學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章綜合檢測一、選擇題1。自然數(shù)都是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上“三段論”推理（)。A.正確B。推理形式不正確C.兩個(gè)“自然數(shù)"概念不一致D.“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致【解析】“三段論”中的大前提,小前提及推理形式都是正確的.【答案】A2。余弦函數(shù)是偶函數(shù),f（x)=cos（x+1)是余弦函數(shù),因此f（x)=cos(x+1）是偶函數(shù)，以上推理().A.結(jié)論正確 B。大前提不正確C.小前提不正確 D。全不正確【解析】因?yàn)閒（x）=cos（x+1）不是余弦函數(shù),所以小前提錯(cuò)誤。【答案】C3。下列推理不是合情推理的是（）.A。由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B.由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°C。某次考試張軍的成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分D.蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物，所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的【解析】A是類比推理，B、D是歸納推理,C不是合情推理。【答案】C4。若f(n)=1+12+13+…+12n+1（n∈N*）,則當(dāng)n=2時(shí)，f（n）A.1+12 B。C.1+12+13+14+1【解析】∵f（n)=1+12+13+…+12n+1,分子是1,分母是1，2,3，…，2n+1,故當(dāng)n=2時(shí),f(n)=1+12+13+…+12×2+1=【答案】C5。下列推理是歸納推理的是（）.A.A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足｜PA｜+｜PB｜=2a〉｜AB|,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓B.由a1=1,an=3n—1,求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C。由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,猜想出橢圓x2a2+y2b2D。科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】由S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，是從特殊到一般的推理,所以選項(xiàng)B中的推理是歸納推理，故選B.【答案】B6。函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈,若對任意的x1，x2∈D都有|f(x1）-f(x2）｜〈1，則稱函數(shù)y=f（x）為“Storm"函數(shù)。那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是(）.A。f(x）=x2(x∈［-1，2］)B。f(x)=x3（x∈[0，1］)C。f（x)=-2x+1（x∈［—1,0])D。f（x）=1x（x∈［1,3【解析】由定義知|f(x1)-f(x2）｜小于等于函數(shù)f(x）的最大值與最小值之差的絕對值，故要判斷一個(gè)函數(shù)是否為“Storm”函數(shù)，只需看這個(gè)函數(shù)的最值之差的絕對值是否小于1即可。在選項(xiàng)D中,因?yàn)閒(x）=1x在x∈[1，3]上是減函數(shù)，所以令m=f(3)=13，M=f(1)=1,所以｜M—m|=1-13=23<1，【答案】D7。下列推理正確的是（)。A.把a(bǔ)(b+c）與loga（x+y）進(jìn)行類比,則有l(wèi)oga（x+y)=logax+logayB。把a(bǔ)(b+c）與sin(x+y）進(jìn)行類比,則有sin(x+y）=sinx+sinyC。把（ab)n與（a+b)n進(jìn)行類比，則有(x+y)n=xn+ynD.把（a+b)+c與（xy）z進(jìn)行類比,則有(xy)z=x（yz)【答案】D8。用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+…+(n-1）2+n2+（n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3。從n=k到n=k+A。(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2C。（k+1)2 D。13（k+1）[2（k+1)2+1【解析】當(dāng)n=k時(shí),左邊=12+22+…+（k—1)2+k2+（k—1）2+…+22+12;當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=12+22+…+(k—1)2+k2+(k+1)2+k2+（k-1)2+…+22+12.所以從n=k到n=k+1，左邊應(yīng)添加的式子為(k+1)2+k2。【答案】B9。如表所示，若數(shù)列｛xn}滿足x0=5，且對任何自然數(shù)均有xn+1=f（xn),則x2019=（）。x12345f(x）41352A。1 B。2 C。4 D.5【解析】因?yàn)閤1=f(x0）=f（5）=2,x2=f(2)=1,x3=f（1)=4,x4=f(4）=5，x5=f(5)=2，…，所以數(shù)列｛xn｝是周期為4的數(shù)列，所以x2019=x3=4.故選C。【答案】C10。在△ABC中，角A,B,C分別為邊a,b，c所對的角.若a，b，c成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是().A。0,πC.0,π【解析】∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b,∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+又∵余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間0,π∴0<B≤π3.故選【答案】B11。觀察數(shù)表：1234…第一行2345…第二行3456…第三行4567…第四行……第一列第二列第三列第四列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，第n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為().A.2n-1 B。2n+1C.n2-1 D.n2【答案】A12.若△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（）.A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B。△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D。△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形【解析】由條件知,△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，故△A1B1C1是銳角三角形。假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形,由sinA故A2+B2+C2=π2，這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾,所以假設(shè)不成立。又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是鈍角三角形【答案】D二、填空題13。已知x,y∈R,且x+y〈2，則x，y中至多有一個(gè)大于1.在用反證法證明時(shí),假設(shè)應(yīng)為.

