Page1題型四填空壓軸題高分幫類型1多空類1.代數多空題1.[2021浙江麗水]數學活動課上,小云和小王在討論張老師出示的一道代數式求值問題:結合他們的對話,請解答下列問題:(1)當a=b時,a的值是-2或1;

(2)當a≠b時,代數式ba+ab的值是72.[2021合肥包河區一模]在平面直角坐標系中,已知拋物線y1=ax2+3ax-4a(a是常數,且a<0),直線AB過點(0,n)(-5<n<5)且垂直于y軸.(1)該拋物線頂點的縱坐標為-254a(用含a的代數式表示)(2)當a=-1時,沿直線AB將該拋物線在直線上方的部分翻折,其余部分不變,得到新圖象G,圖象G對應的函數記為y2,且當-5≤x≤2時,函數y2的最大值與最小值之差小于7,則n的取值范圍為-34<n<13.[2021四川南充中考改編]已知拋物線y=ax2-2x+1(a≠0).(1)當a>0時,拋物線與直線y=2x+2有(填“有”或“無”)交點;

(2)若拋物線的頂點在以點(0,0),(2,0),(0,2)為頂點的三角形區域內(包括邊界),則a的取值范圍為a≥1.

4.在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx-5與x軸、y軸分別交于點A,B,且y隨x的增大而減小,S△AOB=25,拋物線y=ax2+bx(a≠0)經過點A.(1)點A的坐標為(-10,0);

(2)若點C(-2,-4)在拋物線y=ax2+bx上,且點Q(0,-2)和位于AB下方的拋物線上的點P到直線y=kx-5的距離相等,則點P的橫坐標為-8或-4.

2.幾何多空題5.[2021安慶模擬]如圖,在矩形ABCD中,AD=5,AC=15,P為AC上的動點(含端點),Q為CD上的動點(含端點),且PA=PQ.(1)PA的最大值為

152(2)若PA長為整數,則點P的位置有4個.

(第5題)(第6題)6.如圖,∠A=90°,∠BCD=12∠BCA,BD⊥DC于點D,DC交AB于點(1)若∠BCD=n°,則∠EBD=n°;(結果用含n的代數式表示)

(2)若ABAC=m,則BDEC=

m2.7.如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E為CD邊上一點(不與端點重合),將△ADE沿AE折疊至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.(1)∠EAG=45°;

(2)若E為CD的中點,則△GFC的面積為

35(第7題)(第8題)8.[2021四川成都]如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點E,F分別在邊AD,BC上,且AE=3,按以下步驟操作:第一步,沿直線EF翻折,點A的對應點A'恰好落在對角線AC上,點B的對應點為B',則線段BF的長為1;

第二步,分別在EF,A'B'上取點M,N,沿直線MN繼續翻折,使點F與點E重合,則線段MN的長為

5.

類型2幾何多解類1.點、線位置不確定類多解題9.[2020亳州二模]如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,點D,E分別在邊BC,AB上,沿DE將△ABC折疊,使點B與點A重合,連接AD,點P在線段AD上,當點P到△ABC的直角邊距離等于5時,AP的長為

253或154(第9題)(第10題)10.如圖,動點E,P分別是正方形ABCD的邊BC,CD上的動點,沿AE,AP折疊正方形,點B,D的對應點恰好都落在點O處.若AB=3,點P是CD邊的三等分點,則BE的長為

32或3511.如圖,△ABC為等邊三角形,BC=4,點D是邊AB上的一個動點,過點D作DE⊥BC于點E,將△BDE沿DE翻折得到△B'DE,再將△B'DE沿DB'翻折得到△B'DE'.當點E'恰好落在△ABC的對稱軸上時,線段BD的長為

85或2(第11題)(第12題)12.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點E在邊AB上,連接CE,將△EBC沿CE折疊,當點B的對應點B'落在矩形ABCD的對角線上時,AE的長為

52或742.圖形形狀不確定類多解題13.[2021遼寧鞍山]如圖,∠POQ=90°,定長為a的線段的端點A,B分別在射線OP,OQ上運動(點A,B不與點O重合),點C為AB的中點,作△OAC關于直線OC對稱的△OA'C,A'O交AB于點D,當△OBD是等腰三角形時,∠OBD的度數為67.5°或72°.

