學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE153學必求其心得，業必貴于專精第七章立體幾何第一節空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖1．簡單幾何體(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行側棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形eq\a\vs4\al(圓)側面展開圖矩形扇形扇環2．直觀圖(1）畫法:常用斜二測畫法．(2）規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°），z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．3．三視圖(1）幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說明：正視圖也稱主視圖，側視圖也稱左視圖．(2）作、看三視圖的3原則①位置原則：②度量原則：長對正、高平齊、寬相等(即正俯同長、正側同高、俯側同寬)．③虛實原則:輪廓線——現則實、隱則虛．1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”）（1）有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．（)（2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(）(3）棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(）(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．（)（5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉體是圓臺．（）答案：（1)×(2）×(3)√(4)×（5）×2．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是（）解析：選B俯視圖中顯然應有一個被遮擋的圓,所以內圓是虛線,故選B.3．若一個三棱柱的三視圖如圖所示,其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為(）A．2,2eq\r(3） B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4解析:選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2,底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長為4，故選D.4．(教材習題改編)如圖，長方體ABCD。A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________,截去的幾何體是______．答案：五棱柱三棱柱5．利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形;④菱形的直觀圖一定是菱形．以上結論正確的個數是________．解析：由斜二測畫法的規則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形,④也錯誤,故結論正確的個數為1.答案：1eq\a\vs4\al(考點一空間幾何體的結構特征）eq\a\vs4\al(基礎送分型考點-—自主練透）[考什么·怎么考］空間幾何體的結構特征是立體幾何的基礎知識，很少單獨考查。多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查,題型為選擇題或填空題，難度較低.1．用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（)A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析:選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體．2．給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等．其中正確命題的個數是(）A．0 B．1C．2 D．3解析:選B①錯誤,只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等．3．給出下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．解析：①不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則三個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形．答案:②③④［怎樣快解·準解]空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，根據定義進行判定．反例法通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個結論是錯誤的，只要舉出一個反例即可。eq\a\vs4\al（考點二空間幾何體的直觀圖)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考］單獨考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1。用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是()解析：選A由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為eq\r(2），所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對角線長為2eq\r（2）.故選A。2．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________．解析：如圖,圖①、圖②分別表示△ABC的實際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f(1，2）OC＝eq\f（\r(3)，2)，C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f（\r（2），2）＝eq\f(\r(6），4)。所以S△A′B′C′＝eq\f（1，2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2）×2×eq\f(\r（6），4)＝eq\f（\r（6)，4）。答案：eq\f(\r（6)，4）3。用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖,邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2解析：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長分別與BC,AD相等,高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2。答案：8［怎樣快解·準解]1．原圖形與直觀圖中的“三變"與“三不變"(1)“三變”eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角改變，與y軸平行的線段的長度改變減半,圖形改變)）(2）“三不變"eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（平行性不變，與x軸平行的線段長度不變,相對位置不變）)2．原圖形與直觀圖面積的關系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：（1)S直觀圖＝eq\f（\r（，2)，4)S原圖形;(2)S原圖形＝2eq\r（,2）S直觀圖．eq\a\vs4\al(考點三空間幾何體的三視圖)eq\a\vs4\al(題點多變型考點—-追根溯源）eq\x（\a\al(空間幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點內容，一般以選擇題或填空題的形式出現.,常見的命題角度有：,1已知幾何體,識別三視圖；,2已知三視圖，判斷幾何體;，3已知幾何體的三視圖中的某兩個視圖,確定另一種視圖。）)［題點全練]角度（一）已知幾何體，識別三視圖1。(2018·河北衡水中學調研）如圖所示，在正方體ABCD。