13/132021北京重點校初二（上）期中數學匯編等腰三角形2一、單選題1．（2021·北京·清華附中八年級期中）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數是（）A．20° B．35° C．40° D．70°2．（2021·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點相連并可繞轉動，點固定，，點，可在槽中滑動，若，則的度數是（）A．60° B．65° C．75° D．80°3．（2021·北京一七一中八年級期中）在平面直角坐標系內點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數是（）A．5個 B．6個C．7個 D．8個4．（2021·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）如圖，將Rt過點折疊，使直角頂點落在斜邊上的點處，折痕為，現有以下結論：①；②；③平分；④是等邊三角形；⑤垂直平分；其中正確的有（）A．①②③ B．②③ C．①②③④ D．①②③⑤二、填空題5．（2021·北京·101中學八年級期中）由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是____cm.6．（2021·北京師大附中八年級期中）平面直角坐標系xOy中，點A（4，3），點B（3，0），點C（5，3），點E在x軸上.當CE=AB時，點E的坐標為__________．7．（2021·北京一七一中八年級期中）如圖，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，則∠A＝_____（用含α的式子表示）．8．（2021·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）如圖，中，，AD平分，點E線段BC延長線上一點，連接AE，點C在AE的垂直平分線上，若，則的周長是___．9．（2021·北京一七一中八年級期中）等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則其周長是_________．10．（2021·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，則它的特征值__________．11．（2021·北京·101中學八年級期中）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是_____．12．（2021·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是__________．三、解答題13．（2021·北京一七一中八年級期中）如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點，D是邊BC所在直線上一點，且D與C不重合，若EC=ED．則稱D為點C關于等邊三角形ABC的反稱點，點E稱為反稱中心．在平面直角坐標系xOy中，（1）已知等邊三角形AOC的頂點C的坐標為（2，0），點A在第一象限內，反稱中心E在直線AO上，反稱點D在直線OC上．①如圖2，若E為邊AO的中點，在圖中作出點C關于等邊三角形AOC的反稱點D，并直接寫出點D的坐標：___.②若AE=2，求點C關于等邊三角形AOC的反稱點D的坐標；（2）若等邊三角形ABC的頂點為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點D在直線BC上，且2≤AE＜3．請直接寫出點C關于等邊三角形ABC的反稱點D的橫坐標t的取值范圍:P_____(用含n的代數式表示）．14．（2021·北京八中八年級期中）如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與DB交于點E，F是BC中點．求證：∠BEF=∠CEF．

參考答案1．B【分析】先根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【詳解】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質，三角形內角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關鍵．2．D【分析】根據OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根據三角形的外角性質可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC據三角形的外角性質即可求出∠ODC數，進而求出∠CDE的度數．【詳解】∵，∴，，設，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.故答案為D.【點睛】本題考查等腰三角形的性質以及三角形的外角性質，理清各個角之間的關系是解答本題的關鍵．3．C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．【詳解】解：如圖：①若AC＝AB，則以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點；②若BC＝BA，則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點（A點除外）；③若CA＝CB，則點C在AB的垂直平分線上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x軸，∴AB的垂直平分線與坐標軸只有1個交點．綜上所述：符合條件的點C的個數有7個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質的逆定理等知識，還考查了動手操作的能力，運用分類討論的思想是解決本題的關鍵．4．D【分析】根據翻折的性質即可知，再根據全等三角形的性質即可判斷①②③⑤正確，由于不一定等于，故不一定是等邊三角形，故④錯誤，由此即可選擇．【詳解】解：將過點折疊，使直角頂點落在斜邊上的點處，，，，，，，平分，故①②③正確，，，垂直平分，故⑤正確，不一定等于，不一定是等邊三角形，故④錯誤，綜上可知，①②③⑤正確．故選：D．【點睛】本題考查折疊的性質，全等三角形的性質，角平分線的判定，垂直平分線的判定以及等邊三角形的判定．理解折疊后的兩個三角形全等是解答本題的關鍵．5．18【詳解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=18cm【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，難度不大．6．