2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線y2=4X的焦點(diǎn)為尸，P為拋物線上一點(diǎn)，A（1,D,當(dāng)A/VLF周長(zhǎng)最小時(shí)，P尸所在直線的斜率為（）

4334

A.----B.----C.-D.一

3443

2.已知數(shù)列｛0“｝為等比數(shù)列，若4+。7+他=26,且&F9=36,則2+，?+'=（）

A.UB.P或上1313

C.—D.—

18183696

x+y<10

3.設(shè)實(shí)數(shù)x、丁滿足約束條件，x—,則z=2x+3y的最小值為（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

4.若直線y=Ax+l與圓*2+爐=1相交于尸、。兩點(diǎn)，且/尸。。=120。（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則A的值為（）

A.73B.72c.G或一75D.血和一行

2+3z

5.已知i為虛數(shù)單位，則（［_2i）i=（)

74.74.47.47.

A.—+—iB.-------1C.-+-ZD.-------1

55555555

6.已知圓錐的高為3,底面半徑為百，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的

體積的比值為（）

532425

A.-B.—C.—D.—

3939

7.已知函數(shù)/（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)xe（l,”）時(shí)，函數(shù)”X）單調(diào)遞減，設(shè)a=人=/⑶，c=/（0）,

則a、b、c的大小關(guān)系為O

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<h<c

[x],x>0

已知函數(shù)，

8./(x)=l（口］表示不超過X的最大整數(shù)），若/（力-辦=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

一,x<0

,x

取值范圍是（）

_L12323

A._L2、C.D.

253J'3>3543,4

9.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)

成績(jī)分析.

②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間「二0,匚0］內(nèi)；

③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；

④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.-D.j

22

10.已知雙曲線C:1-夫=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，居，點(diǎn)尸是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交

a-Zr

于點(diǎn)M,若|f；O|=2|OM|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），F(xiàn)F,1PF2,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=i3xB.y—+-^3xC.y=i2xD.y-+-J2.X

11.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí)，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.

現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

12.已知集合A={y|y=|x|T,xGR},B={x|x>2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3SAB.3^BC.AAB=BD.AUB=B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在棱長(zhǎng)為6的正方體ABC。-A4GA中，M是3C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面。CGR，所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

ZAPD=ZMPC,則三棱錐P-BCD的體積的最大值是.

14.某公園劃船收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表：

船型兩人船（限乘2人）四人船（限乘4人，六人船（限乘6人）

每船租金（元/小時(shí)）90100130

某班16名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，每只租船必須坐滿，租船最低總費(fèi)用為_____元,

租船的總費(fèi)用共有種可能.

1°乃）

cos2a---

15.若tancu=2,貝！|7----y-____.

sin（2a-

2+In2x。

16.函數(shù)/0）=一—的圖象在x=彳處的切線方程為__________.

x2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）若不等式l+2*+4'z>0在xe（0,l］時(shí)恒成立，則。的取值范圍是.

7T

18.（12分）如圖，四棱錐￡—ABC。中，平面ABC￡>_L平面8CE,若NBCE=一,四邊形ABQ9是平行四邊形,

2

且AE_LBZ）.

（I）求證：AB^AD；

（II）若點(diǎn)尸在線段AE上，且EC//平面3￡尸，NBCE>=6（）°,BC=CE,求二面角A—所一。的余弦值.

19.（12分）（1）已知數(shù)列｛q｝滿足：6=1,4=丸，且。;=為+q,1一/1%41（%為非零常數(shù)，〃N2,〃eN*）,

求數(shù)列的前〃項(xiàng)和;

（2）已知數(shù)列｛包｝滿足:

(i)對(duì)任意的〃eN”,0<bn<bn+l；

〃=2攵+1(%￡N)

他"，?>0，l>0,%>0),且*=

(ii)對(duì)任意的n>29n^N\%*%

〃%〃，n=2k(ke.N)

①若〃=l,%=q2,求數(shù)列出}是等比數(shù)列的充要條件.

