4.2.4隨機變量的數字特征1.理解離散型隨機變量的數字特征,會根據離散型隨機變量的分布列求出數

學期望和方差.2.掌握二項分布的數字特征,并能解決簡單的實際問題.3.了解超幾何分布的均值,并能解決簡單的實際問題.1.一般地,如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示,則稱①

E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=

xipi

為離散型隨機變量X的均值或數學

期望(簡稱為期望).X的均值或數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.X與Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則由X與Y之間分布列的關系可知E(Y)=

E(aX+b)=②

aE(X)+b

.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn1|離散型隨機變量的均值X服從參數為p的兩點分布,則E(X)=③

p

;X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=④

np

;X服從參數為N,n,M的超幾何分布,即X~H(N,n,M),則E(X)=

.2|特殊分布的均值

X的分布列如下表所示,則稱D(X)=⑤

[xi-E(X)]2pi

為離散型隨機變量X的方差,

為離散型隨機變量X的⑥標準差

.2.隨機變量的方差和標準差反映了隨機變量的離散程度(或波動大小).X與Y都是離散型隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則由X與Y之間分布列和均值之

間的關系可知D(Y)=D(aX+b)=⑦

a2D(X)

.4.均值與方差的性質公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn3|離散型隨機變量的方差(1)若隨機變量X服從參數為p的兩點分布,則D(X)=p(1-p).(2)若隨機變量X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).4|兩點分布與二項分布的方差X的數學期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變化.

(

?)2.隨機變量的均值與樣本的平均值相同.

(

?

)3.隨機變量的數學期望刻畫了隨機變量的平均取值水平.

(√)4.若某人投籃的命中率為0.8,那么他投籃10次一定會進8個球.

(

?)5.離散型隨機變量的方差越大,隨機變量越穩定.

(

?)a是常數,則D(a)=0.

(√)7.離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|求離散型隨機變量的期望與方差求離散型隨機變量的期望與方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點分布和二項分布):直接利用定義求解.(2)已知分布列是兩點分布或二項分布型:直接套用公式求解.具體如下:①若X服從參數為p的兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).(3)未知分布列型:求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列,然后利用定

義求解.(4)已知E(X),D(X),求E(aX+b),D(aX+b)型:利用均值和方差的性質求解,即利用E

(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)求解.

已知隨機變量ξ,η的分布列如下表所示,則

(

C)A.Eξ<Eη,Dξ<DηB.Eξ<Eη,Dξ>DηC.Eξ<Eη,Dξ=DηD.Eξ=Eη,Dξ=Dηξ123P

η123P

解析由題意得Eξ=1×

+2×

+3×

=

,Dξ=

×

+

×

+

×

=

.Eη=1×

+2×

+3×

=

,Dη=

×

+

×

+

×

=

,∴Eξ<Eη,Dξ=Dη.故選C.

2|實際生活中的離散型隨機變量的數字特征實際生活中的均值問題均值在實際生活中有著廣泛的應用,如對體育比賽的成績預測,消費預測,工程方

案的預測,產品合格率的預測,投資收益的預測等方面,都可以通過隨機變量的均

值來進行估計.概率模型的三個解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.(2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的均值.(3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結論.

某電商平臺聯合手機廠家共同推出“分期購”服務,付款方式分為四個檔

X1、X2分別表示顧客購買H型手機和V型手

機的分期付款期數,根據以往銷售數據統計,X1和X2的分布列如下表所示:

X11234P0.10.40.40.1X21234P0.40.10.10.4(1)若某位顧客購買H型和V型手機各一部,求這位顧客兩種手機都選擇分4期

付款的概率;(2)電商平臺銷售一部V型手機,若顧客選擇分1期付款,則電商平臺獲得的利潤為300元;若顧客選擇分2期付款,則電商平臺獲得的利潤為350元;若顧客選擇分3期付

款,則電商平臺獲得的利潤為400元;若顧客選擇分4期付款,則電商平臺獲得的利

V型手機所獲得的利潤為X(單位:元),求X的分布

列;(3)比較D(X1)與D(X2)的大小(只需寫出結論).解析(1)該顧客購買H型和V型手機是相互獨立的,則這位顧客兩種手機都選擇分4期付

×0.4=0.04.(2)X的可能取值為600,650,700,750,800,850,900.則P(X×0.4=0.16;P(X=650)=

××0.1=0.08;P(X×0.1+

××0.4=0.09;P(X=750)=

××0.4+

××0.1=0.34;P(X×0.1+

××0.4=0.09;P(X=850)=

××0.4=0.08;P(X×0.4=0.16.則X的分布列為X600650700750800850900P0.160.080.090.340.090.080.16(3)D(X1)<D(X2).3|數學期望與方差在實際中的綜合應用離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,而方差反映了離

散型隨機變量的取值相對于均值的離散程度(或波動大小).因此,在利用均值和方

差的意義去分析解決實際問題時,兩者都要考慮,如在挑選人員參加比賽的問題

用中,是方差大了好還是方差小了好,要看這組數據反映的實際問題,如在機器生

產的零件與標準件的誤差問題上,應該是方差越小越好.

2017年11月,河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”,吸引了大批

司準備在2018年年初將4百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.項目一:地坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式,是人類“穴居”發展史演

變的實物見證.現準備投資建設20個地坑院,每個地坑院投資0.2百萬元,假設每個

地坑院是否盈利是相互獨立的,據市場調研,到2020年年底每個地坑院盈利的概

率為p(0<p<1),若盈利,則盈利投資額的40%,否則盈利額為0.項目二:天鵝湖國家濕地公園是一處融生態、文化和人文地理于一體的自然山水

景區.據市場調研,投資到該項目上,到2020年年底可能盈利投資額的50%,也可能

虧損投資額的30%,且這兩種情況發生的概率分別為p和1-p.(1)若投資項目一,記X1為盈利的地坑院的個數,求E(X1)(用p表示);(2)若投資項目二,記投資項目二的盈利為X2百萬元,求E(X2)(用p表示);(3)在(1)(2)兩個條件下,針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個項目,并

說明理由.解析(1)由題意得,X1~B(20,p),則盈利的地坑院個數的均值E(X1)=20p.(2)若投資項目二,則X2的分布列為E(X2)=2p-1.2(1-pp-1.2.×40%=0.08(百萬元),結合(1)得,投資建設20個地坑院,盈利的均值EX1E(X1×20pp

(百萬元),盈利的方差DX12D(X12×20p(1-pp(1-p).結合(2)得D(X2p+1.2)2pp+1.2)2(1-pp(1-p),X22-1.2Pp1-p∴DX1)<D(