A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側視圖為（）解析:選C如圖所示，過點A，E，C1的截面為AEC1F[題型技法]識別三視圖的步驟（1)弄清幾何體的結構特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；(2)根據三視圖的有關定義和規則先確定正視圖，再確定俯視圖,最后確定側視圖;(3)被遮住的輪廓線應為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線;對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．角度(二)已知三視圖，判斷幾何體2．(2017·北京高考）某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為（)A．3eq\r(2） B．2eq\r(3)C．2eq\r(2） D．2解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示，從圖中易得最長的棱為AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1）)＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r（3）.[題型技法］由三視圖確定幾何體的3步驟熟練掌握規則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎，在明確三視圖畫法規則的基礎上，按以下步驟可輕松解決此類問題：角度(三)已知幾何體三視圖中的某兩個視圖,確定另外一個視圖3．如圖，一個三棱柱的正視圖和側視圖分別是矩形和正三角形,則這個三棱柱的俯視圖為（）解析:選D由正視圖和側視圖可知，這是一個水平放置的正三棱柱．故選D.[題型技法］由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法解決此類問題，可先根據已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當然作為選擇題,也可將選項逐項代入檢驗．［題“根”探求］根據幾何體的三視圖判斷幾何體的結構特征，常見的有以下幾類三視圖的形狀對應的幾何體三個三角形三棱錐兩個三角形，一個四邊形四棱錐兩個三角形，一個圓圓錐一個三角形,兩個四邊形三棱柱三個四邊形四棱柱兩個四邊形，一個圓圓柱[沖關演練]1．(2018·惠州調研）如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(左)視圖為（）解析:選B從幾何體的左側看，對角線AD1在視線范圍內，故畫為實線,右側面的棱C1F2。（2018·石家莊質檢)一個三棱錐的正（主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(左）視圖可能為()解析：選D由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D。3。（2017·全國卷Ⅰ）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：選B由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(2＋4×2,2)×2＝12，故選B.（一)普通高中適用作業A級——基礎小題練熟練快1。如圖，△A′B′O′是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖，已知A′B′∥y′軸，O′B′＝4，且△ABO的面積為16，過A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長為（）A．2eq\r（2) B.eq\r（2)C．16eq\r(2） D．1解析:選A因為A′B′∥y′軸,所以△ABO中，AB⊥OB.又因為△ABO的面積為16，所以eq\f(1，2）AB·OB＝16。因為OB＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4。因為A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′,所以A′C′＝4·sin45°＝2eq\r(2)，故選A。2．一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（)解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內部是一條水平線段連接兩個三角形,故選B。3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(）解析：選D由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱．故選D。4.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖為()解析:選D由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個三棱錐與半個圓錐的組合體，故側視圖為D.5.如圖，在正四棱柱ABCD.A1B1C1D1中,點P是平面A1B1C1D1內一點,則三棱錐P.BCDA．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：選A根據題意，三棱錐P。BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P。BCD的正視圖與側視圖的面積之比為1∶1.6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A．2 B。eq\f(9,2）C.eq\f(3，2） D．3解析：選D根據三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體積V＝eq\f（1，3)×eq\f(1＋2，2）×2×x＝3，解得x＝3，故選D。7．設有以下四個命題:①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體;④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題的序號是________．解析:命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直,故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的．答案：①④8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm。解析：如圖,過點A作AC⊥OB，交OB于點C。在Rt△ABC中，AC＝12（cm)，BC＝8－3＝5（cm）．∴AB＝eq\r（122＋52)＝13（cm)．答案：139．已知正四棱錐V.ABCD中,底面面積為16，一條側棱的長為2eq\r（11）,則該棱錐的高為________．解析:如圖,取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V.ABCD的高．因為底面面積為16,所以AO＝2eq\r（2）.因為一條側棱長為2eq\r(11).所以VO＝eq\r（\a\vs4\al(VA2－AO2）)＝eq\r（44－8）＝6。所以正四棱錐V。ABCD的高為6.答案：610．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖為如圖所示的四棱柱ABCD。A1B1C1D1，當選擇的4個點是B1，B，C，C1時，可知①正確；當選擇的4個點是B,A，B1，C時，可知②正確；易知③不正確．答案：①②B級——中檔題目練通抓牢1．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體,該幾何體的三視圖如圖所示,則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數是（)A．8 B．7C．6 D．5解析：選C畫出直觀圖可知，共需要6塊．2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側視圖為()解析：選B如圖所示，由正視圖和側視圖可知該幾何體是由長方體ABCD。A1B1C1D1截去三棱錐B1。A1BC1得到的，故其側視圖為選項B.3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5）C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝eq\r（5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f（1，2)×4×eq\r（5)＝2eq\r(5）,S△PAB＝S△PDC＝eq\f（1，2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f（1,2）×4×3＝6.所以四個側面中面積最大的是6。4．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數為________．