②求證:數(shù)列仇也，々也也也,…也吁3也,“-2,…是等比數(shù)列，其中加€N*.

20.(12分)已知三棱錐A-BCD中側(cè)面43D與底面BC。都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且面面BCD,M.N

分別為線段AD、A3的中點(diǎn).P為線段8。上的點(diǎn)，且MNLNP.

(1)證明：P為線段BC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A-NP—M的余弦值.

21.(12分)如圖，設(shè)A是由〃x〃個(gè)實(shí)數(shù)組成的"行”列的數(shù)表，其中劭①j=i,2,3,…，〃)表示位于第i行第/

列的實(shí)數(shù)，且劭￡{1,-1}.記S5,〃)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于Ae(〃，n),記r,(4)為A的第i行各數(shù)之積,

Cj⑷為A的第/列各數(shù)之積.令/(A)=ZMA)+Zc)(A)

i=lj=l

anQ12???a\n

。21。22

????????????

???

an\dnldnn

(I)請(qǐng)寫出一個(gè)AeS(4,4),使得I(4)=0；

(II)是否存在AeS(9,9),使得/(4)=0?說明理由；

(HI)給定正整數(shù)〃，對(duì)于所有的4€S(〃，”)，求/(4)的取值集合.

22

22.(10分)已知6(-1,0),與(1,0)分別是橢圓C:=r+=v=1,3>6>0)的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為

ab~

、尺——1一

衣，43是橢圓C上兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足8M=-84.

52

⑴求。的方程;

(2)若點(diǎn)M在圓/+丁=1上，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求礪.礪的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可.

【詳解】

結(jié)合題意，繪制圖像

要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN,所以

PF+PA=PA+PN>AN>AG,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長(zhǎng)最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為所以斜

1-0_4

率為"=1=一3,故選A.

-----1

4

【點(diǎn)睛】

本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等.

2.A

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得%々9=4?%=d=36,通分化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，則%?。9=%?“8=姆=36,

又。6+。7+。8=26,即。6+。8=26—%,

111%q+Gq+R"_36+%.（4+4）_36+%-（26-%）

所以，----1-----1....---------------------------------------------=------------------

a6a7%a（、?（27q36?%36?%

_36+%-（26-&7）_36+26?%-a；_36+26?-36_26?%_13

36“36036-a-j36?/18

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y410

做出滿足y<2的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過點(diǎn)A時(shí)，取得最小值,

x=4x=4

由《解得《即A(4,2),

x—y=2b=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

故選：D.

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+l與圓x2+y2=l相交于P、Q兩點(diǎn)，且NPOQ=120。（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)NQOx的大

小，求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，直線過定點(diǎn)（0,1）,

VZPOQ=120°AZOPQ=30°,=>Z1=120°,Z2=60°,

.,?由對(duì)稱性可知k=±g.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-i）_74.

（l-2z）z-2+i~（2+z）（2-z）-55?'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.

6.B

【解析】

計(jì)算求半徑為R=2,再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：設(shè)球半徑為R,則R2=（3—R）2+J§2,解得R=2.

4,321r-2V,32

故求體積為：匕=§萬(wàn)代=§萬(wàn)，圓錐的體積：匕=§乃Gx3=3萬(wàn)，故，L=亍.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

7.A

【解析】

根據(jù)〃%+1）圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知/（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，從而得到“X）在（―8,1）上單調(diào)遞增且/（3）=/（—1）；

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】

Qf(x+1)為偶函數(shù).?./(x+1)圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱

???/(%)圖象關(guān)于％=1對(duì)稱

門€(1,+8)時(shí)，“X)單調(diào)遞減.?.XG(-8,1)時(shí)，“X)單調(diào)遞增

又/(3)=/(—1)且一1<一3<0.?./(—1)<即。<a<c

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對(duì)稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

