1、 DVD的在線租賃【摘要】 本文研究的是DVD在線租賃，購買和分配問題。通過對問題進行合理的假設，將問題簡單化，引入0-1變量，在滿足約束條件下建立模型，利用軟件求解。針對問題一，以每種DVD為對象。利用概率統計，求得愿意看五種DVD的人數。對租賃每種DVD的人數進行約束分析，以每種DVD的購買量最小為目標建立線性整數規劃模型。求解得出每種DVD的具體購買量。針對問題二，不考慮會員租賃兩次的情況，對目前的DVD進行分配。引入兩種0-1變量分別表示會員是否獲得DVD和該會員獲得哪種DVD。利用已給的偏好程度,取非零數值的倒數和0表示會員對DVD的滿意度，以會員對所得DVD的滿意度最大為目標，建立

2、最優化模型，求解得知DVD的具體分配情況。針對問題三,假設會員只租賃1次，仍引入兩種0-1變量。根據會員的偏愛程度確定每種DVD的購買量范圍，以DVD購買量最小和會員滿意度最大為目標建立雙目標規劃模型,并將DVD購買量最小轉化成約束條件。求解得知20種DVD的購買量依次是17，10，16，15，11，19，15，16，19，16，16，14，15，11，15，15，14，17，7。關鍵字：滿意度 0-1變量 雙目標規劃 1問題重述考慮如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員

3、提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網站會根據手頭現有的DVD數量和會員的訂單進行分發。每個會員每個月租賃次數不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網站提供的信封里寄回（郵費由網站承擔），就可以繼續下次租賃。請考慮以下問題：網站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數（表1給出了其中5種DVD的數據）。此外，歷史數據顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設網站現有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%

4、在一個月內能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內至少95%的會員能夠看到該DVD呢？表2中列出了網站手上20種DVD的現有張數和當前需要處理的100位會員的在線訂單，對這些DVD進行分配，使會員獲得最大的滿意度。并具體列出前30位會員分別獲得哪些DVD。繼續考慮表2，并假設表2中DVD的現有數量全部為0。如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大。2問題分析 根據題目要求,對DVD在一月內所利用的次數進行合理的假設,利用軟件求解。問題一中，利用概率統計，通過對隨機選取的1000個人進行問卷調查，得到愿意觀看這五種DV

5、D的人數。根據歷史數據，得出每種DVD中一月內租賃1次和2次的人數。一個月內租賃1次的會員在該月末歸還，租賃2次的會員最后一次也必須在該月末還。分析租賃每種DVD的人數，分別以滿足會員中至少50%在一個月內能夠看到該DVD和三個月內至少95%的會員能夠看到該DVD為約束條件，以每種DVD購買量最小為目標，求出每種DVD的最小購買量。問題二中，針對當前DVD的分配，不考慮會員租賃2次的情況。考慮到DVD的數目不夠，引入2個0-1變量，分別表示會員是否獲得DVD和獲得哪種DVD。將表示會員對20種DVD偏好程度的數字（除0以外）取倒數，作為會員對各種DVD的滿意度。在滿足條件時求解，可得會員對所得

6、DVD的最大滿意度及此時DVD的分配情況。問題三中，只考慮會員租賃1次。以DVD購買量最小和會員滿意度最大為目標建立雙目標規劃。統計表2中會員所喜歡的DVD張數，由于DVD購買量不超過該數，將DVD購買量最小轉化為約束條件。引入0-1變量表示會員是否獲得DVD，對保證95名會員得到作出約束分析。再引入0-1變量，表示會員獲得哪種DVD。會員對每種DVD的需求張數不小于該種DVD的購買量。3問題假設不考慮會員提交訂單、網站郵遞、看DVD以及看完DVD郵回所用去的時間。每個月內每個會員都租賃DVD；問題一中每個會員當月如果不再需要租賃，該DVD月底寄回；假設會員選擇的DVD之間互不影響問題二,三中

7、在一月內每張DVD只被一名會員利用4重要符號說明一月內租2次且第一次租賃DVD的人數一月內租1次且第一次租賃DVD的人數每月租賃2次DVD且租賃歸還得DVD的人數每月租賃1次DVD且租賃歸還DVD的人數愿意觀看前五種DVD的相應人數第種DVD的數量第種DVD的購買量5模型的建立和求解5.1 問題一5.1.1模型的準備愿意觀看DVD人數的求解運用概率統計知識，從總體（10萬會員）中進行隨機調查1000人，統計出總體對五種DVD愿意觀看的人數，如下表：DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數2000010000500025001000合理的假設根據題意，60%的會員每月租賃