解析：由題意可知,該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示（圖中棱錐P.ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形．答案：45.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4e解析：把圓錐側面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3）,則cos∠POP′＝eq\f（42＋42－4\r(3）2,2×4×4)＝－eq\f（1,2),所以∠POP′＝eq\f（2π，3）.設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π，3）×4，所以r＝eq\f（4，3).答案：eq\f(4,3)6．已知正三棱錐V。ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．（1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積．解：(1）直觀圖如圖所示．(2）根據三視圖間的關系可得BC＝2eq\r（3)，∴側視圖中VA＝eq\r（42－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3）×\f（\r(3),2）×2\r(3)）)2)＝2eq\r（3），∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r（3)×2eq\r（3）＝6.7。如圖，在四棱錐P.ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側視圖,它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．（1)根據圖中所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；（2)求PA。解：(1）該四棱錐的俯視圖為(內含對角線)邊長為6cm的正方形,如圖,其面積為36cm2。(2）由側視圖可求得PD＝eq\r（PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2）＝eq\r(6\r（2)2＋62）＝6eq\r(3)cm.C級-—重難題目自主選做1．（2018·泉州模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖中的虛線部分是(）A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據幾何體的三視圖可得，側視圖中的虛線部分是由平行于旋轉軸的平面截圓錐所得，故側視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.2。一只螞蟻從正方體ABCD。A1B1C1D1的頂點A出發，經正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是()A．①② B．①③C．③④ D．②④解析:選D由點A經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1的位置，共有6種路線(對應6種不同的展開方式）．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內，連接AC1,則AC1是最短路線，且AC1會經過BB1的中點，此時對應的正視圖為②;若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內,連接AC1，則AC1是最短路線,且AC1會經過CD的中點,此時對應的正視圖為(二)重點高中適用作業A級——保分題目巧做快做1。“牟合方蓋"是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上,好似兩個扣合(牟合）在一起的方形傘(方蓋）．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現其直觀性所作的輔助線．當其正視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（)解析：選B根據直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當正視圖和側視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B。2.已知點E,F，G分別是正方體ABCD。A1B1C1D1的棱AA1,CC1，DD1的中點，點M,N，Q,P分別在線段DF，AG,BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P。MNQ解析：選C當M與F重合,N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當M，N，Q,P是所在線段的中點時，三棱錐P。MNQ的俯視圖為B;當M，N，Q，P位于所在線段的非端點位置時,存在三棱錐P。MNQ，使其俯視圖為D.故選C.3。已知一個三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為(）解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影,應為虛線，故選C。4．某幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1,其中O1A1＝6,OA．48 B．64C．96 D．128解析:選C由題意可知該幾何體是一個直四棱柱，∵它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6,O∴它的俯視圖是邊長為6的菱形，∵棱柱的高為4，故該幾何體的側面積為4×6×4＝96.5．已知四棱錐P。ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是（）A．3 B．2eq\r（5）C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝eq\r(5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f（1,2)×4×eq\r（5）＝2eq\r（5），S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3,S△PBC＝eq\f(1，2）×4×3＝6。所以四個側面中面積最大的是6。6．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm,則這個圓臺的母線長為________cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB,交OB于點C。在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm）．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13（cm）．答案：137．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都是直角三角形,則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數為________．解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示（圖中棱錐P-ABC)，利用長方體模型可知,此三棱錐的四個面全部是直角三角形．答案：48。如圖,一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\解析：把圓錐側面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形,由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3）2，2×4×4）＝－eq\f（1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π，3).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π，3)×4,所以r＝eq\f（4,3).答案：eq\f(4,3)9.如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；（2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積；(3）求出該幾何體的體積．解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐．