第四節二次函數

知識點一二次函數的概念及解析式1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數．2．二次函數解析式的三種形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)．(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k為常數，a≠0)，頂點坐標是(h，k)．(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0.知識點二二次函數的圖象與性質1．二次函數的圖象與性質減小減小增大增大2.二次函數圖象的特征與a，b，c的關系知識點三拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y＝a(x－h)2＋k，頂點坐標為(h，k)．2．保持y＝ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h，k)處，具體平移方法如下：二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．知識點四二次函數與一元二次方程的關系1．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當y＝0時，就變成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標．3．(1)b2－4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有_____個交點；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有_____個交點；(3)b2－4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸_____交點．兩一沒有知識點五二次函數的綜合應用1．用二次函數表示實際應用題中變量之間的關系．2．用二次函數解決實際問題中的最優化問題，其實質就是求函數的最值問題．二次函數的最值不一定是實際問題的最優解或者方案，一定要結合實際問題中自變量的取值范圍確定最優解或方案．3．解答二次函數應用題，要先讀懂題意，建立二次函數模型，求出二次函數解析式，然后利用二次函數圖象及性質解決其他問題.考點一二次函數的圖象與性質(5年1考)例1

(2017·夏津一模)如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象的一部分，對稱軸是直線x＝1.給出下列結論：①b2＞4ac；②b＜0；③y隨x的增大而減?。虎苋?－2，y1)，(5，y2)是拋物線上的兩點，則y1＜y2.其中正確的是()A．①②④B．①④C．①③④D．②③④【分析】

根據圖象與x軸的交點情況，即可判斷①；根據開口方向及對稱軸即可判斷②；根據二次函數的增減性可判斷③④.【自主解答】∵圖象與x軸有2個交點，∴b2－4ac＞0，b2＞4ac，①正確；∵－＝1，且a＞0，∴b＜0，②正確；當x＞1時，y隨x的增大而增大，故③錯誤；∵當x＝－2時和x＝4時，函數值相等，且x＝5的函數值大于x＝4的函數值，∴y1＜y2，④正確．所以正確的是①②④，故選A.講：二次函數圖象與字母系數的關系利用圖象判定字母系數的關系時，要先通過圖象的開口方向確定出a的符號，根據對稱軸的位置，確定b的符號或a與b的關系式，根據圖象與y軸的交點確定出c的符號；然后通過a，b，c的符號確定有關a，b，c乘積式的符號，根據圖象與x軸的交點個數確定b2－4ac的符號；最后結合圖象上的特殊值點確定有關a，b，c的算式的符號．此類問題是重點，也是容易犯錯的問題，解答時務必仔細、認真．練：鏈接變式訓練21．(2017·齊河一模)點P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函數y＝－x2＋2x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是()

A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3D2．(2017·慶云一模)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列說法：①2a＋b＝0；②當－1≤x≤3時，y＜0；③abc＜0；④9a＋3b＋c＝0且4a＋2b＋c＜0；＞0；⑥若(0，y1)，(1，y2)是拋物線上的兩點，則y1＞y2.其中正確的有()A．2個B．3個C．4個D．5個C考點二確定二次函數的解析式(5年5考)例2

一個二次函數的圖象的頂點坐標是(2，4)，且過另一點(0，－4)，則這個二次函數的解析式為()A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－4【分析】

已知拋物線的頂點和拋物線上任意一點坐標，可設頂點式，利用待定系數法求解．【自主解答】∵二次函數的圖象的頂點坐標是(2，4)，∴設這個二次函數的解析式為y＝a(x－2)2＋4.把(0，－4)代入得a＝－2，∴這個二次函數的解析式為y＝－2(x－2)2＋4.故選B．設二次函數解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次函數上三個點的坐標，則選擇一般式；若已知二次函數的頂點坐標，則選擇頂點式；若已知二次函數與x軸的交點坐標，則選擇交點式．需要注意的是，作為解答題，最后結果要化為一般式．3．若拋物線經過(0，1)，(－1，0)，(1，0)三點，則此拋物線的解析式為()A．y＝x2＋1B．y＝x2－1C．y＝－x2＋1D．y＝－x2－1C4．(2017·天津)已知拋物線y＝x2－4x＋3與x軸相交于點A，B(點A在點B左側)，頂點為M.平移該拋物線，使點M平移后的對應點M′落在x軸上，點B平移后的對應點B′落在y軸上，則平移后的拋物線解析式為()A．y＝x2＋2x＋1B．y＝x2＋2x－1C．y＝x2－2x＋1D．y＝x2－2x－1A5．若拋物線y＝x2＋bx＋c經過A(－2，0)，B(4，0)兩點，則這條拋物線的解析式為______________．y＝x2－2x－8考點三二次函數與方程、不等式的關系