或【分析】作CD⊥BE,根據平移定義和等腰三角形性質可得有兩種情況：當CE∥AB時;當CE與AB不平行時.【詳解】因為點A（4，3），點C（5，3），所以AC∥OB如圖，當CE∥AB時，由平移性質可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE當CE與AB不平行時，作CD⊥BE,則四邊形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根據等腰三角形性質得DE’=DE=1,BE’=3；所以E’（6,0）故E的坐標是或故答案為：或【點睛】考核知識點：矩形性質，等腰三角形性質，平移性質.根據題意畫出相關情況是關鍵.7．2α．【分析】根據已知可表示得兩底角的度數，再根據三角形內角和定理不難求得∠A的度數；【詳解】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案為：2α．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是會綜合運用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行答題，此題難度一般．8．24cm【分析】由AB=AC，AD是△ABC的角平分線，根據三線合一的性質，可得BD=CD，又由點C在AE的垂直平分線上，可得AC=CE，繼而可得AB=CE，則可得△ABC的周長為2DE．【詳解】解：∵點C在AE的垂直平分線上∴AC=CE∵AB=AC，AD平分∠BAC∴BD=CD∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE∵DE=12cm∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×12=24cm即△ABC的周長等于24cm故答案為：24cm．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．9．18或21【詳解】分兩種情況：①當8為腰時，此三角形的周長=8+8+5=21；②當5為腰時，此三角形的周長=8+5+5=18．10．【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數．從而可求解【詳解】解：①當為頂角時，等腰三角形兩底角的度數為：∴特征值②當為底角時，頂角的度數為：∴特征值綜上所述，特征值為或故答案為或【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵，要注意到本題中，已知的底數，要進行判斷是底角或頂角，以免造成答案的遺漏．11．10或11【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時能組成三角形，∴周長＝3+3+4＝10；②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4，此時能組成三角形，所以周長＝3+4+4＝11．綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11．故答案為：10或11．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，根據題意，正確分情況討論是解題的關鍵．12．20°【分析】根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：在中，，，，，，．故答案為：20°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，正確的理解題意是解題的關鍵．13．（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【分析】（1）①過點E作EF⊥OC，垂足為F，根據等邊三角形的性質可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，即可求點D坐標；②分點E與坐標原點O重合或點E在邊OA的延長線上兩種情況討論，根據反稱點定義可求點D的坐標；（2）分點E在點E在AB的延長線上或在BA的延長線上，根據平行線分線段成比例的性質，可求CF=DF的值，即可求點D的橫坐標t的取值范圍．【詳解】（1）①如圖，過點E作EF⊥OC，垂足為F，∵EC=ED，EF⊥OC∴DF=FC，∵點C的坐標為（2，0），∴AO=CO=2，∵點E是AO的中點，∴OE=1，∵∠AOC=60°，EF⊥OC，∴∠OEF=30°，∴OE=2OF=1∴OF=，∵OC=2，∴CF==DF，∴DO=1∴點D坐標（-1，0）故答案為（-1，0）②∵等邊三角形AOC的兩個頂點為O（0，0），C（2，0），∴OC=2．∴AO=OC=2．∵E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點，且AE=2，∴點E與坐標原點O重合或點E在邊OA的延長線上，如圖，若點E與坐標原點O重合，∵EC=ED，EC=2，∴ED=2．∵D是邊OC所在直線上一點，且D與C不重合，∴D點坐標為（-2，0）

如圖，若點E在邊OA的延長線上，且AE=2，∵AC=AE=2，∴∠E=∠ACE．∵△AOC為等邊三角形，∴∠OAC=∠ACO=60°．∴∠E=∠ACE=30°．∴∠OCE=90°．∵EC=ED，∴點D與點C重合．這與題目條件中的D與C不重合矛盾，故這種情況不合題意，舍去，綜上所述：D（-2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∴BC=1，∴AB=AC=1∵2≤AE＜3，∴點E在AB的延長線上或在BA的延長線上，如圖點E在AB的延長線上，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BD∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=，∵AH⊥BC，EF⊥BD∴AH∥EF∴,若AE=2，AB=1∴BE=1，∴=1∴BH=BF=∴CF==DF∴D的橫坐標為：n--=n-2，若AE=3，AB=1∴BE=2，∴=∴BF=2BH=1∴CF=DF=2∴D的橫坐標為：n-1-2=n-3，∴點D的橫坐標t的取值范圍：n-3＜t≤n-2，如圖點E在BA的延長線上，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BD，同理可求：點D的橫坐標t的取值范圍：n+2≤t＜n+3，綜上所述：點D的橫坐標t的取值范圍：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．故答案為n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【點睛】此題考查三