培優專題圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u重難點題型歸納 1【題型一】曲線與軌跡 1【題型二】三曲線定義法 3【題型三】雙曲線漸近線 6【題型四】三大曲線焦半徑 9【題型五】三大曲線焦點弦 12【題型六】焦點三角形 14【題型七】中點弦 15【題型八】焦點圓 17【題型九】雙余弦定理 19【題型十】雙角度 22【題型十一】四心與曲線 24【題型十二】切線 27【題型十三】小題大做：坐標運算 30好題演練 33

重難點題型歸納【題型一】曲線與軌跡【典例分析】若，則的最小值和最大值分別是（）A．和 B．和1 C．和 D．和1【答案】A【分析】由題意可得原方程表示的曲線為個圓，作出圖象，數形結合借助幾何法可得答案．【詳解】解：∵，∴或，即或，即方程表示的曲線為個圓，如圖：當直線平移到與圓在左上方相切時，取得最大值，即原點到直線的距離為1，即，解得，又直線在軸上的截距為正，即，∴，即，當直線平移到經過圓上的點和時，取得最小值，即點和在直線上，即，即，故選：A．【技法指引】（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關點法：用動點的坐標、表示相關點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數法：當動點坐標、之間的直接關系難以找到時，往往先尋找、與某一參數得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.【變式演練】1.阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓現有，，，則當的面積最大時，它的內切圓的半徑為______.【答案】【分析】，，,即．根據阿波羅尼斯圓可得：點B的軌跡為圓,以線段AC中點為原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系,求出B的軌跡方程，當面積最大時，邊上的高為圓的半徑4,進而求得的面積，根據內切圓的性質，計算可得半徑，進而得出結論．【詳解】∵，∴為非零常數，故點B的軌跡是圓.以線段中點為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，則，，設，∵，，，整理得，因此，當面積最大時，邊上的高為圓的半徑4.此時，，設內切圓的半徑為r，則，解得.故答案為：2.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲線所圍成的圖形的面積是____.【答案】2【分析】利用絕對值的定義，可得出曲線形狀，然后可求面積．【詳解】當時，方程為，當時，方程為，當時，方程為，當時，方程為，曲線是以為頂點的正方形，面積為．【題型二】三曲線定義法【典例分析】已知雙曲線：的左右焦點分別為，，過的直線與圓相切于點，且直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為______.【答案】如圖，由題可知，，則，又，，，又，作，可得，，則在，，即，又，化簡可得，同除以，得解得雙曲線的離心率為【技法指引】(1)橢圓定義：動點P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c為常數)(2)雙曲線定義：動點P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數且a>0，c>0).(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.【變式演練】1.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C在第一象限內的一點，，直線與C的另一個交點為Q，O為坐標原點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，在中，由余弦定理結合橢圓定義可得，根據面積相等，即可得P點縱坐標，進而得P點坐標，根據點坐標即可得直線方程，與橢圓聯立可得點縱坐標，進而求得三角形面積.【詳解】解：因為，所以，設，，在中，由余弦定理得，即，所以，根據橢圓定義有：，所以，所以，因為，因為P在第一象限，所以，代入橢圓中，得，因為，所以，所以直線，聯立，可得，顯然，則，因為，所以，所以．故選：C2.已知實數a，b，c成等差數列，記直線與曲線的相交弦中點為P，若點A，B分別是曲線與x軸上的動點，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知得，可得出直線過定點，設直線與曲線相交的一個交點為Q，設另一個交點為，設，由中點坐標可得出點，代入曲線上，得出P在拋物線上運動，由拋物線的定義及圓的性質可得出選項.【詳解】解：因為實數a，b，c成等差數列，所以，則直線化為，即，由解得,所以直線過定點，又點Q在曲線上，所以直線與曲線相交的一個交點為Q，設另一個交點為，設，則，又在曲線上，化簡得，即P在拋物線上運動，設拋物線的焦點為，設，，曲線，得，記圓心。所以。.故選B.【題型三】雙曲線漸近線【典例分析】已知、分別為雙曲線的兩個焦點，雙曲線上的點到原點的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點作于點,因為，所以，，因為，所以，因為雙曲線上的點到原點的距離為，即，且，所以，，故，，因為，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【技法指引】與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【變式演練】1.