數學概念應是自然的、清楚的——談函數單調性的教學董海濤安徽省阜陽市第三中學（236006）概念是反映事物本質屬性的思維形式，數學概念是數學的細胞，是數學理論的核心和靈魂，因此，理解和掌握數學概念是提高數學教學質量和教學水平的關鍵.“函數單調性”是高中數學的核心概念，對剛進入高一學習的學生來說，是至關重要的一節課：學生第一次接觸如何嚴謹地表述數學概念.小學、初中階段，對數學概念幾乎都是采用直觀地定性描述，如何客觀地定量地表述函數單調性，不僅是本節課的難點和重點，還直接關系到學生對數學的認識.因此，如何設計問題，自然、清楚地得出函數單調性的形式化定義，體現了教師的教學智慧.可惜的是，在實際教學中，我們還是發現對這個核心概念，教學存在的普遍現象：“告訴教學”！不是嗎？.發表于“課例大家評”中的教學案例實錄近期某數學專業雜志發表了課例”函數單調性”［1］下面實錄概念形成環節：“抽象概括，形成概念（為節省篇幅，創設情境，引入課題環節略）教師：我們的任務就是要從以上事實中找到共同的規律，通過提煉總結和抽象概括實現數學化，形成數學概念，基于此構建出系統的數學理論.先看一個大家熟悉的例子，函數J=（X-2）2-2，其函數值在哪一段是遞增的，在哪一段是遞減.學生：在區間（-8,2］是遞減的，在區間12,+8）上是遞增的.教師：我們以前研究過許多函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數等，都可以從這個角度來進行研究.教師：數學研究講究的是精細、嚴謹、規范，像這樣通過觀察圖形直觀地進行判斷，就顯得過于粗略而不符合數學的要求了.學生：遞增的意思是指：“函數值隨自變量的增大而增大”，遞減的意思是指：“函數值隨自變量的增大而增大”.教師：有很大的進步，但還不符合要求，必須用自變量和函數值大小變化的關系來刻畫“遞增”和“遞減”.教師(給出填空題)：設函數y=f(x)的定義域為A，有區間I之A，如果對于I內任意兩個值x1,x2，設x1<x2，(橫線內的內容為學生所填)(1)若都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間I上是單調增函數，I是函數f(x)的單調增區間；(2)若都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區間I上是單調減函數，I是函數f(x)的單調減區間.如果y=f(x)在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就稱函數y=f(x)在區間I上具有單調性，單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.”(實錄完).課例中反映出的“快節奏概念教學”令我們遺憾在課例中，學生指出“遞增”的意思是“函數值隨著自變量的增大而增大，“遞減”的意思是“函數值隨著自變量的增大而減少”，這種定性描述是符合學生認知水平的，此時教師的任務是引導學生定量地表示函數圖象的這種變化趨勢，可惜的是，執教者卻生硬地要求學生“必須用自變量和函數值大小變化的關系來刻畫遞增和遞減”，更可怕的是，教師緊接著端出了“函數單調性”的定義，采用的是司空見慣的“填空式”，也就是挖掉概念中關鍵的字眼，讓學生做“填空題”.老師啊，你這樣的概念教學可曾顧及學生的感受：“為什么要這樣定義”？“這樣定義的目的是什么”？“噢，數學就是這么不講理，記住定義，會背就行了”……執教者如此熱衷于快節奏地告訴學生函數單調性定義的目的是什么？在接下來的“思維訓練提升能力”環節，我們找到了答案：為大劑量的訓練留足時間，試圖窮盡題型而提升學生的應試能力.課例中，執教者舍棄了“課本基礎題”，而另外給出了4個例題.借用章建躍博士的一句話，“快節奏的概念教學是造成豆腐渣人才的禍根，是教學大忌”[2].3.對函數單調性的教學設計片斷“數學概念、數學方法和數學思想的起源和發展都是自然的、水到渠成的、渾然一體的”[3]，而且數學概念還是清楚的.它的形式化表達不能理解為“無理可說記住就行”，數學教師一定要把“講清楚數學概念”作為一種基本追求.高一學生對函數單調性的認識是有基礎的.初中階段，已有“函數圖象從左向右是上升（或下降）”的直觀感受，這實質是函數單調性的圖形語言，進而用文字語言概括為“函數值隨自變量的增大而增大（或減少）”.本節課要研究的是：對這種運動變化的文字語言描述，如何抽象為符號語言表示.形式化是數學的基本要求，學習形式化的表達更是對學生學習數學的基本要求，也是數學追求嚴謹和理性精神的必然體現！函數單調性形式化定義的教學中，絕對不能采用簡單的填空式教學，粗暴地告知學生了事.事實證明，這樣“快節奏教學”的后果就是學生只會模仿，不會思考；只懂積累，不懂歸納；只能螺旋，不能上升學生能憑感覺知道定義中有哪些關鍵詞，但是對“任意”所承載的“無限”含義，其實是不理解的.