8、DVD兩次，而另外的40%只租一次，可知每個月每個會員都借DVD。一月內會員租賃DVD的次數是1或2次。對于后者，必歸還第一次所租的DVD，該DVD可能被別的會員再次租賃。如果考慮有的會員看DVD的周期很短，該DVD會被第三次租賃，甚至更多次。基于網站對會員滿意的最低保證，我們規定一張DVD最多被利用2次，相當于一個月內租賃1次的會員在該月末歸還，租賃2次的會員最后一次也必須在該月末還。一個月內每種DVD的分配圖如下：DVD的數量三個月內每種DVD的分配分析在一個月結束后，所有的DVD都被歸還，在接下來2個月DVD的分配都相當于第一個月的重復。確定目標以保證希望看到該DVD的會員中至少50%在

9、一個月內能夠看到該DVD為約束條件，以每種DVD的購買量最小為目標。 以保證在三個月內95%的會員看到該DVD為約束條件，以每種DVD購買量最小為目標 約束分析第一小問租賃兩次DVD的人數大于等于總體的50：租賃一次DVD的人數大于等于總體的50：DVD被第二次租賃的張數不大于第一次被會員（一個月內租賃2次）租賃的張數 B. 第二小問租賃兩次DVD的人數大于等于總體的95 租賃一次DVD的人數大于等于總體的95一個月內DVD被第二次租賃的張數不大于第一次被會員（一個月內租賃2次）租賃的張數,對于三個月,可知： 5.1.2模型的建立 A. 第一小問 B. 第二小問 符號說明：一月內租2次且第一次

10、租賃DVD的人數一月內租1次且第一次租賃DVD的人數每月租賃2次DVD且租賃歸還得DVD的人數每月租賃1次DVD且租賃歸還DVD的人數愿意觀看前五種DVD的相應人數第種DVD的數量5.1.3模型的求解（1）滿足第一小問的條件時，五種DVD的購買數量依次為5000,2500,1250,625，250。（2）滿足第二小問的條件時，五種DVD的購買數量依次為3167，1854，776，388，159。5.2問題二5.2.1模型的準備滿意度分析根據題目要求，求會員滿意度。已知表二中的數字代表會員對DVD的偏愛程度，數字越小偏愛程度越大，且0表示會員沒有預定該DVD，即偏愛程度最小。因此可以將這些數字當

11、作滿意度。但為了用一組單調遞增數字表示滿意度越來越高，將表二中所有數字（除0以外）取倒數，得到會員對各種DVD的滿意度為。 確定目標引入最優化模型的決策變量01變量： 以會員對所分配的DVD滿意度最大為目標建立最優化模型： 約束分析引入0-1變量通過0-1變量控制會員可得到3張DVD或不能獲得3張DVD。 每種DVD的發出數量不超過網站現有的數量：5.2.2模型的建立 5.2.3模型的求解利用迭代求解，得到會員滿意度最大時，DVD的具體分配情況。前30名會員所得DVD的具體情況見附錄表1。 5.3問題三5.3.1模型的準備 利用問題二的會員對各種DVD的滿意度和所引入的0-1變量，進行如下分析

12、：確立目標根據題目要求，建立雙目標規劃模型。從網站利益考慮，第一目標是每種DVD購買量盡量小，第二目標是會員滿意度最大。以每種DVD購買量盡量小為約束條件,在不同購買量下求解會員最大的滿意度實現雙目標規劃。約束分析統計喜歡每種DVD的會員數。由表2知,每個會員所喜歡的DVD種數都不小于3，因為會員一次只能獲得3張DVD，DVD會出現閑置情況。考慮到網站的利益,為了避免上述情況發生和使所買DVD的利用率盡量大，所以DVD的購買量不會超過。即： 網站保證一個月內95名會員獲得他們想看的DVD 當會員不能獲得DVD時，取0且取0；當會員獲得3張DVD時，取1且取1。對上述2種情況構造等式，即 每種D

13、VD的購買量即為會員所得該種DVD的總數5.3.2模型建立5.3.3模型求解利用編程求解得出20種DVD的購買量（見下表3） 和具體分配情況（見附錄表2） 表3：20種DVD的分配情況DVD1 DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD1017101615111915161916DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD201614151115715141776模型評價6.1 結果分析為簡單驗證所得結果的正確，我們對問題一的第一小問做了如下工作：利用第一小問每種DVD的準備數量，對結果進行檢驗。 表5：一月內租賃