（2)其側視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝eq\r(3）a,AD的長是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3）a,∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1，2）·eq\r（3）a·eq\r（3)a＝eq\f（3,2）a2。（3）V＝eq\f（1，3）×6×eq\f（\r（3)，4)a2×eq\r（3)a＝eq\f（3，2)a3.10．已知正三棱錐V。ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2）求出側視圖的面積．解：（1)直觀圖如圖所示．(2)根據三視圖間的關系可得BC＝2eq\r（3），∴側視圖中VA＝eq\r（42－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)×\f（\r（3),2）×2\r(3)））2）＝2eq\r（3)，∴S△VBC＝eq\f（1，2)×2eq\r（3)×2eq\r(3）＝6。B級--拔高題目穩做準做1．（2018·邵陽模擬）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長度最長的棱的長是（）A．2eq\r（5) B．2eq\r（6)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2）解析:選C由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示．其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，邊AC上的高為2eq\r(3)，所以BC＝eq\r（42＋2\r（3）2）＝2eq\r(7)，AB＝eq\r(2\r（3)2＋22)＝4，而PB＝eq\r(PA2＋AB2）＝eq\r(22＋42）＝2eq\r（5），PC＝eq\r（PA2＋AC2)＝2eq\r(2），因此在四面體的六條棱中，長度最長的是BC，其長為2eq\r（7），選C.2．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖中的虛線部分是(）A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據幾何體的三視圖可得，側視圖中的虛線部分是由平行于旋轉軸的平面截圓錐所得，故側視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D。3。一只螞蟻從正方體ABCD。A1B1C1D1的頂點A出發，經正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是(）A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：選D由點A經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1的位置,共有6種路線(對應6種不同的展開方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內,連接AC1,則AC1是最短路線，且AC1會經過BB1的中點，此時對應的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經過CD的中點，此時對應的正視圖為4．某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形,則xy的最大值為________．解析：由三視圖知三棱錐如圖所示,底面ABC是直角三角形，AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC＝2eq\r(7）,PA2＋y2＝102，(2eq\r（7））2＋PA2＝x2,因此xy＝xeq\r（102－［x2－2\r(7)2］)＝xeq\r(128－x2）≤eq\f(x2＋128－x2，2）＝64，當且僅當x2＝128－x2,即x＝8時取等號，因此xy的最大值是64。答案：645。如圖，在四棱錐P。ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根據圖中所給的正視圖、側視圖,畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA。解:（1)該四棱錐的俯視圖為（內含對角線）邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.（2)由側視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2）＝eq\r（62＋62)＝6eq\r（2）.由正視圖可知AD＝6,且AD⊥PD，所以在Rt△APD中,PA＝eq\r（PD2＋AD2)＝eq\r(6\r（2）2＋62)＝6eq\r(3)cm.6．四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F,G，H。（1）求四面體ABCD的體積；（2）證明:四邊形EFGH是矩形．解：(1）由題意，BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC，BD＝DC＝2,AD＝1，∵BD∩DC＝D,∴AD⊥平面BDC,∴四面體ABCD的體積V＝eq\f（1，3）×eq\f（1,2)×2×2×1＝eq\f（2，3)。（2）證明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG,BC∥EH，∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC,∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形．第二節空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π（r＋r′）l2．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐）S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1，3）Sh臺體（棱臺和圓臺）S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1，3）（S上＋S下＋eq\r（S上S下)）h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3）πR31．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×"）（1）圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.（)（2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(）(3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(）（4)球的體積之比等于半徑之比的平方．（)答案:(1)×(2）×（3)√(4）×2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為（)A.eq\f（16,3)π B.eq\f(32，3)πC．16π D．24π解析：選B設球的半徑為R，則由4πR2＝16π,解得R＝2，所以這個球的體積為eq\f(4，3）πR3＝eq\f(32，3)π.3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(）A．20π B．24πC．28π D．32π解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體,設圓柱底面圓半徑為r，周長為c,圓錐母線長為l,圓柱高為h。由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得:l＝eq\r（22＋2\r(3）2)＝4，S表＝πr2＋ch＋eq\f(1，2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.4．(教材習題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側視圖，該側視圖是底邊為2，高為eq\r（3)的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)×2×\r(3）)）×3＝3eq\r（3）.答案:3eq\r(3）5．正三棱柱ABC.A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為eq\r(3）,D為BC的中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為________．解析：如圖,在正三棱柱ABC.A1B1C1中，∵AD⊥BC，AD⊥BB1,BB1∩BC＝B,∴AD⊥平面B1DC1。∴VA。