“函數單調性理解上的困難在于它的無限背景……，迄今為止，在教材和教學中，大多沒有明確指出函數單調性中的無限特征，學生只能靠自發感悟其中隱藏的無限背景[5]”基于以上認識，就“抽象概括形成概念”環節，筆者提供以下教學片斷，供參考.師：我們先來看幾個大家熟悉的函數和它們的圖象：①[二七=2三一3,工ER,②=/個三：0,一③=—,XE（O,-^i.問題1：這些函數圖象有什么共同特征？你能用文字語言描述這些特征嗎？生1：從左向右看，這些函數在指定區間上，圖象在上升用文字語言描述就是：函數值f（x）隨著自變量x的增大而增大.師：很好！你能告訴我們這個函數的圖象（故意在黑板上畫一條貌似上升的曲線），從左向右看是否在上升嗎？（學生爭論不休，產生了嚴重的分歧）師：看來，利用函數圖象或者文字描述都過于粗略而不能服眾啊.借用古希臘人常說的一句話：我不和你爭吵，我算給你看.（學生笑）師：”從左向右看，函數圖象在上升”，換句話說，是不是“函數圖象上任意兩點，右邊的點總比左邊的點高”？生眾：是！師：問題2：以：（工）=xL*三：0,—工）為例（在函數:（XJ=x:.x三工）圖象上標出點A和點B），你怎么描述右邊的點A總比左邊的點B位置高？（見學生茫然，進一步提示）師：在平面直角坐標系中，我們如何刻畫點的位置？生眾：用點的坐標刻畫點的位置！師：下面請大家思考問題3：如何描述點A是點B右邊的點？如何描述點A比點B的位置高呢？（學生討論、交流，5分鐘后有學生要求發言）生3：設A\"B（xe..VeJ用x,二:工說明A是點B右邊的點，用、〉門.說明點A比點B的位置高.師：非常聰明！用數量關系代替了位置關系.注意到這里的點A、B是具體的兩點，能這樣無限取點說明“函數圖象上任意兩點，右邊的點總比左邊的點高”嗎？生4：不能！也窮舉不完啊.師：問題的關鍵就在于如何完成對“所有點”的驗證.即在區間[0,+s）上任取[>xJ…〉xn>…，判斷總有f（x1）>f（xJ>…Af（xn）>…成立.如何完成這項艱巨的任務？生：……（學生沉思.考慮到學生實際認知能力，由老師揭曉謎底）師：我們可以考慮利用不等式的傳遞性擔當此任！我們知道：如果a>b,b>c,則a>b>c.于是上式中的無限含義就可用下面的形式來完成：在區間R-內任取變量x1,x2，當x1>x2，時，總有f(x1)>f(x2).因為這里的x1,x2既可以代表Xj%,也可以代表XB,XC,,以此類推出：當X^>XB>XC>…時，總有f(x^)>f(XB)>f(XC)>…，說明函數f(X)=x2,xeb,+8)圖象上任意兩點，右邊的點總比左邊的點位置高.(學生緊鎖的眉頭舒展了，露出了欣慰的笑容.)問題4：反過來，對于任意的X],x2e[0,+s)，當f(x1)>f(x2)時，都有X1>x2，能否說明函數圖象上右邊的點(x,f(x))總比左邊的點(x,f(x))位置高呢？1 1 2 2生：能！師：此時，我們說函數:(工)=工二三三'"。「工)上是單調遞增的，O一3是函數f(x)的單調增區間.推而廣之，你能用自己的語言給函數f(x)在區間I上單調遞增下個定義嗎？(師生共同完善函數在區間上單調遞增的定義，單調遞減的定義已水到渠成，由學生獨立完成.以下教學過程略.)這樣，師生共同經歷定義的得出過程，不僅冰釋了學生心中的疑團，最重要的是學生經歷了數學概念產生的自然過程，感受到了數學嚴謹、理性的學科精神.4.幾點反思章建躍博士說過：“一個處于核心地位的中學數學概念，是中學數學知識結構中的聯結點，由其反映的數學思想方法是聯系數學知識的強力紐帶”[4]夸美紐斯在《大教學論》中指出：“如果不教明概念，便是教的不好的”.如何才是“教明概念”呢？4.1數學概念是自然的概念教學中要講清概念是怎么來的，怎樣定義的，為什么可以這樣定義.作為教材，“函數單調性”定義呈現是直截了當的，但作為課堂教學，教師要憑借自己的教學智慧和對教學內容的理解，對數學概念進行創造性的加工，把原本冰冷的靜態的數學概念轉化為火熱的動態的教學內容，讓概念自然地水到渠成地生成，而不是像“魔術師帽子里跳出來的兔子”一樣讓學生感到突兀和神奇.4.2數學概念是清楚的數學定義是人為規定的，但人為規定的定義就沒道理可說嗎？具體到“函數單調性”定義，從直觀的圖形語言到定性的文字語言，再到抽象的符號語言，形式化地定量描述，概念的發展完善是那么清楚，顯示了數學學科嚴謹的特點，對學生感悟數學、理解數學是很好的素材.數學是一門講推理講邏輯的學科，數學概念必然是在繼承基礎上的發展，講清楚數學概念從哪里來、到哪里去，與以往知識的兼容性如何，是我們一線數學教師義不容辭的職責！沒有過程就沒有思想，思想寓于過程之中.數學概念教學要舍得在過程上下工夫，千萬不能在概念教學上采用快節奏，要把概念從哪里來、到哪里去、有什么用、與已有知識的聯系與構建過程，通過創設情境，提出問題，自然清楚的呈現出來，這樣才是有效的教學，才是生態的教學，才是概念教學的本源！參考文獻[1]高敏，黃安成.課例：函數單調性[J].中學數學教學參考：上旬，2014(6):21-23[2]