8.A

【解析】

根據(jù)［X］的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用

數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)O?x<l時(shí)，［%］=0,

當(dāng)lWx<2時(shí)，［%］=1,

當(dāng)2?x<3時(shí)，［司=2,

當(dāng)3?x<4時(shí)，［x］=3,

若/(x)—公=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則等價(jià)為/(%)知有且僅有3個(gè)根，

即/(%)與g(x)=，a有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)/(x)和g(x)的圖象如圖，

當(dāng)a=l時(shí)，8⑴7與〃％)有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過點(diǎn)A(2,D時(shí)，即g(2)=2a=l,a=g時(shí)，/(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過點(diǎn)3(3,2)時(shí)，即g⑶=3a=2,時(shí)，/(x)與g(x)有三個(gè)交點(diǎn),

1o

要使“X)與g(x)=ar有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線g(x)處在過y=和y=§x之間，

即

23

故選：A.

【點(diǎn)睛】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)

分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

9.C

【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績(jī)的比較，說明正誤即可.

【詳解】

①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性，最高I。分，平均成績(jī)?yōu)榈陀诎?分，①錯(cuò)誤；

②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)，②正確；

③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；

④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步，故④不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

利用三角形AOM耳與與F相似得|尸制=2歸4|,結(jié)合雙曲線的定義求得〃涉"的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設(shè)K（-C,O）,K（c,O）,

由舊a=2|QM|,AOMf；與APgb相似，

所以嵋r黑=2,即閥|=2|「治

又因?yàn)闅w用-|”|=2〃，

所以|P耳|=4匹|「用=2°,

所以4c2=16以2+4/，BPc2=5a2?b1=4a2?

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

11.C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素，再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分，每一個(gè)部分至少一個(gè)，再將這3部分

分配到3個(gè)不同的路口，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體，5個(gè)人變成了4個(gè)元素，再把這4個(gè)元素分成3部分，每部分至少有1個(gè)人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個(gè)不同的路口，有A；種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有盤?8=36種方案。

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查排列與組合，常常運(yùn)用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

12.C

【解析】

試題分析：集合A={y|y之一1}.?.B=A.〔AcB=B

考點(diǎn)：集合間的關(guān)系

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.126

【解析】

根據(jù)放與相似，PD=2PC,過P作PO_LC￡>于。，利用體積公式求解OP最值，根據(jù)勾股定理

得出3〃2=_3/+48%—144，0<x<6,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.

【詳解】

V在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-4旦G2中，

M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面。CCA所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

且滿足NAP￡）=NMPC,又NAOP=NMCP=90°，

...RfAAOP與MAMCP相似

過P作PO_LCD于。，設(shè)。O=x,PO=h,

\]x2+h2=2yJ（6-x）2+〃2，化簡(jiǎn)得：

3/Z2=-3X2+48X-144?0<X<6,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，x=6時(shí)，3外取得最大值36,/41ax=26,

在正方體中PO，平面ABCD.

三棱錐P—BCD體積的最大值為」x」x6x6x2G=12班

32

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.

14.36010

【解析】

列出所有租船的情況，分別計(jì)算出租金，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)租兩人船時(shí)，租金為：3x9()=72()元,

2

當(dāng)租四人船時(shí)，租金為：3x100=400元,

4

當(dāng)租1條四人船6條兩人船時(shí),租金為：100+6x90=640元，

當(dāng)租2條四人船4條兩人船時(shí),租金為：2x100+4x90=560%

當(dāng)租3條四人船2條兩人船時(shí),租金為：3x100+2x90=480元

當(dāng)租1條六人船5條2人船時(shí),租金為：130+5x90=580元，

當(dāng)租2條六人船2條2人船時(shí),租金為：2x130+2x90=440元

當(dāng)租1條六人船1條四人船3條2人船時(shí)，租金為：130+100+3x90=500元,

當(dāng)租1條六人船2條四人船1條2人船時(shí)，租金為：130+2*100+90=420元,

當(dāng)租2條六人船1條四人船時(shí)，租金為：2x130+100=360元，

綜上，租船最低總費(fèi)用為360元，租船的總費(fèi)用共有1()種可能.

