第46講雙曲線課時達標一、選擇題x2y2k的取值范圍是(1．假如方程k＋1－2＝1表示雙曲線，則實數)A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)x2y2k＋1>0?k>－1.應選B.B分析雙曲線的方程是a2－b2＝1.依據定義和條件知2．已知實數1，m,9成等比數列，則圓錐曲線x22)＋y＝1的離心率為(m6A.3B．2C.6D.2或2或3322c6C分析依據條件可知m＝9，因此m＝±3.當m＝3時，e＝a＝3；當m＝－3時，e＝2.應選C.x2y23．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為3，則其漸近線方程為()A．y＝±2xB．y＝±3x23C．y＝±2xD．y＝±2xca2＋b2by＝±2x.應選A分析由于a＝3，因此a2＝3，因此a＝2，因此漸近線方程為A.224．(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線：x2－y2＝1(＞0，＞0)的離心率為2，則點(4,0)Cabab到C的漸近線的距離為()A.2B．2C.32D．222D分析由c＝2得a＝，因此雙曲線為等軸雙曲線，漸近線為x±y＝0，因此點(4,0)ab到漸近線的距離＝4＝22.應選D.2x2y25．(2018·天津卷)已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于，B兩點．設，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為1AAd和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()x2y2x2y2A.3－9＝1B.9－3＝1C.x2－y2＝1D.x2－y2＝1412124b2b2分析如圖，不如設點A在點B的上方，則Ac，a，Bc，－a.此中的一條漸近線bc－b2＋bc＋b22bcc22為bx－ay＝0，則d1＋d2＝a2＋b2＝c＝2b＝6，因此b＝3.又由e＝a＝2知a＋b2x2y2＝4a，因此a＝3.因此雙曲線的方程為3－9＝1.應選A.6．(2019·長陽一中期中)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1，過1的左極點引1的一條漸近線的平行線，則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面CC積為()22A.4B.222C.8D.1622x222C分析雙曲線C1：2x－y＝1，即1－y＝1，因此左極點A－2，0，漸近線方2程y＝±2x，過點A與漸近線y＝2x平行的直線方程為y＝2x＋2，即y＝2x＋1.22y＝－2x，x＝－4，x軸圍成的解方程組2x＋1，得1因此該直線與另一條漸近線及y＝y＝2，三角形的面積1||y1212＝||＝××＝.S2OA2228二、填空題2y23，則實數m＝________.7．(2017·北京卷)若雙曲線x－＝1的離心率為m分析由已知可得a＝1，＝1＋，因此＝c＝1＋＝3，解得＝2.cmeamm答案22－y28．已知雙曲線：x22＝1(a>0，>0)的一條漸近線與直線l：＋3＝0垂直，雙Cabbxy曲線C的一個焦點到直線l的距離為1，則雙曲線C的方程為________．分析由于雙曲線的一條漸近線與直線l：x＋3y＝0垂直，因此雙曲線的漸近線的斜b率為3，即a＝3.①由題意知雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的一個焦點坐標為(c,0)，依據點到直線的距離公式，得|c|＝1，因此c＝2，即a2＋b2＝4.②2222y2聯立①②，解得a＝1，b＝3，因此雙曲線的標準方程為x－3＝1.y2答案x－3＝19．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的極點A(－6,0)和C(6,0)，若極點B在雙曲x2y2sin－sinC線25－11＝1的左支上，則sinB＝________.分析由條件知||－||＝10，且||＝12.又在△中，有|BC|＝|AB|＝|AC|＝BCBAACABCsinAsinCsinB2R(R為△ABC外接圓的半徑sinA－sinC|BC|－|AB|5)，進而sinB＝||＝6.AC5答案6三、解答題x2y210．(2019·洛陽一中期中)已知雙曲線C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為3，點(3，是雙曲線的一個極點．求雙曲線的方程；經過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不一樣的兩點A，B，求|AB|.x2y2分析(1)由于雙曲線C：a－b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為3，點(3，0)是雙曲線的ca＝3，x2y2一個極點，因此解得c＝3，b＝6，因此雙曲線的方程為－＝1.a＝3，36x2y2(2)雙曲線3－6＝1的右焦點為F2(3,0)，因此經過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的x2y2－＝1，3362直線的方程為y＝3(x－3)．聯立3得5x＋6x－27＝0.設A(x1，y＝3x－，62716227y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－5，x1x2＝－5.因此|AB|＝1＋3×－5－4×－5＝1635.11．已知雙曲線的中心在原點，焦點1，2在座標軸上，離心率為2，且過點(4，－FF．點M(3，m)在雙曲線上．求雙曲線的方程；→求證：MF1·MF2＝0；求△F1MF2的面積．分析(1)由于e＝2，因此雙曲線的實軸、虛軸相等．則可設雙曲線方程為x2－y2＝λ.由于雙曲線過點(4，－10)，因此16－10＝λ，即λ＝6.因此雙曲線方程為x2y26－＝1.6→→(2)證明：不如設1，2分別為左、右焦點，則1＝(－23－3，－)，2＝(23－3，FFMFmMF→→2212＋23)×(3－－m)．因此MF·MF＝(323)＋m＝－3＋m，由于M點在雙曲線上，因此922→→－m＝6，即m－3＝0，因此MF1·MF2＝0.(3)△FMF的底|FF|＝43.由(2)知m＝±3.因此△FMF的高h＝|m|＝3，因此S12121213＝6.△12＝×43×FMF2x2y212．已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－3，求雙曲線的離心率．分析(1)由于雙曲線的漸近線方程為y＝±bx，因此a＝b，因此c2＝a2＋b2＝2a2＝4，a2222xy因此a＝b＝2，因此雙曲線方程為－＝1.22(2)設點A00y0·(－0＝0的坐標為(x，y)，因此直線AO的斜率知足x03)＝－1，因此x3y，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得302＋y02＝c2，即y0＝1，因此x0y2c3212323c，14c4c32212222＝2c，因此點A的坐標為2c，代入雙曲線方程得a2－b2＝1，即4bc－4ac＝ab，②22222234224c4又由于a＋b＝c，因此將b＝c－a代入②式，整理得4c－2ac＋a＝0，因此3ac222－8a＋4＝0，因此(3e－2)(e－2)＝0，由于e＞1，因此e＝2，因此雙曲線的離心率為2.13．[選做題](2019·長沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，||＝2，此中x∈(0,1)，以，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以，DCDxAC為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，若對隨意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒建立，則t的最大值為()A.3B.5C．2D.2B分析由平面幾何知識可得|BD|＝|AC