B1DC1＝eq\f(1，3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1，3)×eq\f(1，2)×2×eq\r（3）×eq\r（3)＝1。答案:1eq\a\vs4\al（考點一空間幾何體的表面積)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)空間幾何體的表面積在高考中的考查多以三視圖的形式給出,考查的載體多為柱體、錐體、球和簡單組合體.題型為選擇題或填空題，難度中等。求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何問題的主要出發點。［典題領悟]1．（2016·全國卷Ⅲ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（)A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5）C．90 D．81解析：選B由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為（3×3＋3×6＋3×3eq\r(5)）×2＝54＋18eq\r（5）.2.（2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：選B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq\f（1，2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4）r2。又S＝16＋20π，∴（5π＋4）r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2,故選B.［解題師說］1．三類幾何體表面積的求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積時通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積2．避免兩類失誤(1)因對幾何體的結構特征認識不準,混淆幾何體側面的邊長與三視圖中有關數據的關系而導致解題錯誤．一定要熟記三視圖中的數據反應的是空間幾何體的長、寬、高，而不一定是空間幾何體的棱長．(如典題領悟第1題，易誤認為側棱長為6而導致解題錯誤）(2)在審視組合體的圖形時，圖形結構特征審視不準致誤．（如典題領悟第2題中的幾何體是一個半球和一個半圓柱的組合體，求表面積時，應去掉兩幾何體的接觸面）[沖關演練]1．(2018·沈陽質檢）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積是（)A．36＋6eq\r(10) B．36＋3eq\r（10）C．54 D．27解析：選A由三視圖知該幾何體的表面積為S＝2×eq\f（1,2）×（2＋4）×3＋2×3＋4×3＋2×3×eq\r(10)＝36＋6eq\r（10).2．(2018·湖南五市十校聯考）如圖,小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．4eq\r(5）π＋96 B．（2eq\r(5)＋6）π＋96C．(4eq\r（5）＋4）π＋64 D．(4eq\r（5)＋4)π＋96解析：選D由三視圖知，該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S＝6×42＋π×22＋π×2×eq\r（42＋22）＝(4eq\r（5）＋4)π＋96.3．(2018·安徽江南十校聯考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中側視圖的下半部分曲線為半圓弧,則該幾何體的表面積為（)A．4π＋16＋4eq\r(3） B．5π＋16＋4eq\r（3）C．4π＋16＋2eq\r（3) D．5π＋16＋2eq\r(3)解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側面面積之和為2×4×2＝16,兩個底面面積之和為2×eq\f（1,2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3)；半圓柱的側面積為π×4＝4π，兩個底面面積之和為2×eq\f(1，2)×π×12＝π，所以幾何體的表面積為5π＋16＋2eq\r（3），故選D.eq\a\vs4\al（考點二空間幾何體的體積）eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)高考中空間幾何體體積的考查是幾何體相關問題中出現頻率較高的,主要考查由三視圖求相關幾何體的體積。高考中主要以選擇題或填空題形式出現,難度中等.[典題領悟]1．(2017·全國卷Ⅱ）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(）A．90π B．63πC．42π D．36π解析：選B法一:由題意知,該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6的圓柱的一半所得,故其體積V＝π×32×10－eq\f(1,2）×π×32×6＝63π。法二:由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積,所以它的體積V＝π×32×7＝63π。2．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：cm3）是（)A。eq\f（π,2）＋1 B.eq\f（π,2)＋3C.eq\f（3π，2）＋1 D。eq\f（3π,2）＋3解析：選A由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長為eq\r（2）的等腰直角三角形,高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V＝eq\f（1，3）×eq\f（1,2）×π×12×3＋eq\f(1，3）×eq\f（1，2)×eq\r（2)×eq\r（2)×3＝eq\f（π，2）＋1。3．（2017·山東高考）由一個長方體和兩個eq\f（1,4）圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1，1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構成，故該幾何體的體積V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f（π，2）。答案：2＋eq\f(π,2)［解題師說］1．處理體積問題的思路2．求體積的常用方法直接法對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算．割補法首先把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算．等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換.［沖關演練］1．(2017·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A．60 B．30C．20 D．10解析:選D如圖，把三棱錐A.BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5，3，4,△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A。BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝eq\f(1，3）×eq\f(1,2）×5×3×4＝10.2．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)A.eq\f（1，3）＋eq\f（2,3)π B.eq\f（1,3)＋eq\f（\r（2),3)πC。eq\f（1，3)＋eq\f(\r（2)，6）π D．1＋eq\f(\r(2)，6)π解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐,結合三視圖可得半球半徑為eq\f(\r(2）,2），從而該幾何體的體積為eq\f(1，3）×12×1＋eq\f（1，2)×eq\f(4π,3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(2）,2))）3＝eq\f(1，3）＋eq\f(\r(2）,6)π.3．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（）A。eq\f(4，3） B.eq\f（5,2）C。eq\f(7，3) D．3解析：選A根據幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝eq\f（1，2）×2×1×1＋eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×2×1×1＝eq\f（4，3）.eq\a\vs4\al(考點三與球有關的切、接問題）eq\a\vs4\al(題點多變型考點——追根溯源)eq\x（\a\al(與球有關的切、接問題是每年高考的熱點,也是難點，題型為選擇題或填空題.