已知、分別為雙曲線的兩個焦點，雙曲線上的點到原點的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可以結合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據得出，根據雙曲線的定義得出，再然后根據得出以及，根據得出，最后將點坐標代入雙曲線中，通過化簡即可得出結果.【詳解】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點作于點,因為，所以，，因為，所以，因為雙曲線上的點到原點的距離為，即，且，所以，，故，，因為，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.2.．如圖，已知分別為雙曲線的左、右焦點，P為第一象限內一點，且滿足，線段與雙曲線C交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同起點的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取的中點E，由已知可知，由三線合一知三角形為等腰三角形，再由余弦的定義表示的余弦值，又由雙曲線的定義表示，最后在中，由余弦定理構建方程，求得，將其代入漸近線方程，得答案.【詳解】取線段的中點E，連接，因為，所以，故三角形為等腰三角形，且．在中，，連接，又，點Q在雙曲線C上，所以由雙曲線的定義可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：B【題型四】三大曲線焦半徑【典例分析】已知過拋物線的焦點，且斜率為的直線與拋物線交于兩點，則____________．【答案】【詳解】方法一：方法二：拋物線的焦點的坐標為斜率為且過焦點的直線方程為聯立拋物線方程，得，化簡得設兩個交點坐標分別為所以則所以【技法指引】圓錐曲線焦半徑統一結論，其中p為交點到準線的距離，對橢圓和雙曲線而言對于拋物線，則常見拋物線的（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【變式演練】1.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點為，當點在雙曲線右支上，點在圓上運動時，則的最小值為__________．【答案】7解：由雙曲線方程，得，所以漸近線方程為比較方程，得所以雙曲線方程為，點記雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線右支上，所以所以由兩點之間線段最短，得最小為因為點在圓上運動所以最小為點F到圓心的距離減去半徑2所以所以的最小值為7故答案為：7.2.已知點是橢圓上非頂點的動點，分別是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，若為的平分線上一點，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，不妨設點P在軸右邊，因為為的平分線上一點，且，所以為的垂直平分線，故，由中位線定理可得。設點，由焦半徑公式得，，，，故，因為，所以，，，故選D。【題型五】三大曲線焦點弦【典例分析】設，分別是橢圓的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于C點，若滿足且，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為F1是橢圓的左焦點，直線過F1交y軸于C點所以，即因為，所以又因為所以在三角形AF1F2中，，，，根據余弦定理可得，代入得，化簡得所以離心率為所以選A【變式演練】1.雙曲線，，方向向量為的直線過點且與雙曲線交于兩點，,，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，由題意知D為BC的中點，且，所以．過點D作軸于，則．在中，，根據三角形的相似可得，∴．又，∴，∴，∴．故點D的坐標為．設，由點差法可得，即，∴．∴．選A．2.已知橢圓：的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，則當時，橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】因為，所以可設，由，得，即，因為在橢圓上，所以，即，即，即，即在區間上為增函數，所以，即橢圓的離心率的取值范圍為.【題型六】焦點三角形【典例分析】已知，分別是橢圓的左?右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件用表示出，再結合橢圓定義并借助均值不等式計算作答.【詳解】依題意，，而，則有，由橢圓定義知：，當且僅當，即時取“=”，于是有，則，又，即有，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：A【變式演練】1.已知橢圓C的方程為離心率，，分別為左焦點和右頂點，點在橢圓上，若為銳角，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】利用離心率先求出，然后把點參數化，得到，進而利用為銳角，得到，最后得到實數的取值范圍【詳解】∵橢圓C的標準方程為，∴，又∵橢圓C的離心率，∴，則，若點在橢圓上，則，（為參數），則，，若為銳角，則，即，，又由時，與同向，，故，，即實數的取值范圍是故答案為：2.