PAGEPAGE9函數(shù)模型的應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表:x123…y125…下面的函數(shù)關(guān)系式中,能表達這種關(guān)系的是()A.y=log2(x+1) B.y=2x-1C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1【解析】選D.代入數(shù)值檢驗,把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3代入D選項,符合題意.2.(2021·肇慶高一檢測)sigmoid函數(shù)f(t)=是描述在資源有限的條件下種群增長規(guī)律的一個最佳數(shù)學(xué)模型.某研究所根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigmoid函數(shù)模型f(t)=,當f(t*)=0.9K時,病毒增長達到最大,則t*約為(ln9≈2.2)()A.90 B.83 C.74 D.63【解析】選C.由題意得f(t*)==0.9K,整理得=0.9,即=,可得-0.2(t*-63)=-ln9≈-2.2,所以t*=74.3.“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝?”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖.那么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好()A.指數(shù)函數(shù):y=2t B.對數(shù)函數(shù):y=log2tC.冪函數(shù):y=t3 D.二次函數(shù):y=2t2【解析】選A.由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù),并且增長速度很快,符合指數(shù)型函數(shù)模型,且圖象過點(1,2),所以圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好.4.素數(shù)也叫質(zhì)數(shù),法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“2n-1”形式(n是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù).已知第20個梅森素數(shù)為P=24423-1,第19個梅森素數(shù)為Q=24253-1,則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3)()A.1045 B.1051 C.1056 D.1059【解析】選B.由題知=≈2170.令2170=k,則lg2170=lgk,所以170lg2=lgk.又lg2≈0.3,所以51=lgk,即k=1051,所以與最接近的數(shù)為1051.5.某高校為提升科研能力,計劃逐年加大科研經(jīng)費投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費1300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年【解析】選B.若2018年是第一年,則第n年科研經(jīng)費為1300×1.12n,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即到2021年科研經(jīng)費超過2000萬元.6.(多選題)已知光線每通過一塊玻璃板,光線的強度就減弱10%,要使通過玻璃板的光線的強度減弱到原來強度的以下,則需要重疊玻璃板數(shù)可能為()A.9塊B.10塊C.11塊D.12塊【解析】選C、D.設(shè)至少需要重疊玻璃板數(shù)為n,由題意得(1-10%)n≤,解得n≥11,則至少需要重疊玻璃板數(shù)為11塊.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案,在銷售額x為8萬元時,獎勵1萬元.銷售額x為64萬元時,獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為y=alog4x+b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵,則他的銷售額應(yīng)為萬元.

【解析】依題意得即解得a=2,b=-2.所以y=2log4x-2,當y=8時,即2log4x-2=8.解得x=1024(萬元).答案:10248.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖為個.

【解析】因為當t=0.5時,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2.當t=5時,y=e10ln2=210=1024.答案:2ln21024【補償訓(xùn)練】某商品價格y(單位:元)因上架時間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價格與上架時間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù),即y=k·ax(a>0且a≠1),x∈N*.當商品上架第1天的價格為96元,而上架第3天的價格為54元,則該商品上架第4天的價格為元.

【解析】由題意可得方程組:結(jié)合a>0且a≠1可得即y=128×,則該商品上架第4天的價格為128×==40.5,即該商品上架第4天的價格為40.5元.答案:40.5三、解答題(每小題10分,共20分)9.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前人均一年占有糧食360kg,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%,糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%,那么x年后人均一年占有ykg糧食,求函數(shù)y關(guān)于x的解析式.【解析】設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前人口量為m,則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前一年的糧食總產(chǎn)量為360m.經(jīng)過1年后,該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為360m(1+4%),人口總量為m(1+1.2%),則人均占有糧食為;經(jīng)過2年后,人均占有糧食為;……經(jīng)過x年后,人均占有糧食為y==360()x=360()x.即所求函數(shù)解析式為y=360()x.10.某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少,問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】解法1:因為每次過濾雜質(zhì)含量降為原來的,過濾n次后雜質(zhì)含量為·.依題意,得·≤,即≤,因為=>,=<,所以由題意知至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.解法2:接解法1:()n≤,則n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),即n≥≈7.4,又n∈N+,所以n≥8,即至少應(yīng)過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2021·北京高一檢測)植物研究者在研究某種植物1-5年內(nèi)的植株高度時,將得到的數(shù)據(jù)用下圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在1-5年內(nèi)的生長規(guī)律,下列函數(shù)模型中符合要求的是()A.y=kax+b(k>0,a>0且a≠1)B.y=klogxx+b(k>0,a>0,且a≠1)C.y=+b(k>0)D.y=ax2+bx+c(a>0)【解析】選B.由散點圖可知,植物高度增長越來越緩慢,故選擇對數(shù)模型,即B符合.2.某工廠生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品,由于市場銷售發(fā)生變化,A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價20%,B產(chǎn)品連續(xù)兩次降價20%,結(jié)果都以23.04元出售,此時廠家同時出售A,B產(chǎn)品各1件,盈虧情況是()A.不虧不賺 B.虧5.92元C.賺5.92元 D.賺28.96元【解析】選B.設(shè)A產(chǎn)品的原價為a元,B產(chǎn)品的原價為b元,則a(1+20%)2=23.04,求得a=16;b(1-20%)2=23.04,求得b=36.則a+b=52元,而23.04×2=46.08元.故虧52-46.08=5.92(元).【補償訓(xùn)練】某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲10%)又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有虧損B.略有盈利C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況【解析】選A.由題意可得:(1+10%)3(1-10%)3≈0.97<1.因此該股民這只股票的盈虧情況為:略有虧損.3.(多選題)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【解析】選C、D.設(shè)經(jīng)過n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元,由題意得130(1+12%)n>200,所以1.12n>=,兩邊取對數(shù),得n>log1.12====3.8,因為n∈N+,所以n的最小值為4.故2020年開始該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.4.在標準溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作)的乘積等于常數(shù)10-14.已知pH的定義為pH=-lg,健康人體血液的pH保持在7.35～7.45之間,那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A. B. C. D.【解析】選C.因為·=10-14,所以=×1014,因為7.35<-lg<7.45,所以10-7.45<<10-7.35,所以10-0.9<=1014·<10-0.7,10-0.9=>,lg=0.7>lg3>lg2,所以100.7>3>2,10-0.7<<,所以<<.二、填空題(每小題5分,共10分)5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,排放時污染物的含量不超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:時)之間的函數(shù)關(guān)系式為:P=P0e-kt(k,P0均為正的常數(shù)).若在前5小時的過濾過程中污染物被排除了90%,那么,至少還需要過濾小時才可以排放.

【解析】t=0時,P=P0,由題意,知前5小時消除了90%的污染物,因為P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,所以k=-ln0.1.由1%P0=P0e-kt,即0.01=e-kt,所以-kt=ln0.01,t=ln0.01,所以t=10,所以至少還需要過濾5小時才可以排放.答案:56.某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳,在一年內(nèi)預(yù)計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y=1+(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元,且能全部售完.若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和,則當廣告費為1萬元時,該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為萬元.

【解析】由題意,產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y+4)萬元,銷售單價為×150%+×50%,故年銷售收入為z=·y=45y+6+x.所以年利潤W=z-(30y+4)-x=15y+2-=17+-(萬元).所以當廣告費為1萬元時,即x=1,該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為17+-=31.5(萬元).答案:31.5三、解答題7.(10分)醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗,經(jīng)檢測,病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表.已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候,小白鼠將會死亡.如注射某種藥物,可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%.天數(shù)t病毒細胞總數(shù)N11223448516632(1)為了使小白鼠在實驗過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物?(精確到天)(2)第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精