2021年湖南省懷化市金山中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖給出了函數y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的圖象，則與函數y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次對應的圖象是（）A．①②③④ B．①③②④ C．②③①④ D．①④③②參考答案：B【考點】對數函數的圖像與性質．

【專題】函數的性質及應用．【分析】由二次函數的圖象為突破口，根據二次函數的圖象開口向下得到a的范圍，然后由指數函數和對數函數的圖象的單調性得答案．【解答】解：由圖象可知y=（a﹣1）x2為二次函數，且圖中的拋物線開口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指數函數和對數函數的底數大于0且不等于1，∴y=ax為減函數，圖象為①；y=logax為減函數，圖象為③；y=log（a+1）x為增函數，圖象為②．∴與函數y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次對應的圖象是①③②④．故選B．【點評】本題考查了基本初等函數的圖象和性質，是基礎的概念題．2.若集合，，則A∩B=（

）A.(－1,1) B.(2,3)C.(－1,3) D.(－1,1)∪(2,3)參考答案：D【分析】化簡集合，按交集定義即可求解.【詳解】，.故選:D.【點睛】本題考查交集的運算，以及不等式的解法，屬于基礎題.3.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則△BCD面積的最大值為（）A．2 B． C． D．參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】運用余弦定理，表示出AC，進而用三角函數表示出S△BCD．【解答】解：在△ABC中，設∠ACB=α，∠ACB=β，由余弦定理得：AC2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα，∵△ACD為正三角形，∴CD2=5﹣4cosα，由正弦定理得：=，∴AC?sinβ=sinα，∴CD?sinβ=sinα，∵（CD?cosβ）2=CD2（1﹣sin2β）=CD2﹣sin2α=5﹣4cosα﹣sin2α=（2﹣cosα）2，∵β＜∠BAC，∴β為銳角，CD?cosβ=2﹣cosα，∴S△BCD=?2?CD?sin（+β）=CD?sin（+β）=CD?cosβ+CD?sinβ=?（2﹣cosα）+sinα=+sin（α﹣），當α=時，（S△BCD）max=+1．故選：D．【點評】本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運用余弦定理和面積公式，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．4.小胖同學忘記了自己的QQ號，但記得QQ號是由一個1，一個2，兩個5和兩個8組成的六位數，于是用這六個數隨意排成一個六位數，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號最多嘗試次數為．A．96

B．180 C．360

D．720參考答案：B5.已知實數，執行如圖所示的流程圖，則輸出的不小于的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知命題，命題，則

()A.命題是假命題

B.命題是真命題C.命題是真命題

D.命題是假命題參考答案：C7.已知，二次函數有且僅有一個零點，則的最小值為

A．1

B． C．

D．2參考答案：D8.在△中，“”是“”的（

）

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：【答案解析】C

解析：（1）若A<B則a<b,由正弦定理得：2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB因為,所以sinA,sinB都是正數，所以;(2)因為,所以若則sinA<sinB，由正弦定理得：，即a<b從而得出A<B.綜上得“”是“”的充分必要條件，所以選C.【思路點撥】利用正弦定理進行邊角互化.9.是內的一點，，則的面積與的面積之比為（

）．

．

．

．參考答案：A10.已知P是△ABC所在平面內一點，,現將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是（

）A

B.

C

D

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格，即根據商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b（b＞a）以及實數x（0＜x＜1）確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)，這里，x被稱為樂觀系數．經驗表明，最佳樂觀系數x恰好使得（c－a）是（b－c）和（b－a）的等比中項，據此可得，最佳樂觀系數x的值等于

．參考答案：略12.（5分）（2014?黃山三模）閱讀下列程序框圖，運行相應程序，則輸出的S值為_________．參考答案：13.若向量滿足且則向量的夾角為__________.參考答案：

14.若關于的不等式在上有解，則的取值范圍為

.參考答案：略15.設點P為函數f（x）=（x3﹣）圖象上任一點，且f（x）在點P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍為．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】利用函數的導數，求出導函數，通過導函數值的范圍，求解傾斜角的范圍．【解答】解：∵f（x）=（x3﹣），∴f′（x）=（3x2+）≥，點P為函數f（x）=（x3﹣）圖象上任一點，則過點P的切線的斜率的范圍：k≥．過點P的切線的傾斜角為α，tanα≥．過點P的切線的傾斜角取值范圍：．故答案為．16.不等式的解集是

參考答案：原不等式等價為，即，所以不等式的解集為。17.已知數列滿足，，則數列的通項公式__________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數的定義域為(1)求的值；(2)若函數在區間上為單調遞減函數，求實數的取值范圍.參考答案：19.某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。（1）該小組已經測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據此算出H的值；（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？參考答案：（1），同理：，。AD—AB=DB，故得，解得因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設知，得，，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，-最大。

故所求的是m。20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB1∩A1B=E，D為AC上的點，B1C∥平面A1BD；（Ⅰ）求證：BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若AB=1，且AC?AD=1，求三棱錐A﹣BCB1的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連結ED，證明：BD⊥AC，A1A⊥BD，即可證明BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若AB=1，且AC?AD=1，利用體積公式求三棱錐A﹣BCB1的體積．【解答】（Ⅰ）證明：連結ED∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵E為AB1中點，∴D為AC中點，∵AB=BC，∴BD⊥AC①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A1A⊥BD②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1內的兩條相交直線，得BD⊥平面A1ACC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由AB=1得BC=BB1=1，由（Ⅰ）知，又AC?DA=1得AC2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC2=2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.（14分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，AP⊥平面PCD，E，F分別為PC，AB的中點．求證：（1）平面PAD⊥平面ABCD；（2）EF∥平面PAD．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）利用線面垂直的性質可證AP⊥CD，又ABCD為矩形，AD⊥CD，利用線面垂直的判定定理可證CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定可證平面PAD⊥平面ABCD．（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，OF，由ABCD為矩形，O點為AC中點，可證OE∥PA，進而可證OE∥平面PAD，同理可得：OF∥平面PAD，通過證明平面OEF∥平面PAD，即可證明EF∥平面PAD．【解答】證明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴AP⊥CD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD，…2分又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，…4分∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD…6分（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，OF，∵ABCD為矩形，∴O點為AC中點，∵E為PC中點，∴OE∥PA，∵OE?平面PAD，PA?平面PAD，∴OE∥平面PAD，…8分同理可得