(5年3考)例3(2017·樂陵模擬)如圖，已知二次函數y1＝x2－x的圖象與正比例函數y2＝x的圖象交于點A(3，2)，與x軸交于點B(2，0)．若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是()A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3【分析】

由二次函數y1＝x2－x的圖象與正比例函數y2＝x的圖象交于點A(3，2)，與x軸交于點B(2，0)，然后觀察圖象，即可求得答案．【自主解答】∵二次函數y1＝x2－x的圖象與正比例函數y2＝x的圖象交于點A(3，2)，與x軸交于點B(2，0)，∴由圖象得，若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是2＜x＜3.故選C.一元二次方程ax2＋bx＋c＝d?二次函數y＝ax2＋bx＋c在函數值y＝d時對應的x的值；一元二次方程ax2＋bx＋c>d?二次函數y＝ax2＋bx＋c在直線y＝d上方對應的x的取值范圍；一元二次方程ax2＋bx＋c<d?二次函數y＝ax2＋bx＋c在直線y＝d下方對應的x的取值范圍．6．(2013·德州)函數y＝x2＋bx＋c與y＝x的圖象如圖所示，有以下結論：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④當1＜x＜3時，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正確的個數是()A．1B．2C．3D．4B7．如圖，直線y＝x＋m和拋物線y＝x2＋bx＋c都經過點A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集為_____________．

x＜1或x＞3考點四二次函數的應用(5年5考)命題角度?二次函數的實際應用例4(2017·德州)隨著新農村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗．小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線型水柱在與水池中心的水平距離為1米處達到最高，水柱落地處離池中心3米．(1)請你建立適當的平面直角坐標系，并求出水柱拋物線的函數解析式；(2)求出水柱的最大高度的多少？【分析】(1)以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設二次函數的頂點式，利用待定系數法求解即可；(2)求出當x＝1時，y的值即可．【自主解答】(1)如圖，以噴水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．設拋物線的函數解析式為y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．拋物線過點(0，2)和(3，0)，代入拋物線解析式可得8．(2017·天門)飛機著陸后滑行的距離s(單位：米)關于滑行的時間t(單位：秒)的函數解析式是s＝60t－t2，則飛機著陸后滑行的最長時間為_____秒．

209．(2016·青島)如圖，需在一面墻上繪制幾個相同的拋物線型圖案．按照圖中的直角坐標系，最左邊的拋物線可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知拋物線上B，C兩點到地面的距離均為m，到墻邊OA的距離分別為m，m.(1)求該拋物線的函數關系式，并求圖案最高點到地面的距離；(2)若該墻的長度為10m，則最多可以連續繪制幾個這樣的拋物線型圖案？解：(2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝2.∵10÷2＝5，∴最多可以連續繪制5個這樣的拋物線型圖案．命題角度?二次函數的綜合應用例5(2016·德州)已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的兩個實數根，且|m|＜|n|，拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象經過點A(m，0)，B(0，n)，如圖所示．(1)求這個拋物線的解析式；(2)設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀；(3)點P是直線BC上的一個動點(點P不與點B和點C重合)，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為個單位長度．設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式．【分析】(1)先解一元二次方程，然后用待定系數法求出拋物線解析式；(2)先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論；(3)先求出QF＝1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可．【自主解答】(1)解方程x2＋4x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝－3.∵m，n是方程x2＋4x＋3＝0的兩根，且|m|<|n|，∴m＝－1，n＝－3.把點A(－1，0)，B(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，∴這個拋物線的解析式為y＝x2－2x－3.(2)令y＝0，則x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴點C的坐標為(3，0)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴頂點D的坐標為(1，－4)．如圖，過D作DE⊥y軸于點E，∵OB＝OC＝3，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形．(3)由點B坐標為(0，－3)，點C坐標為(3，0)，得直線BC的解析式為y＝x－3.∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，∴點M的橫坐標為t.∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，∴點P的坐標為(t，t－3)，點M的坐標為(t，t2－2t－3)．過點Q作QF⊥PM于點F，則△PQF為等腰直角三角形．∵PQ＝，∴QF＝1.討論：如圖，當點P在點M上方時，即0<t<3時，PM＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，如圖，當點P在點M下方時，即t<0或t>3時，10．(2014·德州)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是(4，0)，并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF.當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．解：(1)由A(4，0)，可知OA＝4，∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝OC＝4，OB＝1，∴C(0，4)，B(－1，0)．設拋物線的解析式是y＝ax2＋bx＋c，故拋物線的解析式是y＝－x2＋3x＋4.(2)存在．①如圖1，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1.過點P1作y軸的垂線，垂足為M.∵∠ACP1＝90°，∴∠MCP1＋∠ACO＝90°.∵∠ACO＋∠OAC＝90