故答案為：360,10.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

1

15.-

7

【解析】

4

由tana=2,得出lan2a=—-,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.

3

【詳解】

4

因?yàn)閘an<z=2,所以tan2a

3

cos2a——cos2acos一+sin2asin—

441+tan2a

所以一7——-

sinf2a一￡sin2acos四-cos2asin兀tan2a—17

44

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于

對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.

16.40x+/y-32e=0

【解析】

2+In2xe

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)/（%）=-L求導(dǎo)后在計(jì)算在％=-處導(dǎo)函數(shù)的值，再利用點(diǎn)斜式列出方程化簡(jiǎn)即可.

x2

【詳解】

/_(2+In2x).2"x_2x(2+In2x)，則切線的斜率為..圖=-空

--------3--------=--------4------e

又=N■，所以函數(shù)/（x）的圖象在》=三處的切線方程為y-￥=-當(dāng)（無一，即40x+e3y_32e=0.

e2e"e\2）

故答案為:40x+e3y-32e=0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程問題，需要注意求導(dǎo)法則與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.a>—

4

【解析】

原不等式等價(jià)于-卜?在（0』］恒成立，令，=/,/"）=/+￡,求出在上的最小值后可得“

的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?+2*+4*用〉0在％€（0,1］時(shí)恒成立，故。在（0』恒成立.

令/=由XG（0,l］可得/€

令/⑺="+f,fe則./"⑺為上的增函數(shù)，故/（，）*=］?

田3

故。>一-

4

3

故答案為：a>—■

4

【點(diǎn)睛】

本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對(duì)于此類問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最

值問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

18.(I)見解析(II)以

7

【解析】

(I)推導(dǎo)出8C_LCE,從而EC_L平面A8C。,進(jìn)而ECA.BD,再由BDA.AE,得平面

AEC,從而8O_LAC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

(II)設(shè)AC與的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出ECHfG,取BC的中點(diǎn)為。，連結(jié)0。測(cè)0￡>J_5C,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)0

且與CE平行的直線為x軸，以為y軸，0。為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

1T

(I)證明：NBCE=—,即8C_LCE,

2

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面BCE,

所以EC_L平面45CD,

所以EC工BD,

因?yàn)?O_LAE，

所以30,平面AEC,

所以3OLAC,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形，

所以四邊形ABC。是菱形，

故AB=AD;

解法一：(II)設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面8DE,

平面AECI平面BO/于尸G,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以尸是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)镹BC￡>=60°,

取BC的中點(diǎn)為。，連接8,

則”）人BC,

因?yàn)槠矫鍭BC￡>_L平面BCE,

所以O(shè)D_L面BEC,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。且與CE平行的直線為x軸，以所在直線為N軸，以“）所在直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則8（0,—1,0）,A（0,-2,V3）,D（0,0,V3）,而=卜』,4],

I22Jk227

麗=（0,一1,@,麗=（0,1,現(xiàn)

設(shè)平面A8E的法向量1=（5,加4）,

1V3

則“A丁=°,取心（一百,6,1）,

-yt+技1=0

同理可得平面尸的法向量區(qū)=（o,6,-1）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為。，

2_S

因?yàn)閏osd,〃2）=麻S

|-2.A/7-7，

所以二面角A—所一。的余弦值為五.

解法二：（II）設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面BDF,平面AECI平面BD尸于bG,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以尸是4E的中點(diǎn)，

因?yàn)锳C_L8O,AC1FG,

所以AC,平面

所以AC，BE,

取BF中點(diǎn)H,連接G”、AH,

因?yàn)镕G=BG,

所以GHLBF,

故平面A”G,

所以AHJ_3E,即NA〃G是二面角A—BR-Z）的平面角，

不妨設(shè)AB=2,

因?yàn)锳G=J5,GH~>

2

在HAAG“中，tanZAHG=V6?