已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得、，再根據橢圓的定義得到，即可求出橢圓的離心率；【詳解】解：在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；故選：B【題型七】中點弦【典例分析】已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關系.【詳解】如圖：依題意，假設斜率為1的直線方程為：，聯立方程：，解得：，代入得，故P點坐標為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.【變式演練】1.已知平行四邊形內接于橢圓，且的斜率之積為，則橢圓的離心率為________．【答案】##0.5【分析】根據對稱性設，，，根據得到，再求離心率即可.【詳解】由對稱性，，關于原點對稱，設，，，，故.故答案為：2.拋物線的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作準線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D如圖所示，設|連接由拋物線定義，得|在梯形中，由余弦定理得，配方得又得到|所以，即的最大值為【題型八】焦點圓【典例分析】已知橢圓的左頂點和上頂點分別為，，左、右焦點分別是，，在線段上有且只有一個點滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可求得的方程，設出點坐標，代入的方程，由，得，結合橢圓的離心率的性質即可求得答案.【詳解】解：依題意，作圖如下，，，，直線的方程為：，整理得：，設直線上的點，則，，，，令，則，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又橢圓的離心率，，橢圓的離心率為.故選：A.【變式演練】1.設，分別是橢圓的左右焦點，為橢圓的下頂點，為過點，，的圓與橢圓的一個交點，且，則的值為__________.【答案】【詳解】設過三點的圓的圓心為是通徑的一半，是圓中的一條弦，根據圓的對稱性可知的坐標，，整理得整理得解得，舍去負根2.已知橢圓的左，右焦點分別為，，以坐標原點O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】根據題意可得，且，再根據焦點三角形中的關系表達出離心率，結合函數的單調性求解即可【詳解】由題意，因為線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A．故半徑,即，且.又離心率，因為，結合題意有，設，則，易得對勾函數在上單調遞增，故在上單調遞增，故，即故答案為：【題型九】雙余弦定理【典例分析】如圖所示，為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于B．D兩點且，E為線段上靠近的四等分點．若對于線段上的任意點P，都有成立，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】取的中點Q，連EQ．PQ．根據向量的加法和減法轉化，同理，等價于，由點的任意性判斷，得到，根據幾何關系和橢圓定義得到邊長，根據余弦定理建立方程求橢圓的離心率.【詳解】解：取的中點Q，連EQ．PQ．，同理，恒成立等價于，因為點是線段上的任意一點，故，得到，設，則，，由，得，，，在中，，在中，又所以，解得．故答案為：【變式演練】1.橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，，，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】設橢圓，設，運用橢圓的定義，可得，，即有，取的中點，連接，則，由勾股定理可得a,c的另一關系式，聯立解得，，運用離心率公式計算即可得到答案．【詳解】設橢圓，，，，如圖示：設，則，由橢圓的定義可得，，即有，即，①取的中點，連接，則，由,則，由勾股定理可得，即為，②由①②解得，，則離心率，故答案為：2.設,分別是橢圓的左?右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】求橢圓的離心率，要列出關于的等量關系式，設，根據橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關于的表達式，根據幾何關系可以列出關于的等量關系式，從而求出離心率【詳解】設，則，，，.，在中，由余弦定理得，，，化簡可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，橢圓的離心率，故答案為：.【題型十】雙角度【典例分析】如圖，點F為橢圓的左焦點，直線分別與橢圓C交于A，B兩點，且滿足，O為坐標原點，若，則橢圓C的離心率________．【答案】【分析】根據題意，利用圖中幾何關系，再幾何橢圓的定義，即可得解.【詳解】由題知：令連接，所以，且，從而．故答案為：．【變式演練】1.已知橢圓的兩個焦點分別為，點為橢圓上一點，且，，則橢圓的離心率為__．【答案】【分析】由題意得到，即，進而求得，結合，得到，即可求得橢圓的離心率.