14、1次或2次DVD的會員人數DVD1DVD2DVD3DVD4DVD550002500125062525000000100050025012550400020001000500200看該DVD的人數10000500025001250500實際看的人數所占比例50%50%50%50%50%從上表數據可知：每種DVD的實看人數為50%，符合題目要求。6.2缺點：該模型有些理想化。會員看DVD的時間是一個變量，無法確定。即會員歸還DVD的時間無法確定。而我們人為規定一個月內一所租DVD全部歸還，導致一月內DVD的利用次數與實際不符，有可能偏低。該模型嚴密性不強，一些假設使模型與實際有些脫軌。比如沒有對各

15、種DVD循環利用情況及DVD的流通性深入研究，有待改進。6.3優點：該模型對問題進行了合理的假設，并從網站的利益和會員滿意度考慮，靈活運用0-1變量，建立模型。該模型切合實際，能夠很好的保證會員的滿意度。并且該模型可用語人員分配，貨物調度等多種情況，即該模型可用于推廣。 7模型改進問題中每個會員每個月租賃次數不得超過2次，每次獲得3張DVD，這樣在問題二中有了一些局限性，使本來可以獲得12張想看的DVD的會員不能按時拿到DVD，如果將其改成每次最多獲得3張DVD。這樣原來的模型需要稍加改動：計算得出，此時新的模型的滿意度是大于原來的，也更加符合實際的情況，更能體現了網站的靈活多變性。附錄 1問

16、題二 表1：前30名會員所得DVD的具體情況表（1表示獲得，0表示未獲得） D001D002D003D004D005D006D007D008D009D010D011D012D013D014D015D016D017D018D019D020C000100100010000000000001C000210000100000100000000C000300000000000010001001C000400000010000100001000C000500000110000000000010C000600000100000100100000C000700000010001000000001C000800

17、000000000111000000C000900100010000000100000C001000000000010100001000C001100000000000000000000C001200000010001000000010C001300000100000000000011C001400000100000000011000C001500000010000000001001C0016000000100001000001000C001700010010000000001000C001800000010000000000101C001900000100001000001000C00200

18、0000100100000000001C002100000100000010100000C002200100010001000000000C002300000000001110000000C002400000010001000001000C002500000000010000011000C002600100100000000010000C002700000110010000000000C002800001010100000000000C0029000000000001100000012.問題三 表2：DVD的具體分配情況D001D002D003D004D005D006D007D008D009D

19、010D011D012D013D014D015D016D017D018D019D020C000100000000000000000000C000200000000000000000000C000300000000000000000000C000400000000001100000010C000500000000000010100010C000600000000000000000000C000700010011000000000000C000810000000000011000000C000901100000000000100000C001000000000010100000100C001100

20、000001010010000000C001200000000001001000010C001300000000100010000010C001400000100000000011000C001500000010100000001000C001610000001100000000000C001710010000000000001000C001800000010001000000100C001900000001000000101000C002000000100100000000001C002100000000100010100000C002200100010001000000000C002301

21、000000000110000000C002400000001001010000000C002500000000000000101010C002600100001000000010000C002701000100010000000000C002800001010100000000000C002900000001000010000001C003000100000100000001000C003100000010100000010000C003200110000000000010000C003301000000000000000011C003410000000000010000001C003500

22、000000000000101001C003600000000101000000010C003710000000001100000000C003800100000001001000000C003900000000100000100100C004000100001000000000100C004100000000010000000110C004200010000000001100000C004300000001000000100010C004410010000000000000010C004500001100000000000010C004600000001000101000000C004700

23、001100001000000000C004800000010100001000000C004900001000000001000010C005010001100000000000000C005100100000000000001100C005210010000000000100000C005300000000010000100010C005401000010000100000000C005510010001000000000000C005600100000010000000100C005700001011000000000000C005800000000000011001000C005900

24、000110000000000100C006010000010010000000000C006100010000000100001000C006201010000000100000000C006300100000001000000100C006400010101000000000000C006500000000101000000001C006600010000110000000000C006700001000010000000100C006800010100000010000000C006910000000010000000010C007010100000010000000000C007100

25、001000100000000100C007200000100010100000000C007300000000011000001000C007400010000001000100000C007500000000100010010000C007611100000000000000000C007700000000010000100100C007801100000000000010000C007900000010000000000011C008000000101000010000000C008100000100000101000000C008200000011000010000000C008300

26、100100010000000000C008400000101000000010000C008500000010000000001010C008600100000001000000100C008700001100000100000000C008800011000000000001000C008910001100000000000000C009000000100000100100000C009100100000101000000000C009200000000000100101000C009310000100100000000000C009410010000010000000000C009500000010101000000000C009600000000100000001010C009701000000000101000000C009810000100000000000100C009901000000000011000000C0100000000000000000000003.相關程序:問題一：