所以COSNA”G=E，所以二面角A—斯一￡）的余弦值為立.

77

【點(diǎn)睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.

19.（1）普山八（2）①ba=q=i；②證明見解析.

【解析】

（1）由條件可得結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，即可得到所求；

an4l

（2）①若4=1,可令q=q2=g,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到所求充要條件；

②當(dāng)％=2相，處-?應(yīng)向=〃琛'，瓦…\也.3=，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)變形，即可得到所求

結(jié)論.

【詳解】

解：（1）4=1,。2=丸，且-枇的G為非零常數(shù)，.2,〃eN*）,

—rZM""+1】

可得--------=4,

4%

可得數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為X,公差為4的等差數(shù)列，

an-\

可得a=25-l),前〃項(xiàng)和為"("+D/1；

an-\2

(2)①若〃=1,可令/=%=4，b,L=q",

2

且￥==q，即匕2=伉4，=7-=7->b5=b｝q,

bxbt瓦b、

對(duì)任意的“€N*,0<〃,,,〃+—可得0<々蛋歸原岫4包，

可得4..1,by..1,

數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列，則例=姑3,氏=岫,

可得〃=夕=1，也1功“+1=1，即4=&=a=4=1，

又a―，即有%=%,即2=1,

數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列的充要條件為ba=q=l;

,,〃q「,〃=2Z+l(ZeN*)

②證明：對(duì)任意的〃-2,〃eN*,也+i=〈(〃〉0,1>0,%>0),

4%,n=2k(keN)

當(dāng)k=2m,也"向=〃建，瓦—也加3=〃以"2，

可得警■=?；,即｛號(hào)—｝以乙為首項(xiàng)、〃為公比的等比數(shù)列；

同理可得｛公會(huì)｝以區(qū)為首項(xiàng)、如為公比的等比數(shù)列；

對(duì)任意的〃eN*,0<以,%,可得意血鼠-2%用,

即有加產(chǎn)-2釉2中-23產(chǎn),

所以對(duì)X//wN*,3?(生產(chǎn)一2,,1,3?(里產(chǎn)-2人,,1,

t>2?|瓦%%

可得2(/n-1)/^—+lg^?O,2(m-l)/g—+/gy--2lgq?,0,

5b2q2b、

即1，,%且%，，1，則%=%，可令1=%=%，

故數(shù)列a,b2,b5,bk,b<),bw，…，b4m-3,"”,-2>

是以偽為首項(xiàng)，4。為公比的等比數(shù)列，其中根eN*.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類討論思想方法和推理、

運(yùn)算能力，屬于難題.

20.(1)見解析；(2)叵

5

【解析】

(1)設(shè)。為3。中點(diǎn)，連結(jié)04OC,先證明3。，4。，可證得8。，77戶，假設(shè)「不為線段3。的中點(diǎn)，可得3。_1

平面ABC,這與NQ5C=60°矛盾，即得證；

(2)以。為原點(diǎn)，以O(shè)BOC,。4分別為X，Vz軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面ANP,平面MNP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【詳解】

(1)設(shè)。為8。中點(diǎn)，連結(jié)04OC.

4

/.OALBD,OC±BD,

又。4noe=。

班>_1_平面。4。，

ACu平面Q4C,

:.BD±AC.

又M,N分別為ADA8中點(diǎn)，

MN//BD,又MNLNP,

：.BD1NP.

假設(shè)P不為線段8C的中點(diǎn)，

則NP與AC是平面內(nèi)ABC內(nèi)的相交直線，

從而5￡>_L平面ABC,

這與NOBC=60°矛盾，所以P為線段BC的中點(diǎn).

(2)以。為原點(diǎn)，由條件面45。_1_面8。。，

：.AO1OC,以O(shè)B,OC,Q4分別為與Nz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

1頻］

則A(O,O,6),,N一,0,,p

I2222J

而=—,0,—

2

,礪=(1,0,0).