【詳解】因為，，則，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案為：2..已知，為橢圓：的左、右頂點，點在上，在中，，，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】設，進而根據，求出m,n，然后將m,n代入橢圓方程進而得到a,b的關系，然后求出離心率.【詳解】根據橢圓的對稱性不妨設點在x軸上方，設，由，，聯立解得：，代入到橢圓方程得：，所以.故答案為：.【題型十一】四心與曲線【典例分析】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，，分別為的內心和重心，當軸時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】結合圖像，利用點坐標以及重心性質，得到G點坐標，再由題目條件軸，得到點橫坐標，然后兩次運用角平分線的相關性質得到的比值，再結合與相似，即可求得點縱坐標，也就是內切圓半徑，再利用等面積法建立關于的關系式，從而求得橢圓離心率.【詳解】如圖，令點在第一象限（由橢圓對稱性，其他位置同理），連接，顯然點在上，連接并延長交軸于點，連接并延長交軸于點，軸，過點作垂直于軸于點，設點，，則，因為為的重心，所以，因為軸，所以點橫坐標也為，，因為為的角平分線，則有，又因為，所以可得，又由角平分線的性質可得，，而所以得，所以，，所以，即，因為即，解得，所以答案為A.【變式演練】1.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接PO，則三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸得，從而可得，根據三角形內心的性質可得，從而可得離心率．【詳解】∵是的中點，G是的重心，∴三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸知，，則,設內切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒2.已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角平分線定理可得，進而可得，結合條件即得.【詳解】連接，延長交軸于，則，又，，所以，故，即，又，所以，即.故選：D.【題型十二】切線【典例分析】已知圓在橢圓的內部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當點為中點時，由點差法可得，再由與圓相切可得，可解出；設為的左頂點，連接，則，根據正切的二倍角公式可解得，即得出，將和代入得，然后解出離心率.【詳解】設，，，則，.將，的坐標分別代入的方程，得，兩式相減，得，所以，即.當為的中點時，，則，故.如圖，設為的左頂點，連接，則，所以，整理得，解得或（舍去），則，所以，所以，故的離心率.故選：C.【變式演練】1.兩個長軸在x軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內層橢圓作切線AC，BD，切點分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一，用判別式等于零求兩條切線得斜率，因為它們相乘等于，可得，所以橢圓的離心率為；法二，用極點極線得方法得到兩條切線得斜率，再根據條件即得.【詳解】法一：設內橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯立消去可得：，因為直線為橢圓的切線，所以，化簡可得：，設直線的方程為：，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為.故選：B.法二；設內層橢圓：，外層橢圓：.設切點，，，，切線：，切線：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，將，代入橢圓中得：，經分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故選：B.2.已知橢圓，焦距為，以點O為圓心，b為半徑作圓O，若過點作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中，根據，列出方程得到，進而轉化為，得出，即可求解.【詳解】由題意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即橢圓的離心率為.故選：B.【題型十三】小題大做：坐標運算【典例分析】已知點為橢圓：的上頂點，點，在橢圓上，滿足且，若滿足條件的△有且只有一個，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設：取，聯立橢圓結合求出A、B的點坐標，由及兩點距離公式得到，根據題設且無其它k值，得到，進而求的范圍，即可求離心率范圍.【詳解】設直線：，則：，而，不妨取，直線與橢圓聯立，消去得，解得，所以，則，因為，所以，整理得，，易知符合，因為滿足條件的△有且只有一個，所以無之外的解，整理得，所以，即，所以離心率．故選：B【變式演練】1.已知橢圓內有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】設出四點的坐標，將兩點坐標代入橢圓方程并化簡，同理將兩點坐標代入橢圓方程并化簡，根據化簡上述兩個式子，由此求得的值，進而求得橢圓離心率.【詳解】設因為，且，所以，同理.