遼寧省丹東市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值因?yàn)?A)在區(qū)間上為增函數(shù)，(B)

，(C)

，

(D)

在區(qū)間上均為減函數(shù)

故答案為：A2.已知點(diǎn)P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為(

)參考答案：C略3.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖，E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為（

）A．60°B．45°C．0°D．120°參考答案：A5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為105，則輸入的n（n∈N+）值可能為（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】圖表型；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)S=105，i=9時(shí)由題意，應(yīng)該不滿足條件9＜n，輸出S的值為105，由7＜n＜9，即可得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=1，S=1滿足條件i＜n，S=1，i=3滿足條件i＜n，S=3，i=5滿足條件i＜n，S=15，i=7滿足條件i＜n，S=105，i=9此時(shí)，由題意，應(yīng)該不滿足條件9＜n，退出循環(huán)，輸出S的值為105．故7＜n＜9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6.過點(diǎn)且在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或參考答案：D若直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，把點(diǎn)代入得，此時(shí)直線為，即。若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，在設(shè)直線方程為，即。把點(diǎn)代入得，所以直線方程為，即，所以選D.7.如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4D蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓直徑為1.雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.【思路點(diǎn)撥】先求出球心到截面的距離為，再求球心到底面的距離為。8.已知，，且，則=（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4）或（﹣2，4） D．（4，﹣8）參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】利用向量模的平方等于向量坐標(biāo)的平方和向量共線坐標(biāo)交叉相乘相等列出方程組求出．【解答】解：設(shè)=（x，y），由題意可得，解得或，∴=（2，﹣4）或（﹣2，4）．故選：C．9.已知復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：C略10.如圖，直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，正視圖和俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（

）A． B．

C．4

D．2參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列，若a3a4a8=8，則ala2…a9=____．參考答案：51212.已知長方形ABCD中，AB=4，BC=1，M為AB的中點(diǎn)，則在此長方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，P與M的距離小于1的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】本題利用幾何概型解決，這里的區(qū)域平面圖形的面積．欲求取到的點(diǎn)P到M的距離大于1的概率，只須求出圓外的面積與矩形的面積之比即可．【解答】解：根據(jù)幾何概型得：取到的點(diǎn)到M的距離小1的概率：p====．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型．如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．13.已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為____．參考答案：1【分析】利用恒成立可得實(shí)數(shù)的值．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【點(diǎn)睛】含參數(shù)的偶函數(shù)（或奇函數(shù)），可通過取自變量的特殊值來求參數(shù)的大小，注意最后檢驗(yàn)必不可少，也可以利用（或）恒成立來求參數(shù)的大小.14.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．參考答案：試題分析：結(jié)合題中所給的函數(shù)解析式，作出函數(shù)與的圖像，利用兩個(gè)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題確定的取值范圍，結(jié)合圖形可以確定的取值范圍是.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合解決問題.15.高二年級(jí)的5個(gè)文科班級(jí)每班派2名同學(xué)參加年級(jí)學(xué)生會(huì)選舉，從中選出4名學(xué)生進(jìn)入學(xué)生會(huì)，則這4名學(xué)生中有且只有兩名學(xué)生自同一個(gè)班級(jí)的概率為_______．參考答案：16.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為__________.參考答案：-617.某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以的5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是

；已知兩位同學(xué)這5次成績的平均數(shù)都是84，成績比較穩(wěn)定的是

_____________（第二個(gè)空填“甲”或“乙”）．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖．I2，甲

解析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，乙的5次數(shù)學(xué)成績按照大小順序排列后，第3個(gè)數(shù)據(jù)是82，∴中位數(shù)是82；觀察甲乙兩位同學(xué)的5次數(shù)學(xué)成績，甲的成績分布在81～90之間，集中在平均數(shù)84左右，相對(duì)集中些；乙的成績分布在79～91之間，也集中在平均數(shù)84左右，但相對(duì)分散些；∴甲的方差相對(duì)小些，成績較穩(wěn)定些．故答案為：82，甲．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)的概念，得出乙的中位數(shù)是多少，再分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，得出甲的成績較穩(wěn)定些．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓（）右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為，短軸長為.（I）求橢圓的方程；

（II）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，若三角形的面積為，求直線的方程．參考答案：解：（Ⅰ）由題意，

解得即：橢圓方程為

（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，

此時(shí)不符合題意故舍掉；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

代入消去得：.

設(shè)，則，

所以.

原點(diǎn)到直線的距離，所以三角形的面積.由，

所以直線或.

略19.（本小題滿分10分）

設(shè)數(shù)列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，即當(dāng)時(shí)，.記對(duì)于，定義集合，，且.(1)求集合中元素的個(gè)數(shù);(2)求集合中元素的個(gè)數(shù).參考答案：20.（本小題滿分12分）如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對(duì)稱，，，，把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角為直二面角．（Ⅰ）求AD與平面ABC所成的角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的大小的正弦值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】空間中的線面角的求法；二面角的求法解析：如圖2所示，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

,

（Ⅰ）設(shè)面的法向量為

取有

,

與面所成角的余弦值是.

…6分

（Ⅱ）同理求得面的法向量為，則

則二面角的正弦值為. ………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用公式求出線面角；（Ⅱ）直接代入公式求出二面角即可。21.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)斜率不為零的直線PF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且PQ的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求直線PQ的斜率.參考答案：（1）（2）或【分析】（1）由題得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)，得，解方程即得直線PQ的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓離心率為，當(dāng)P為C的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值.所以，所以，故橢圓C的方程為:.（2）設(shè)直線方程為，當(dāng)時(shí)，代入，得:.設(shè)，線段的中點(diǎn)為，，即因?yàn)椋瑒t，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，即直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函數(shù)的圖像是由的圖像經(jīng)過如下三步變換得到的：①將的圖像整體向左平移個(gè)單位；②將①中的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的；?將②中的圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍。

（Ⅰ）求的周期和對(duì)稱軸；

（Ⅱ）在中，分別是的對(duì)邊，且