設(shè)平面ANP的法向量為加=(x，y，z)

16n

—x------z=0

m-AN=0一22

所以

in-PN=0百工行n

----yd----z=0

22

取y=i,則z=i,x=G=>加=.

同法可求得平面MNP的法向量為n=(0,1,1)

m-h2

/.cos(m,n)

H|n|-V5A/2~5~)

由圖知二面角A-NP-M為銳二面角,

二面角A-NP-M的余弦值為巫.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

21.(I)答案見解析；(II)不存在，理由見解析；(HD析(〃一2左)|%=0,1,2,

【解析】

(I)可取第一行都為-1,其余的都取L即滿足題意；

(D)用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論;

(Ill)通過分析正確得出4A)的表達(dá)式，以及從4如何得到A1,4……，以此類推可得到4“

【詳解】

(I)答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

-1-1-1--1

1111

1111

1111

(H)不存在A€S(9,9),使得/(A)=0,證明如下：

假如存在AeS(9,9),使得/(A)=0.

因?yàn)椤闍)e{1,-1},(A)e{1,-1}(z,j=1,2,3,...,9),

所以4(A),4(A),與(A),q(A),C2(A),...?Cg(A)這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.

令M=T;(A)-^(A)...^(A)-CI(A)-C2(A)...C9(A).

一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而M=(-1)9=一1①，

另一方面，{(A)/(A)…馬(A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為“)；

C](A)-C2(A)…Q(A)也表示機(jī)，從而用=加2=1②，

①，②相矛盾，從而不存在AeS(9,9),使得/(A)=0.

(UI)記這〃2個(gè)實(shí)數(shù)之積為p.

一方面，從“行”的角度看，有為=[(4)?弓(4)…4⑷；

另一方面，從“列”的角度看，有〃=j(A)q(A)…q,(A)；

從而有弓⑷?弓(A)…/(A)=G(A)?。2(A)…%(A)③，

注意到，；(A)G{1,-1),Cj(A)G<i<n,l<j<n),

下面考慮4(A),下A),下A),q(A),C2(A),...?c.(A)中-1的個(gè)數(shù)，

由③知，上述2〃個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為2人(0<%<〃)，則1的個(gè)數(shù)為2〃-2&,

所以/(A)=(―1)x2女+1x(2〃-26=2(八一2左)，

對(duì)數(shù)表4：%?=1(。/=1,2,3,...,〃),顯然/(4)=2〃.

將數(shù)表4中的%由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A，顯然/(4)=2〃一4,

將數(shù)表A中的%2由1變?yōu)?1，得到數(shù)表4,顯然44)=2〃-8,

依此類推，將數(shù)表A1中的％*由1變?yōu)椤埃玫綌?shù)表4,

即數(shù)表4滿足：=a22=...=akk=-1(1＜A：＜H),其余他=1,

所以彳(4)=q(A)=...==-1,c,(A)=C2(A)=...=CA.(A)=-1,

所以/(Aj=2[(_l)xZ+(〃_Q]=2〃_4Z,

由)的任意性知,I(A)的取值集合為｛2(〃-2口蟲=0,1,2,…㈤.

【點(diǎn)睛】

本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題，考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)引入的概念與性質(zhì)

進(jìn)行推理求解，屬于較難題.

X2y2「1111、

22.(1)1----=1；(2)——,一~—.

54L45)

【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中仇c的關(guān)系，即可求得a/,c的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出直線AB的方程為丫=履+機(jī)，由題意可知A/為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出

%+々,％科2,由判別式/＞0可得女2f4＞機(jī)2；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)礪?礪可得

OAOB=1-^AB2,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)”的坐標(biāo)，代入圓的方程/+；/=],化簡(jiǎn)可得

上"+4),代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令『=/+1,代入可得OA.O，=1—20X二8)

一次丁(51)(25-9)

1——120?8)

再令s=-及。=5—2s,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定。25的取值范圍，即確定的取值范圍,

t9a)+——+50(5-1)(251-9)

co

因而可得次?礪