將兩點坐標代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A.2.過原點的一條直線與橢圓=1（a＞b＞0）交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過該橢圓的右焦點F2，若∠ABF2∈[]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以AB為直徑的圓的圓周角∠ABF2∈[]，故圓心角，所以當斜率存在時，斜率，然后將斜率轉化為的關系式，求解離心率的取值范圍；當斜率不存在時，易得，易解離心率的值，綜上便可得出答案．【詳解】解：當過原點的直線斜率不存在時，因為以AB為直徑的圓經過右焦點，所以有，此時；當過原點的直線斜率存在時，設過原點的直線為，，因為∠ABF2∈[]所以圓心角，所以，即，直線與橢圓聯立方程組，解得，因為以AB為直徑的圓經過右焦點，所以，以AB為直徑的圓方程為，所以有，即，故，即，所以，解得故得到綜上：，故選B好題演練一、單選題1．（2023春·湖北·高三宜昌市三峽高級中學校聯考）橢圓的中心在坐標原點，，，，分別為橢圓的左、右、上、下頂點，為其右焦點，直線與直線交于點，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據為鈍角轉化為，求出四點坐標，用數量積的坐標公式得到關于，的不等式，不等式兩邊同時除以得到關于離心率的不等式，解不等式即可得到離心率的取值范圍.【詳解】如圖，設橢圓的標準方程為，．由題意，得，，，則，．因為為向量與的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，兩邊同時除以得，解得或，因為，所以.故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點若，，，則雙曲線的離心率為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義及線段的關系建立方程，解出再利用雙曲線離心率公式計算即可【詳解】因為，，，所以，所以．由雙曲線的定義得：，所以，所以在中，所以．故雙曲線的離心率為.故選：D.3．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考）過拋物線的焦點作斜率分別為，的兩條不同的直線，，且，與相交于點，與相交于點．分別以、為直徑的圓、圓（為圓心）的公共弦記為，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據拋物線的性質以及已知條件求出圓、圓的標準方程，然后聯立求出公共弦所在的直線，最后利用點到直線的距離公式寫出表達式，利用二次函數性質求最小值即可.【詳解】由題意知焦點，設直線，聯立得：，設，則，由拋物線定義可得：，由題知為的中點，所以，所以，所以圓的標準方程為：，即，同理可得圓的方程為：，聯立，所以圓與圓的公共弦所在的直線的方程為：，由題知，所以直線的方程為：，所以點到直線的距離為：，當時，取到最小值，故點到直線的距離的最小值為，故選：A.4．（2023·河南鄭州·三模）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為，所以∽，設，則，設，則，．由角平分線的性質可得，由雙曲線的定義可得，，再結合余弦定理可得，從而可求解.【詳解】因為，則，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，解得．故選：A．5．（2023·河南鄭州·模擬預測）設，為橢圓的左、右焦點，點A為橢圓的上頂點，點B在橢圓上且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設及橢圓對稱性，若下頂點為，則直線必過下頂點，且，進而有，設，根據向量數量關系的坐標表示求坐標，再由點在橢圓上得到參數關系，即可求離心率.【詳解】由且A為橢圓的上頂點，則，，若下頂點為，根據橢圓對稱性知：直線必過下頂點，且，故不可能為下頂點，所以，如上圖有，而，若，則，故，即在橢圓上，所以，可得，而，則.故答案為：D6．（2023·天津河西·統考一模）已知拋物線，分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的右焦點，與雙曲線的漸近線交于點，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線方程確定準線，即知，再由雙曲線的漸近線為，令，結合已知有，進而求出雙曲線參數，即可得方程.【詳解】由題設，拋物線準線為，則，，雙曲線的漸近線為，不妨令，又，易知：△為等腰直角三角形，即，所以，即，又，可得，故雙曲線為.故選：A7．（2023·四川達州·統考二模）點均在拋物線上，若直線分別經過兩定點，則經過定點，直線分別交軸于，為原點，記，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件，用表示出兩點坐標，從而求出直線的方程，進而求出定定點，再根據條件得到，再利用柯西不等式即可求出結果.【詳解】如圖，由題易知直線斜率均存在，設直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，代入，得到，所以，設直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，又因為，所以，代入，得到，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，即所以，即，故直線過定點，令，得到，所以，所以，，又因為，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，當且僅當，即時，取等號，所以，即，故選：D.