(第13題)(第14題)14.如圖,在矩形ABCD中,AD=4,AC=8,點E是AB的中點,點F是對角線AC上一點,△GEF與△AEF關于直線EF對稱,EG交AC于點H.當△CGH中有一個內角為90°時,CG的長為27或4.

15.如圖,在正方形ABCD中,AB=3,點E在AD邊上,且AE=2.點P是射線BC上一動點,連接BE,PE,過點P作PF⊥BE于點F.當△PEF與△ABE相似時,BP的長為2或1343.操作過程不確定類多解題16.如圖,△ABC是一張等腰三角形紙片,且AB=AC=6,BC=4,將△ABC沿著某條過它的一個頂點的直線折疊,打開后再沿著所得到的折痕剪開,若剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形,則折痕的長為42或17.

(第16題)(第17題)17.如圖,有一張面積為12的銳角三角形紙片,其中BC為4,把它剪兩刀拼成一個無縫隙、無重疊的矩形,且矩形的一邊與BC平行,則矩形的周長為14或16.

類型3函數多解類18.在拋物線y=ax2+bx+c中,當-3≤x≤3時,-3≤y≤3,且該拋物線經過點(3,-3),(-3,3),則a的取值范圍為-16≤a<0或0<a≤1619.已知關于x的二次函數y=ax2+(a2-1)x-a的圖象與x軸的一個交點坐標為(m,0).若2<m<5,則a的取值范圍是

15<a<12或-5<a<-220.如圖,直線y=x與拋物線y=x2-x-3交于A,B兩點(點A在點B的左側),點P是拋物線上的一個動點,過點P作PQ⊥x軸交直線y=x于點Q,設點P的橫坐標為m,則線段PQ的長度隨著m的增大而減小時,m的取值范圍是m<-1或1<m<3.