，常見的命題角度有：,1球與柱體的切、接問題；,2球與錐體的切、接問題.）)［題點全練]角度（一）球與柱體的切、接問題1．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球A.eq\f(3\r(17）,2） B．2eq\r（10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r（10）解析:選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M。又AM＝eq\f（1，2)BC＝eq\f(1,2）eq\r（32＋42）＝eq\f(5,2），OM＝eq\f（1,2）AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5，2））)2＋62）＝eq\f(13,2)。2。（2017·江蘇高考)如圖,在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2）的值是________．解析：設球O的半徑為R,因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以eq\f（V1,V2)＝eq\f(πR2·2R，\f(4,3)πR3)＝eq\f（3，2)。答案：eq\f（3,2）角度(二)球與錐體的切、接問題3．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內有一個球與四個面都相切，則棱錐的內切球的半徑為()A。eq\f（5,2） B。eq\r(3)－1C。eq\f(1,2) D。eq\r（2)－1解析：選D如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3），∴S△ABC＝3eq\r（3），DE＝1,PE＝eq\r(2)。∴S表＝3×eq\f(1，2）×2eq\r（3)×eq\r(2)＋3eq\r（3)＝3eq\r(6）＋3eq\r(3）。∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f（1，3)×3eq\r（3）×1＝eq\r(3）.設球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐,則r＝eq\f(3\r(3）,3\r(6）＋3\r(3）)＝eq\r(2)－1.4．(2017·全國卷Ⅰ）已知三棱錐S。ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S.ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接AO，OB,∵SC為球O的直徑，∴點O為SC的中點,∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，設球O的半徑為R，則OA＝OB＝R，SC＝2R。∴VS。ABC＝VA。SBC＝eq\f（1，3）×S△SBC×AO＝eq\f（1,3）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f（1，3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)×2R×R））×R，解得R＝3，∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π。答案：36π［題“根"探求］1．解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程是:2．有關幾何體外接球、內切球計算問題的常用結論(1)球(半徑為R）與正方體(設棱長為a)有以下三種特殊情形：①球內切于正方體，此時2R＝a;②球與正方體的棱相切，此時2R＝eq\r(2）a；③球外接于正方體，此時2R＝eq\r（3)a。(2）長、寬、高分別為a，b,c的長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2）＝2R。(3)棱長為a的正四面體，斜高為eq\f（\r(3)，2)a，高為eq\f(\r(6）,3）a，其外接球的半徑為eq\f(\r(6）,4）a，內切球的半徑為eq\f(\r（6）,12)a。（4)三條側棱互相垂直的三棱錐的外接球：①如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且相等,那么可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心；②如果三棱錐的三條側棱互相垂直但不相等，那么可以補形為一個長方體,長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．（5)求一個棱錐內切球的半徑,可以根據球心到各個面的距離相等以及棱錐的體積列式得出．也可以先找準切點,通過作截面來解決，作截面時主要抓住棱錐過球心的對角面來作．(6)求一個幾何體的外接球的半徑，可以結合球心到各個頂點的距離相等列式得出．（7)球與旋轉體的組合通常作軸截面解題，球與多面體的組合通過多面體的一條側棱和球心（或“切點"“接點"）作截面解題．此類問題在計算時，經常用到截面圓．如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d,則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2,即R2＝d2＋r2。[沖關演練]1．（2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為________．解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為eq\r（3）。設該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝eq\f(3,2）,所以這個球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3）×eq\f(27，8)＝eq\f(9π，2).答案：eq\f（9π,2）2．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于________．解析:該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6，8,10的直角三角形,側棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內切圓的半徑，其半徑為r＝eq\f(2S，a＋b＋c)＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10）＝2.答案：23．已知一個四面體的一條邊長為eq\r(6)，其余邊長均為2，則此四面體的外接球的半徑為________．解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖所示，取BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC,DO⊥BC。∵AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.又∵OA＝OD＝eq\r（3)，AD＝eq\r（6），∴OA2＋OD2＝AD2，∴AO⊥DO，∴該四面體的外接球的球心在AD的中點E與點O的連線上,設球心為G，球的半徑為R,即GA＝GB＝GC＝GD,又G在線段OE上,∴AG2－AE2＝EG2，BG2－BO2＝GO2，EO＝EG＋GO，∴eq\f（\r(6),2）＝eq\r（R2－1)＋eq\r(R2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（6），2）)）2），解得R＝eq\f（\r（15),3）,故此四面體的外接球的半徑為eq\f（\r(15)，3).答案:eq\f(\r(15）,3)（一）普通高中適用作業A級——基礎小題練熟練快1．(2018·江西七校聯考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(）A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π解析：選A該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球,正四棱柱的底面是正方形（邊長為2），高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A。2．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π，3），則它的表面積是(）A．17π B．18πC．20π D．28π解析：選A由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個球體去掉上半球的eq\f(1,4），得到的幾何體如圖．