2022年河北省秦皇島市昌黎縣龍家店鎮中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.中，三邊長滿足，那么的形狀為（

）A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．直角三角形

D．以上均有可能參考答案：A2.已知函數下列結論中①②函數的圖象是中心對稱圖形③若是的極小值點，則在區間單調遞減④若是的極值點，則.正確的個數有A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C略3.函數的零點個數為A．個 B．個 C．個

D．個參考答案：C略4.已知點是函數圖像與軸的一個交點，為點右側同一周期上的最大和最小值點，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B可取，，，所以【考點】三角函數“五點法”作圖，向量數量積5.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于1km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為（）A．1km B．km C．km D．2km參考答案：C【考點】解三角形的實際應用．【分析】先根據題意求得∠ACB，進而根據余弦定理求得AB．【解答】解：依題意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB===．即燈塔A與燈塔B的距離為km．故選C．6.下列說法中，正確的是(

)[A．命題“若，則”的逆命題是真命題B．命題“，”的否定是：“，”C．命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題D．已知，則“”是“”的充分不必要條件

參考答案：B7.已知函數，現有如下說法：①函數的單調增區間為(0,1)和(1,2)；②不等式的解集為；③函數有6個零點.則上述說法中，正確結論的個數有（

）A．

0個

B．1個

C.2個

D．3個參考答案：C作出的圖象如下所示，觀察可知函數的單調增區間為，故①正確；解得，故②正確；令，解得，而有3個解；分別令，即分別有，結合的圖象可知，方程有4個實數解，即函數有4個零點，故③錯誤，故選C.8.已知函數f(x)=(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的圖象如下圖（左）所示，則g(x)=ax+b的圖象是

()參考答案：A略9.若，，則是（

）A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角參考答案：B10.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1，2，3，4號位子上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2009次互換座位后，小兔的座位對應的是

（

）1鼠2猴

1兔2貓

1貓2兔

1猴2鼠兔3貓4

鼠3猴4

猴3鼠4

貓3兔4開始

第一次

第二次

第三次A．編號1

B．編號2

C．編號3

D．編號4參考答案：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖所示，是的邊上的中點，設向量，，則把向量用表示，其結果為

；

參考答案：12.已知向量，，若，則實數______;參考答案：213.雙曲線C：的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交雙曲線左支于A、B兩點，則|AF2|+|BF2|的最小值為

參考答案：9.

14.在平面四邊形ABCD中，連接對角線BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90°，sinA=，則對角線AC的最大值為

．參考答案：27【分析】根據題意，建立坐標系，求出D、C、B的坐標，設ABD三點都在圓E上，其半徑為R，由正弦定理計算可得R=10，進而分析可得E的坐標，由于sinA為定值，則點A在以點E（﹣6，8）為圓心，10為半徑的圓上，當且僅當C、E、A三點共線時，AC取得最大值，計算即可得答案．【解答】解：根據題意，建立如圖的坐標系，則D（0，0），C（9，0），B（0，16），BD中點為G，則G（0，8），設ABD三點都在圓E上，其半徑為R，在Rt△ADB中，由正弦定理可得==2R=20，即R=10，即EB=10，BG=8，則EG=6，則E的坐標為（﹣6，8），故點A在以點E（﹣6，8）為圓心，10為半徑的圓上，當且僅當C、E、A三點共線時，AC取得最大值，此時AC=10+EC=27；故答案為：27．【點評】本題考查正弦定理的應用，注意A為動點，需要先分析A所在的軌跡．15.若復數(為虛數單位)，

且為純虛數，則實數的值為________．參考答案：略16.某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數學成績（均為整數）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到頻率分布直方圖(如圖所示)．則分數在[70,80)內的人數是________參考答案：30略17.已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若與垂直，則m的值為．參考答案：﹣1【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】平面向量及應用．【分析】運用向量的數乘及加法運算求出向量，然后再由垂直向量的數量積為0列式求解m的值．【解答】解：由=（1，3），=（﹣2，m），所以，又由與垂直，所以1×（﹣3）+3×（2m+3）=0，即m=﹣1．故答案為﹣1．【點評】本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查計算能力，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設P為橢圓+=1（a＞b＞0）上任一點，F1、F2為橢圓的焦點，|PF1|+|PF2|=4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l：y=kx+m（≠0）與橢圓交于A、B兩點，若線段AB的中點C的直線y=x上，O為坐標原點．求△OAB的面積S的最大值．參考答案：（1）（2）【知識點】橢圓的簡單性質．H5解析：（1）根據題意，可得2a=PF1|+|PF2|=4，所以a=2，又c=ae==，所以b===，所以橢圓的方程為：；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc），將直線l：y=kx+m代入方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0

（*）由韋達定理可知xc==，從而yc=kxc+m=，又線段AB的中點C的直線y=x上，所以=，解得k=﹣1，則（*）變為3x2﹣4mx+2m2﹣4=0，所以|AB|==，則△OAB底邊AB的高h=，所以S=，∵（6﹣m2）m2≤，∴S，即S得最大值為．【思路點撥】（1）根據題意，計算出a、b的值即可；（2）聯立直線l與橢圓方程消去y得到一個關于x的一元二次方程，由韋達定理可得C（xc、yc），再將其代入所在直線y=x上，可解得k=﹣1，故可化簡關于x的一元二次方程，從而得到關于S的表達式，再結合不等式即可得到最大值．19.已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊，且c=2，C=．（1）若△ABC的面積等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．參考答案：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化為ab=4．聯立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，當cosA=0時，解得A=；當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，聯立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．綜上可得：A=或．考點：余弦定理；正弦定理．

專題：解三角形．分析：（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面積計算公式=，即ab=4．聯立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．當cosA=0時，解得A=；當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，聯立解得即可．解答：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化為ab=4．聯立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，當cosA=0時，解得A=；當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，聯立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．綜上可得：A=或．點評：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積計算公式、兩角和差的正弦公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.如圖，已知D是△ABC邊BC上一點．（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面積；（2）當∠BAC=90°時，若，且，求DC的長．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】（）1）過A點作AE⊥BC，交BC于點E，由已知可求AE，進而利用三角形面積公式即可計算得解．（2）設CD=x，則BD=2x，AC=x，可求BC=3x，進而利用余弦定理，三角函數的定義建立方程即可解得DC的值．【解答】解：（1）過A點作AE⊥BC，交BC于點E，∵B=45°，且AB=DC=1，則AE=ABsinB=，可得：S△ADC=DC?AE=×1×=，（2）設CD=x，則BD=2x，AC=x，∴BC=CD+BD=3x，∴cos∠ACB==在△ADC中由余弦定理可得AD2=AC2+CD2﹣2AC?CD?COS∠ACB，即（4）2=3x2+x2﹣2×x?x?，解得x=4，即DC=421.（12分）已知函數．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求a．參考答案：（1）當時，等價于．設函數，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數．