【參考答案】題型四填空壓軸題1.(1)-2或1(2)7(1)當a=b時,將a=b代入a2+2a=b+2,得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.(2)由題意得a2+2a=b+2①,b2+2b=a+2②,①-②得,a2-b2+3a-3b=0,∴(a-b)·(a+b+3)=0,∴a-b=0或a+b+3=0.∵a≠b,∴a+b=-3,∴(a+b)2=9.①+②得,a2+b2=4-a-b=4-(a+b)=7,∴ab=(a+b)2-(a2.(1)-254a(2)-34<n<1(1)該拋物線頂點的縱坐標為4a(-4a)-(3a)24a=-25a24a=-254a.(2)設函數y1的圖象的頂點為點M.當a=-1時,y1=-x2-3x+4=-(x+32)2+254,∴M(-32,254),∴點M關于直線AB的對稱點M'的坐標為(-32,2n-254).∵拋物線y1的對稱軸為直線x=-32,(-32)-(-5)=2-(-32),∴x=-5時y1的值與x=2時y1的值相等,為-22-3×2+4=-6.由題意易得函數y2的最大值為n.分以下2種情況討論.①如圖(1),當2n-254≥-6,即n≥1圖(1)圖(2)3.(1)有(2)a≥1(1)令ax2-2x+1=2x+2,整理,得ax2-4x-1=0,則Δ=16+4a,故當a>0時,Δ>0,此時拋物線與直線y=2x+2有交點.(2)∵y=ax2-2x+1=a(x-1a)2+1-1a,∴該拋物線的頂點坐標為(1a,1-14.(1)(-10,0)(2)-8或-4(1)對于y=kx-5,當x=0時,y=-5,∴點B的坐標為(0,-5),∴OB=5.∵S△AOB=25,∴12×5×OA=25,∴OA=10.∵點A在x軸上,且y=kx-5中y隨x的增大而減小,∴點A在x軸的負半軸上,∴點A的坐標為(-10,0).(2)將A(-10,0),C(-2,-4)分別代入y=ax2+bx,得100a-10b=0,4a-2b=-4,解得a=14,b=52,故拋物線的解析式為y=14x2+52x.將A(-10,0)代入y=kx-5,得k=-15.(1)152(2)4(1)由PQ=PA可知,點Q是以點P為圓心,PA長為半徑的☉P與CD邊的交點,分析易知當PA最大時,點Q與CD邊的端點(點C或點D)重合,此時點P為AC的中點,∴PA=12AC=152.(2)當☉P與CD相切時,PA最短,此時點Q為☉P與CD的切點,如圖.設PA=x,則PQ=x,PC=15-x.易證△CPQ∽△CAD,∴PQAD=CPCA,∴PQ·CA=AD·CP,即15x=5(15-x),解得x=154,即PA長的最小值為154(第5題)(第6題)6.(1)n(2)m2(1)∵∠BCD=n°,∠BCD=12∠BCA,∴∠ACD=n°.∵∠BAC=∠BDC=90°,∠DEB=∠AEC,∴∠EBD=∠ACE=n°.(2)如圖,連接AD,過點A作AF⊥AD交CD于點F.∵∠DAF=90°,∠BAC=90°,∴∠DAB=∠CAF.又∵∠EBD=∠ACE,∴△ACF∽△ABD,∴BDCF=ADAF=ABAC=m,∴BD=mCF,tan∠ADF=tan∠ABC,∴∠ADF=∠ABC.設∠ACE=α,則∠ACB=2α,∴∠ABC=90°-2α,∴∠ADF=90°-2α,∴∠AFD=2α,∴∠FAC=α=∠ACE,∴AF=CF,∠EAF=90°-α=∠AEF,∴EF=AF=CF,∴BD7.(1)45(2)35(1)∵四邊形ABCD是邊長為3的正方形,∴∠D=∠B=90°,AB=BC=AD=3.由折疊可知,∠AFE=∠D=90°,AF=AD=AB,∠DAE=∠FAE,∴∠AFG=90°=∠B.由AF=AB,AG=AG,可得Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠BAG=∠FAG,∴∠EAG=12×90°=45°.(2)由(1)知Rt△ABG≌Rt△AFG,∴BG=FG.由折疊可知,EF=DE.若E為CD的中點,則EF=DE=CE=32.設BG=GF=x,則CG=3-x,GE=32+x.在Rt△ECG中,由勾股定理,得CG2+CE2=EG2,即(3-x)2+(32)2=(32+x)2,解得x=1,∴BG=GF=1,CG=2.∵GFGE=132+1=25,∴S△GFC=25S△CEG=8.15第一步:設AA'與EF交于點H.由折疊可知EF⊥AA'.∵CD=AB=4,AD=8,∴AC=42+82=45,∴cos∠CAD=845=255,∴AH=AE×cos∠EAH=3×255=655,∴HC=AC-AH=45-655=1455.