【點睛】解決本題的關鍵在于，利用條件求出，兩點，再利用點斜式表示出直線，進而求出定點.8．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意利用韋達定理求以及線段AB的中垂線的方程，進而可求點D和，結合運算求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為，則直線，聯立方程，消去y得：，則可得，則，設線段的中點，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.【點睛】方法定睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值（或范圍）．二、多選題(9．（2023·浙江金華·統考模擬預測）已知拋物線，點均在拋物線上，點，則（

）A．直線的斜率可能為B．線段長度的最小值為C．若三點共線，則存在唯一的點，使得點為線段的中點D．若三點共線，則存在兩個不同的點，使得點為線段的中點【答案】BD【分析】根據兩點斜率公式，結合一元二次方程的根可判斷A，由兩點距離公式，結合導數求單調性確定最值可判斷B，根據中點坐標公式，由一元二次方程根的個數可判斷CD.【詳解】設在拋物線上，且滿足，對于A，假如直線的斜率可以為，則由于，則該方程無解，所以直線的斜率不可能為，故A錯誤，對于B,，記，記單調遞增，由于，因此單調遞增，當時，單調遞減，故當時，取最小值5，因此的最小值為，故B正確，對于C,若三點共線，為線段的中點，則，將代入拋物線方程中得，故有兩個不相等的實數根，所以滿足條件的點不唯一，故C錯誤，D正確，故選：BD10．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線，，則下列結論正確的是（

）A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點在軸上的橢圓C．當曲線C表示橢圓時，則越大，橢圓越圓D．當曲線C表示雙曲線時，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】設，由的符號和取值結合對應方程的特點，結合條件逐項判斷可得答案.【詳解】設，故曲線C的方程可表示為，對A，當時，曲線C的方程為，可得，此時曲線C為兩條直線；當時，曲線C的方程為，此時曲線C是一個圓；故A正確；對B，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在y軸上的橢圓，故B正確；對C，當曲線C表示橢圓時，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯誤；對D，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，此時離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.11．（2023·浙江紹興·統考二模）已知點是橢圓的左右焦點，點為橢圓上一點，點關于平分線的對稱點也在橢圓上，若，則（

）A．的周長為 B．C．平分線的斜率為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【分析】由分析知點為直線與橢圓的交點，故的周長為，可判斷A；設，由橢圓的定義和角平分線定理求出，，可判斷B；由余弦定理可判斷D；點在軸上方，設直線的傾斜角為，由兩角差的正切公式求出可判斷C.【詳解】點關于平分線的對稱點在直線上，又點關于平分線的對稱點也在橢圓上，所以點為直線與橢圓的交點，故的周長為，故A正確；設的平分線交于點，設，則，所以，而，設則，于是，所以，，，，，所以，故B正確；在，由余弦定理可得：，則，則，所以，故D正確；不妨設點在軸上方，由題意可知，點在橢圓的下頂點處，則，，，設直線的傾斜角為，則，由對稱性知平分線的斜率為或，故C不正確.故選：ABD.12．（2023·湖北·校聯考三模）已知拋物線與圓相交于，線段恰為圓的直徑，且直線過拋物線的焦點，則正確的結論是（

）A．或B．圓與拋物線的準線相切C．在拋物線上存在關于直線對稱的兩點D．線段的垂直平分線與拋物線交于，則有【答案】BD【分析】選項B分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為畫出圖形，結合已知條件分析即可；選項A利用選項B分析的結論即可得選項；選項CD利用直線與拋物線的位置關系聯立方程組，利用韋達定理及弦長公式及其他選擇即可解決.【詳解】分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為由于直線過焦點到準線的距離:，故以為直徑的圓與拋物線的準線相切，故B正確．由于以為直徑的圓與拋物線的準線相切，有，，故A不正確．過焦點，，直線的方程是，假設拋物線上存在兩點，關于直線對稱，且設直線的方程是：，代入中，得，所以，，所以的中點為，又在直線上，，因為中，直線不存在．C不正確．對于D，直線的方程為：，代入，得由韋達定理得，．，，故D正確．故選：BD.三．填空題13．（廣西2023屆高三畢業班高考模擬測試數學試題）已知雙曲線的左、右焦點分別是，雙曲線上有兩點滿足，且，若