上海大眾工業(yè)學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，sinC=2sinB，則A=（A）30°

（B）60°

（C）120°

（D）150°參考答案：A2.已知函數(shù)的圖象如圖所示則函數(shù)的圖象是（）

參考答案：A由函數(shù)的兩個(gè)根為，圖象可知。所以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知選A.3.若x，y滿足約束條件則z=3x+2y的取值范圍（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]參考答案：A【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由題意作出其平面區(qū)域，令z=3x+2y，從而可化得y=﹣x+，再解出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由的幾何意義及圖象求解即可．【解答】解：由題意作出其平面區(qū)域，令z=3x+2y，則y=﹣x+；由解得，x=y=；故C（，）；由解得，x=y=1；故D（1，1）；結(jié)合圖象及的幾何意義知，3×+2×≤3x+2y≤3×1+2×1；即≤3x+2y≤5；故選A．4.某名學(xué)生默寫英語單詞“bookkeeper（會(huì)計(jì)）”，他記得這個(gè)單詞是由3個(gè)“e”，2個(gè)“o”，2個(gè)“k”，b，p，r各一個(gè)組成，2個(gè)“o”相鄰，3個(gè)“e”恰有兩個(gè)相鄰，o，e都不在首位，他按此條件任意寫出一個(gè)字母組合，則他寫對(duì)這個(gè)單詞的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】由排列組合知識(shí)求出基本事件總數(shù)n==9600，由此能求出他寫對(duì)這個(gè)單詞的概率．【解答】解：某名學(xué)生默寫英語單詞“bookkeeper（會(huì)計(jì)）”，他記得這個(gè)單詞是由3個(gè)“e”，2個(gè)“o”，2個(gè)“k”，b，p，r各一個(gè)組成，2個(gè)“o”相鄰，3個(gè)“e”恰有兩個(gè)相鄰，o，e都不在首位，他按此條件任意寫出一個(gè)字母組合，基本事件總數(shù)n==9600，∴他按此條件任意寫出一個(gè)字母組合，則他寫對(duì)這個(gè)單詞的概率為p=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．5.關(guān)于兩條不同的直線、與兩個(gè)不同的平面、，下列命題正確的是：

（

）

A．且，則；

B．且，則；

C．且，則；

D．且，則．參考答案：C略6.若復(fù)數(shù)滿足，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C，故選C.7.“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式均成立”的充要條件是（

）Ａ．a(chǎn)>1

B．a(chǎn)≥1

C.a<1

D.a≤1

參考答案：A8.已知向量，則是“與反向”的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C9.設(shè)集合A. B.C. D.參考答案：A10.右圖是一個(gè)幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2此幾何體是一個(gè)三棱柱，且其高為，由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長為2，所以其面積為×2×2=2，又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為，（2+2+2）×4=16+8，表面積為：2×2+16+8=20+8．【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是___________．參考答案：略12.給出下列命題中

①向量的夾角為； ②為銳角的充要條件； ③將函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為； ④若為等腰三角形； 以上命題正確的是

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案：3;

4略13.已知正三棱柱，側(cè)面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為

.

參考答案：16π分析：先求出底面三角形的外接圓的半徑，再求三棱柱外接球的表面積，再利用基本不等式求最小值.詳解：設(shè)BC=a,,則ab=.底面三角形外接圓的半徑為r,則所以所以該正三棱柱外接球表面積的最小值為故答案為：16π.

14.若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，則下列關(guān)系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正確的序號(hào)是：．參考答案：④【考點(diǎn)】GA：三角函數(shù)線．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，]，與x∈[﹣，0]上的單調(diào)性，從而可選出正確答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]為偶函數(shù)．又f′（x）=sinx+xcosx，∴當(dāng)x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]單調(diào)遞增；同理可證偶函數(shù)f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]單調(diào)遞減；∴當(dāng)0≤|β|＜|α|≤時(shí)，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案為④．15.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D、E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，則直線BF與平面BB1C1C所成的角為．參考答案：30°【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】取AC的中點(diǎn)為F，連接BF、DF．根據(jù)題意得ED∥BF，進(jìn)而得到直線DE與平面BB1C1C所成的角等于直線BF與平面BB1C1C所成的角，從而可得結(jié)論．【解答】解：取AC的中點(diǎn)為F，連接BF、DF．∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，且D，E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，∴ED∥BF．過點(diǎn)F作FG垂直于BC交BC于點(diǎn)G，由題意得∠FBG即為所求的角．∵AB=1，AC=2，∠ABC=90°，∴∴∠BCA=30°，∴在△FBG中∠FBG=30°．故答案為30°．16.具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：