【解析】“x,y中至多有一個(gè)大于1"包括“x，y都不大于1"和“x,y有且僅有一個(gè)大于1”,故假設(shè)應(yīng)為“x,y都大于1”。【答案】x,y都大于114。觀察下列等式:31×2×12=1—12×2，31×2×12+42×3×122=1-13×22，31×2×12+42×3×122+53×4×【解析】由已知的等式得對于任何n∈N*,31×2×12+42×3×122+…【答案】1—115。如圖，若對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”:則由此規(guī)律,52的“分裂"中最大的數(shù)是，53的“分裂"中最小的數(shù)是.

【解析】由題意可知,因此52的“分裂”中最大的數(shù)為9,53的“分裂”中最小的數(shù)為21.【答案】92116.已知在數(shù)列｛an}中,a1=1，且Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和),則S2，S3，S4分別為，由此猜想Sn=。

【解析】由Sn,Sn+1，2S1成等差數(shù)列得2Sn+1=Sn+2S1.∵S1=a1=1，∴2Sn+1=Sn+2。令n=1,則2S2=S1+2=1+2=3?S2=32同理分別令n=2,n=3，可求得S3=74,S4=15由S1=1=21-120，S2=32=22-121，S3=猜想Sn=2n-12n-1【答案】32，74,1582n-1三、解答題17.實(shí)數(shù)a,b，c,d滿足a+b=c+d=1，ac+bd>1,求證：a，b,c，d至少有一個(gè)負(fù)數(shù)。【解析】假設(shè)a,b，c，d都是非負(fù)數(shù),則1=(a+b）(c+d)=(ac+bd）+(ad+bc）≥ac+bd，這與已知ac+bd>1矛盾。故a,b,c,d至少有一個(gè)負(fù)數(shù)。18.已知A,B都是銳角,且A+B≠90°,（1+tanA）（1+tanB）=2。求證:A+B=45°.【解析】∵（1+tanA）（1+tanB）=2,∴tanA+tanB=1-tanAtanB。∵A+B≠90°,∴tan(A+B)=tanA+tanB∵A,B都是銳角,∴0°〈A+B<180°.∴A+B=45°。19。已知a>0,b〉0,2c>a+b，求證:c—c2-ab【解析】要證c—c2-ab只需證-c2-ab即證|a—c｜〈c2只需證(a-c）2〈（c2-ab只需證a2—2ac+c2〈c2—ab,即證2ac〉a2+ab。因?yàn)閍>0，所以只需證2c〉a+b。又因?yàn)?c>a+b成立。所以原不等式成立。20。已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)，求證：(1)cosA是有理數(shù)；（2)對任何正整數(shù)n，cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù).【解析】(1）由AB,BC,AC的長為有理數(shù)及余弦定理知,cosA=AB2(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù).①當(dāng)n=1時(shí),由（1)知cosA是有理數(shù),從而有sinA·sinA=1-cos2A也是有理數(shù)。②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*)時(shí),coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù),那么當(dāng)n=k+1時(shí),cos(k+1)A=cosA·coskA—sinA·sinkA,sinA·sin(k+1)A=sinA·(sinA·coskA+cosA·sinkA）=(sinA·sinA）·coskA+（sinA·sinkA）·cosA,由①和歸納假設(shè)知,cos(k+1)A和sinA·sin(k+1)A都是有理數(shù)。即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。綜合①②可知,對任何正整數(shù)n,cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)。21。如圖，已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB,PA⊥BC，AB⊥BC,且PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).（1）求證:PA⊥BD.(2）求證:平面BDE⊥平面PAC.（3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積。【解析】(1）∵PA⊥AB,PA⊥BC，且AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABC。又∵BD?平面ABC，∴PA⊥BD.(2)∵AB=BC，D為線段AC的中點(diǎn)，∴在△ABC中,BD⊥AC。又由（1）知,PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC。又∵BD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC。(3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，由D是AC的中點(diǎn)知，E為PC的中點(diǎn)。因此ED=12PA=1，ED⊥平面由AB=BC=2,AB⊥BC,D為AC的中點(diǎn)知，BD=CD=2。又由BD⊥AC知，BD⊥DC,即∠BDC=90°。因此VE—BCD=13S△BCD·ED=13×12×2×2×122。已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=an2+1an-1,且an>0，n(1)求a1，a2,a3；（2）猜想{an｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。【解析】(1）a1=S1=a12+1a1-1,即a12+2a∵an>0,∴a1=3-1。S2=a1+a2=a22+1a2—1，即a22+23a2-2=0，∴aS3=a1+a2+a3=a32+1a即a32+25a3—2=0,∴a3=7—（2)由（1)猜想an=2n+1-2n-1