PAGEPAGE2能力課動量和能量觀點的綜合應用1．(2022·江西南昌十校二模)如圖1所示，光滑水平面上放著質量都為m的物塊A和B，A緊靠著固定的豎直擋板，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧(彈簧與A、B均不拴接)，用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能為eq\f(9,2)mveq\o\al(2,0)，在A、B間系一輕質細繩，細繩的長略大于彈簧的自然長度。放手后繩在短暫時間內被拉斷，之后B繼續向右運動，一段時間后與向左勻速運動、速度為v0的物塊C發生碰撞，碰后B、C立刻形成粘合體并停止運動，C的質量為2m。求：圖1 (1)B、C相撞前一瞬間B的速度大小； (2)繩被拉斷過程中，繩對A所做的W。 解析(1)B與C碰撞過程中動量守恒 mvB＝2mv0 解得：vB＝2v0 (2)彈簧恢復原長時，彈性勢能全部轉化為物塊B的動能，那么Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B0) 解得：vB0＝3v0 繩子拉斷過程，A、B系統動量守恒 mvB0＝mvB＋mvA 解得：vA＝v0 繩對A所做的功為 W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) 答案(1)2v0(2)eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)2．(2022·貴州八校聯盟二模)如圖2所示，在平直軌道上P點靜止放置一個質量為2m的物體A，P點左側粗糙，右側光滑。現有一顆質量為m的子彈以v0的水平速度射入物體A并和物體A一起滑上光滑平面，與前方靜止物體B發生彈性正碰后返回，在粗糙面滑行距離d停下。物體A與粗糙面之間的動摩擦因數為μ＝eq\f(veq\o\al(2,0),72gd)，求：圖2 (1)子彈與物體A碰撞過程中損失的機械能； (2)B物體的質量。 解析(1)設子彈與物體A的共同速度為v，由動量守恒定律有 mv0＝3mv， 那么該過程損失的機械能 ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)·3mv2＝eq\f(1,3)mveq\o\al(2,0)。 (2)以子彈、物體A和物體B為系統，設B的質量為M，碰后子彈和物體A的速度為v1，物體B的速度為v2，由動量守恒定律有 3mv＝Mv2＋3mv1， 碰撞過程機械能守恒，有 eq\f(1,2)·3mv2＝eq\f(1,2)·3mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)， 從子彈與物體A滑上粗糙面到停止，由能量守恒定律有 3μmgd＝eq\f(1,2)·3mveq\o\al(2,1)， 又μ＝eq\f(veq\o\al(2,0),72gd)， 綜上可解得M＝9m。 答案(1)eq\f(1,3)mveq\o\al(2,0)(2)9m3．(2022·河北正定模擬)如圖3所示，半徑為R的四分之三光滑圓軌道豎直放置，CB是豎直直徑，A點與圓心等高，有小球b靜止在軌道底部，小球a自軌道上方某一高度處由靜止釋放自A點與軌道相切進入豎直圓軌道，a、b小球直徑相等、質量之比為3∶1，兩小球在軌道底部發生彈性正碰后小球b經過C點水平拋出落在離C點水平距離為2eq\r(2)R的地面上，重力加速度為g，小球均可視為質點。求圖3 (1)小球b碰后瞬間的速度； (2)小球a碰后在軌道中能上升的最大高度。 解析(1)b小球從C點拋出做平拋運動，有 eq\f(1,2)gt2＝2R 解得t＝eq\r(\f(4R,g)) 小球b做平拋運動的水平位移x＝vCt＝2eq\r(2)R 解得vC＝eq\r(2gR) 根據機械能守恒有eq\f(1,2)mbveq\o\al(2,b)＝eq\f(1,2)mbveq\o\al(2,C)＋2mbgR 可知小球b在碰后瞬間的速度vb＝eq\r(6gR) (2)a、b兩小球相碰，由動量守恒得：mava＝mava′＋mbvb a、b兩小球發生彈性碰撞，由機械能守恒得： eq\f(1,2)maveq\o\al(2,a)＝eq\f(1,2)mava′2＋eq\f(1,2)mbveq\o\al(2,b) 又ma＝3mb 解得：va＝eq\f(2,3)vb，va′＝eq\f(1,2)va＝eq\f(1,3)vb 可得：va′＝eq\f(\r(6gR),3)，小球a在軌道內運動，不能到達圓心高度，所以小球a不會脫離軌道，只能在軌道內來回滾動，根據機械能守恒可得eq\f(1,2)mava′2＝magh 解得h＝eq\f(R,3) 答案(1)eq\r(6gR)(2)eq\f(1,3)R4．如圖4所示的水平軌道中，AC段的中點B的正上方有一探測器，C處有一豎直擋板，物體P1沿軌道向右以速度v1與靜止在A點的物體P2碰撞，并接合成復合體P，以此碰撞時刻為計時零點，探測器只在t1＝2s至t2＝4s內工作。P1、P2的質量均為m＝1kg，P與AC間的動摩擦因數為μ＝0.1，AB段長L＝4m，g取10m/s2，P1、P2和P均視為質點，P與擋板的碰撞為彈性碰撞。圖4 (1)假設v1＝6m/s，求P1、P2碰后瞬間的速度大小v和碰撞損失的動能ΔE； (2)假設P與擋板碰后，能在探測器的工作時間內通過B點，求v1的取值范圍和P向左經過A點時的最大動能E。 解析(1)P1和P2碰撞過程動量守恒，有mv1＝2mv， 解得v＝eq\f(v1,2)＝3m/s。 碰撞過程中損失的動能為ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)(2m)v2＝9J。 (2)由于P與擋板的碰撞為彈性碰撞，故P在AC間的運動可等效為勻減速直線運動， 加速度大小為a＝μg＝1m/s2， 根據運動學公式有vB＝v－at，veq\o\al(2,B)－v2＝－2a·3L，又因為v＝eq\f(v1,2)。 ①當t＝2s時通過B點，解得v1＝14m/s； ②當t＝4s時通過B點，解得v1＝10m/s。 綜上可得v1的取值范圍為10m/s≤v1≤14m/s。 設向左經過A點的最大速度為vA，那么v1＝14m/s時有此最大速度，由veq\o\al(2,A)－veq\o\al(2,B)＝－2aL， 得veq\o\al(2,A)＝17m2/s2。 那么通過A點的最大動能為E＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,A)＝17J。 答案(1)3m/s9J(2)10m/s≤v1≤14m/s17J5．如圖5所示，光滑半圓形軌道MNP豎直固定在水平面上，直徑MP垂直于水平面，軌道半徑R＝0.5m。質量為m1的小球A靜止于軌道最低點M，質量為m2的小球B用長度為2R的細線懸掛于軌道最高點P。現將小球B向左拉起，使細線水平，以豎直向下的速度v0＝4m/s釋放小球B，小球B與小球A碰后粘在一起恰能沿半圓形軌道運動到P點。兩球可視為質點，g＝10m/s2，試求：圖5 (1)B球與A球相碰前的速度大小； (2)A、B兩球的質量之比m1∶m2。 解析(1)設B球與A球碰前速度為v1，碰后兩球的速度為v2。B球擺下來的過程中機械能守恒 eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,0)＋m2g·2R＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,1) 解得v1＝6m/s (2)碰后兩球恰能運動到P點，那么 (m1＋m2)g＝(m1＋m2)eq\f(veq\o\al(2,P),R) 得vP＝eq\r(gR)＝eq\r