設球的半徑為R，則eq\f（4，3）πR3－eq\f（1,8）×eq\f(4,3)πR3＝eq\f（28，3）π,解得R＝2.因此它的表面積為eq\f(7，8）×4πR2＋eq\f（3，4)πR2＝17π.3。《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何?”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1。62立方尺,圓周率約為3，估算出堆放的米約有(）A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：選B設米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2）r＝8,所以r＝eq\f(16，π）,所以米堆的體積為V＝eq\f(1，4）×eq\f(1,3)π×r2×5＝eq\f(π，12）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（16,π）））2×5≈eq\f(320,9)(立方尺）．故堆放的米約有eq\f(320，9）÷1。62≈22(斛）．4．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A。eq\f（1,8） B。eq\f(1,7）C.eq\f（1，6) D。eq\f(1,5)解析：選D由三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝eq\f（1,3）×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1，6），剩余部分的體積V2＝13－eq\f（1,6)＝eq\f(5，6).所以eq\f（V1，V2)＝eq\f(\f（1，6)，\f(5,6））＝eq\f（1，5).5．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點,記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF。BCE的體積為V2,則eq\f（V1，V2)＝()A.eq\f（1,4) B。eq\f(1,3）C。eq\f(1，2） D。eq\f(1，5)解析:選B由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱,其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a),且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.∵M是AB上的動點,且易知AB∥平面DFEC，∴點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離,距離為a,∴V1＝VE。FMC＝VM-EFC＝eq\f(1,3）·eq\f(1，2)a·a·a＝eq\f(a3，6)，又V2＝eq\f(1,2）a·a·a＝eq\f(a3，2），故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(a3,6),\f（a3，2))＝eq\f(1，3）。6．(2018·廣東五校協作體第一次診斷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.eq\f(10＋2\r(2)π,2）＋1 B.eq\f(13π,6）C.eq\f（11＋\r（2）π,2）＋1 D。eq\f(11＋2\r（2）π,2)＋1解析：選C由三視圖可知該幾何體是一個圓柱和半個圓錐的組合體，故其表面積為eq\f（\r（2）,2）π＋1＋2π×2＋eq\f（3,2）π＝eq\f(11＋\r（2)π,2)＋1，故選C。7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1,底面為上底長為1，下底長為2,高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3，2）。答案：eq\f(3,2）8．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為_______．解析：設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r。由S＝π(r＋3r）·3＝84π，解得r＝7。答案：79．一個六棱錐的體積為2eq\r(3），其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h,側面的斜高為h′.由題意，得eq\f（1,3)×6×eq\f(\r（3），4)×22×h＝2eq\r(3），∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r（3)2)＝2，∴S側＝6×eq\f（1,2）×2×2＝12.答案：1210。已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析:由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(3)，設O為BD的中點，連接OA，OC，則OA⊥BD,OC⊥BD,結合正視圖可知AO⊥平面BCD。又OC＝eq\r（CD2－OD2)＝1,∴V三棱錐A-BCD＝eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)×2\r（3)×1)）×1＝eq\f（\r(3)，3）.答案:eq\f（\r（3),3）B級——中檔題目練通抓牢1．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1cm，粗線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2cm3 B．4cm3C．6cm3 D．8cm3解析:選B由三視圖知幾何體是一個以俯視圖中的直角梯形為底面，高h＝2cm的四棱錐．由三視圖中的數據得四棱錐的底面面積S＝eq\f(1，2）×（2＋4）×2＝6(cm2)，所以其體積V＝eq\f（1,3)Sh＝eq\f（1,3）×6×2＝4(cm3)．2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為(）A．64－eq\f(16π,3） B．64－eq\f(32π，3)C．64－16π D．64－eq\f(64π,3)解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個正方體中間挖去兩個頂點相接的圓錐，其中，兩個圓錐的體積和是V錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3）×π×22×4＝eq\f(16,3）π,∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f（16，3)π＝64－eq\f（16,3）π.3．（2018·江西七校聯考）如圖，四邊形ABCD是邊長為2eq\r(3）的正方形，點E,F分別為邊BC，CD的中點,將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF,FA折起，使B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是()A．6π B．12πC．18π D．9eq\r(2)π解析：選C因為∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補成一個長方體(PA,PE,PF是從同一頂點出發的三條棱)，則四面體和補全的長方體有相同的外接球，設其半徑為R，由題意知2R＝eq\r（\r（3)2＋\r（3）2＋2\r(3）2)＝3eq\r(2)，故該球的表面積S＝4πR2＝4πeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3\r（2),2）))2＝18π.4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23－eq\f(1，3）×eq\f(1,2）×2×2×2－eq\f（1,3）×eq\f（1，2）×1×1×1＝eq\f（13,2）.答案:eq\f(13,2）5．已知四棱錐P。ABCD的底面是邊長為a的正方形，所有側棱長相等且等于2a，若其外接球的半徑為R,則eq\f（a，R）＝________。解析：如圖，設四棱錐的外接球的球心為E,半徑為R，則OB＝OC＝eq\f(\r(2),2)a,PO＝eq\f(\r（14)，2)a，所以R2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2）a)）2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（14)a，2）－R)）2，解得R＝eq\f(4,\r（14））a，所以eq\f(a,R)＝eq\f（a，\f(4，\r(14））a)＝eq\f(\r(14)，4）。