①②③中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是

.參考答案：①③略17.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足：,，，().（1）求證：是等差數(shù)列，并求出；（2）證明：.參考答案：（1）證明見解析，；（2）證明見解析.試題分析：第一問對(duì)題中所給的式子進(jìn)行變形，得出，利用等差數(shù)列的定義確定出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得其通項(xiàng)公式，第二問利用裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，得到，從而得證.試題解析：（1）得出………………2分為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列……………3分…………5分………………6分（2）……8分………………10分……………………12分考點(diǎn)：等差數(shù)列的證明，數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和.19.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，∠ADC=，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=1，點(diǎn)M在線段EF上．（1）當(dāng)為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論；（2）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，推導(dǎo)出四邊形AOFM是平行四邊形，從而AM∥OF，由此能證明AM∥平面BDF．（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作GC⊥CD，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，AM∥平面BDF．證明如下：在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，因?yàn)锳D=BC=1，∠ADC=60°，所以DC=2，又AB=1，因?yàn)椤鰽OB∽△CDO，因此CO：AO=2：1，所以，因?yàn)锳CFE是矩形，所以四邊形AOFM是平行四邊形，所以AM∥OF，又OF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF；（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作GC⊥CD，因?yàn)槠矫鍭CFE⊥平面ABCD，且交線為AC，則CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B，D（2，0，0），E，F(xiàn)（0，0，1），所以=(1，0，1)，，，=(－2，0，1)，設(shè)平面BEF的法向量為，則，∴，取，同理可得平面DEF的法向量，所以，因?yàn)槎娼荁﹣EF﹣D是銳角，所以其余弦值是．20.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=．（1）求曲線C的普通方程；（2）若直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)A，B，求tanα的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的普通方程．（2）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能化為普通方程，代入C的普通方程，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判別式能求出tanα的取值范圍．【解答】解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=．∴24=ρ2（7﹣cos2θ+sin2θ），∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲線C的普通方程為24=7（x2+y2）﹣x2+y2，即=1．（2）∵直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，化為普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），代入C的普通方程并整理得（4k2+3）x2+16kx+4=0，故△=162k2﹣16（4k2+3）＞0，解得k＜﹣或k＞，∴tanα的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．21.（本小題滿分12分）

設(shè)拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=－m(m>0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩

條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A,B．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，－l）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；

(Ⅱ)當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB?若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由，參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，①令，解得，代入方程①得，故得，.因?yàn)镸到AB的中點(diǎn)(0，1)的距離為2，從而過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．易知此圓與直線l：y=-1相切.………（6分）（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)分別為、，直線l上的點(diǎn)為M，過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)椋?/p>

，從而過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以得，即.同理可得過點(diǎn)的切線方程為，………（8分）因?yàn)椋沂欠匠痰膬蓪?shí)根，從而，所以，當(dāng)，即時(shí)，直線上任意一點(diǎn)M均有MA⊥MB，…………………（10分）當(dāng)，即m≠1時(shí)，MA與MB不垂直.綜上所述，當(dāng)m

=1時(shí)，直線上存在無窮多個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，當(dāng)m≠1時(shí)，直線l上不存在滿足條件的點(diǎn)M.……………（12分）

22.（13分）（2013秋?威海期中）已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）=0，求出方程的根，求解f′（x）＜0和f′（x）＜0，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)題意可知f（x）=2x+m，將f（x）代入整理，令g（x）=，則有g(shù)（x）=m，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）與y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，從而可以求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)，∴f'（x）=x2﹣3x+2，令f'（x）=0，解得x=1或x=2，∴當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即，∴，設(shè)g（x）=，∵曲線y=f（x）與y=2x+m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴函數(shù)y=g（x）與y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，令g'（x）=0，解得x=0或x=3，當(dāng)x＜0或x＞3