化等。證明：試用復數(shù)法證明，一個線極化平面波可由左旋和右旋兩個圓極化波合成得到。設線極化波電場只在x方向上，即空間電場表示為改寫為式中根據(jù)定義可知：上式中的第一項代表左旋圓極化波，而第二項則代表右旋圓極化波，證畢。式中第一項中的說明，的相位比的相位超前

和分量的振幅相等，均為例題(1)

說明下列各式表示的均勻平面波的極化形式和傳播方向。例題傳播方向為沿方向的線極化波