∵AD∥BC,∴∠HCF=∠CAD,∴cos∠HCF=cos∠CAD,∴CHCF=29.253或154設BD=x,則AD=BD=x,CD=16-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(16-x)2,解得x=10,∴BD=10,CD=6.分以下兩種情況討論.(1)當點P到AC邊的距離等于5時,過點P作PF⊥AC于點F,如圖(1),則PF=5,PF∥CD,∴△APF∽△ADC,∴APAD=PFDC,即AP10=56,∴AP=253.(2)當點P到BC邊的距離等于5時,過點P作PG⊥BC于點G,如圖(2),則PG=5,PG∥AC,∴△DPG∽△DAC,∴DPDA=PGAC,即DP10=5810.32或35分兩種情況討論.①當DP=1時,如圖(1),則OP=1,CP=2.設BE=OE=x,則EP=x+1,EC=3-x.根據勾股定理可得EC2+CP2=EP2,即(3-x)2+22=(x+1)2,解得x=32,∴BE=32.②當DP=2時,如圖(2),則OP=2,CP=1.設BE=OE=y,則EP=y+2,EC=3-y.根據勾股定理可得EC2+CP2=EP2,即(3-y)2+12=(y+2)2,解得y=35,∴BE=3圖(1)圖(2)11.85或2設點F,G分別為BC,AB的中點,連接AF,CG,則直線AF,CG均為等邊三角形ABC的對稱軸.分兩種情況討論.①當點E'落在AF上時,如圖(1),∠E'B'D=∠EB'D=∠B=60°,BE=B'E=B'E',∴∠E'B'F=60°,∴B'F=12B'E'=12BE.易知BF=2,∴2BE+12BE=2,∴BE=45圖(1)圖(2)12.52或74由勾股定理得,AC=AB2+BC2=5.由折疊可得,B'C=BC=3.如圖(1),當點B'在AC上時,AB'=5-3=2.由∠AB'E=∠B=90°,∠B'AE=∠BAC,可得△AB'E∽△ABC,∴AEAC=AB'AB,即AE5=24,∴AE=52.如圖(2),當點B'在BD上時,CE垂直平分線段BB',∴∠BCE+∠CBD=90°=∠BCE+∠CEB,∴∠CBD=∠BEC.由∠CBE=∠BCD=90°,∠CBD=∠BEC,可得△BCE∽△CDB,∴BECB=BCCD,即圖(1)圖(2)13.67.5°或72°∵∠POQ=90°,點C為AB的中點,∴OC=AC=BC,∴∠COA=∠BAO,∠OBC=∠BOC,∴∠DOB<∠OBD.由對稱的性質可得∠COA=∠COA',∴∠COA'=∠BAO.設∠COA=∠COA'=∠BAO=x°,則∠BCO=2x°,∠A'OB=90°-2x°,∠OBD=90°-x°,∠BDO=∠AOD+∠BAO=3x°.分兩種情況討論.①當OB=OD時,∠ABO=∠BDO,∴90°-x°=3x°,解得x=22.5,∴∠OBD=90°-22.5°=67.5°.②當OB=DB時,∠BDO=∠A'OB,∴3x°=90°-2x°,解得x=18,∴∠OBD=90°-18°=72°.綜上,∠OBD的度數為67.5°或72°.14.27或4在矩形ABCD中,AB=CD=AC2-AD2=43,tan∠BAC=BCAB=443=33,∴∠BAC=30°.如圖(1),當∠CHG=90°時,EH=12AE=3,AH=圖(1)圖(2)15.2或134在△PEF與△ABE中,∠A=∠EFP=90°,∴當△PEF與△ABE相似時,分兩種情況討論.(1)如圖(1),當△PEF∽△EBA時,∠PEF=∠EBA,∴AB∥EP.易得四邊形ABPE是矩形,∴BP=AE=2.(2)如圖(2),當△PEF∽△BEA時,∠PEF=∠BEA.∵AD∥BC,∴∠EBP=∠BEA,∴∠PEF=∠EBP,∴BP=EP,∴點F是BE的中點.由勾股定理可求得BE=AB2+AE2=32+22=13,∴EF=12BE=132.∵△PEF∽△BEA,∴EFAE圖(1)圖(2)16.42或17如圖(1),沿BC邊上的中線AD剪開,重拼成△ABE,顯然△ABE與△ABC不全等,此時AD=AB2-BD2=62-22=42.如圖(2),沿腰AC上的中線BE剪開,重新拼成△ABF,顯然△ABC與△ABF不全等,易知點B,E,F共線,BE=EF,過點F作FG⊥BC,交BC的延長線于點G,易得四邊形ADGF是矩形,DG=AF=BC=4,FG=AD=42,BG=BD+DG=6,則BF=BG2+FG圖(1)圖(2)17.14或16設點E,F分別是AB,AC的中點,連接EF,過點A作AD⊥BC于點D,交EF于點O,易得EF=2,AD=6,故AO=OD=3.如圖(1),將△AEO繞點E旋轉180°得到△BEG,將△AFO繞點F旋轉180°