答案：eq\f(\r(14),4)6．已知球的半徑為R，在球內作一個內接圓柱，這個圓柱的底面半徑與高為何值時，它的側面積最大?側面積的最大值是多少?解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h,底面半徑為r，側面積為S，則eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(h，2))）2＋r2＝R2，即h＝2eq\r（R2－r2).因為S＝2πrh＝4πr·eq\r（R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2）≤4πeq\r（\f(r2＋R2－r22,4）)＝2πR2，當且僅當r2＝R2－r2，即r＝eq\f（\r(2），2)R時，取等號，即當內接圓柱底面半徑為eq\f(\r（2),2）R，高為eq\r（2)R時，其側面積的值最大，最大值為2πR2。7.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC（1)該幾何體的體積；(2)截面ABC的面積．解：(1）過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B由直三棱柱性質及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝VA1B1C1-A2B2C＋＝eq\f（1,2）×2×2×2＋eq\f(1，3)×eq\f(1,2）×(1＋2）×2×2＝6。（2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r（5)，AC＝eq\r(2\r（2）2＋4－22）＝2eq\r(3).則S△ABC＝eq\f（1,2)×2eq\r（3)×eq\r（\r(5)2－\r(3）2）＝eq\r(6).C級-—重難題目自主選做1.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為()A.eq\f(3，4) B.eq\f(1,4）C.eq\f（1,2) D。eq\f（3，8）解析：選C由側視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2)×2×（2＋4）＝6的四棱錐，其體積為4。易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為eq\f(1,2).2.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD.A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（）A.eq\f（\r(6），6)π B.eq\f（π，3）C。eq\f（π,6) D.eq\f(\r（3),3)π解析:選C平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓．因為正方體的棱長為1，所以AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2),所以內切圓的半徑r＝eq\f(\r（2），2)×tan30°＝eq\f（\r(6），6），所以S＝πr2＝π×eq\f（1，6）＝eq\f(1,6)π。（二)重點高中適用作業A級——保分題目巧做快做1．（2018·合肥一檢）一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周），則該幾何體的表面積為()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析:選A由三視圖知,該幾何體由一個正方體的eq\f(3,4）部分與一個圓柱的eq\f（1，4)部分組合而成（如圖所示),其表面積為16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π。2．如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．34＋6eq\r（5) B．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(3)C．6＋6eq\r(5)＋4eq\r(13) D．17＋6eq\r(5）解析：選A由三視圖得該幾何體的直觀圖如圖，其中,底面ABCD為矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，且此四棱錐的高為4，故該幾何體的表面積等于6×2＋2×eq\f(1，2）×2×5＋eq\f（1，2）×6×2eq\r（5)＋eq\f（1,2）×6×4＝34＋6eq\r（5）.3．某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3eq\r(7），則側視圖中線段的長度x的值是()A。eq\r（7) B．2eq\r（7)C．4 D．5解析：選C分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P。ABCD，故其體積V＝eq\f（1，3)×eq\f(\f（3,2）＋3，2）×4×CP＝3eq\r（7），∴CP＝eq\r(7)，∴x＝eq\r(32＋\r(7)2)＝4。4．一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為(）A．64－eq\f(16π，3） B．64－eq\f（32π,3)C．64－16π D．64－eq\f（64π,3)解析:選A由三視圖可知，該幾何體是一個正方體中間挖去兩個頂點相接的圓錐，其中，兩個圓錐的體積和是V錐＝eq\f(1，3)Sh＝eq\f(1，3）×π×22×4＝eq\f(16,3)π，∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f（16，3）π＝64－eq\f(16,3）π。5．在三棱錐A.BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f（\r（2），2），eq\f(\r（3)，2），eq\f(\r（6)，2），則該三棱錐外接球的表面積為（）A．2π B．6πC．4eq\r（6)π D．24π解析:選B設相互垂直的三條側棱AB，AC，AD分別為a,b，c,則eq\f（1，2）ab＝eq\f(\r（2），2），eq\f(1，2）bc＝eq\f（\r（3),2)，eq\f（1,2）ac＝eq\f(\r（6）,2），解得a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)。所以三棱錐A。BCD的外接球的直徑2R＝eq\r（a2＋b2＋c2）＝eq\r（6），則其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.6．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱,如圖．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f（1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r（2)×4＝20＋8eq\r（2)。答案:20＋8eq\r(2）7。已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2,BD＝2eq\r(3），設O為BD的中點,連接OA，OC,則OA⊥BD,OC⊥BD，結合正視圖可知AO⊥平面BCD.又OC＝eq\r（CD2－OD2）＝1，∴V三棱錐A。BCD＝eq\f（1,3）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）×2\r（3）×1)）×1＝eq\f（\r(3)，3）.答案:eq\f(\r(3），3）8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析:該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得,如圖所示,所以其體積為23－eq\f(1,3）×eq\f(1,2）×2×2×2－eq\f（1,3)×eq\f（1,2)×1×1×1＝eq\f(13,2)。答案:eq\f（13，2)9．已知球的半徑為R,在球內作一個內接圓柱，這個圓柱的底面半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少?解:如圖為其軸截面，令圓柱的高為h,底面半徑為r，側面積為S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(h，2)))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r（R2－r2）.因為S＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r（r2·R2－r2）≤4πeq\r(\f（r2