一類函數(shù)最問題的解法究浙江省衢州市教育局教研室324000)興余形如

f

px

是一種特殊形式的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性，在解題中有十分重要的作用。一問例：求

y

2

4sin

(

的最小值原解:

y

4sin

≥2

4

×2=4

∴

y

min二、探這是學(xué)生在練習(xí)中常見的一種解法個結(jié)論正確嗎？我們知道在應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，即“一正——各項(xiàng)都是正數(shù)；二定——積或和是定值；三等——等號能否取得值時，若忽略了某個條件，就會導(dǎo)致解題的失敗。在本題中，當(dāng)

sin

2

4

，即sin

時不等式取=”，但|sin

，顯然

>1故不能使用定理怎么辦呢？我們不妨換一個角度思考問題，利用函數(shù)單調(diào)性來解決，設(shè)sin

2

，其中

，則0<t而

y

4t

在

（可證明

y

4定義域是故ytt

在t=1時最小值時

，∴

y

2

4

的最小值為5由此可見，有些題目盡管形式是

x

1x

型的式子，即兩數(shù)之積為常數(shù)，但由于定義域的限制，不能使等號成立。如

y

1（x≥）的最小值，盡管x≥2但當(dāng)xxx

，即時“=”，卻不在其定義域數(shù)的單調(diào)性求解。三、質(zhì)

內(nèi)，因此不能使用定理。此時，我們可利用函函數(shù)

f

px

（p）有如下性質(zhì)：/

p2t10p2t101當(dāng)P＜，

f

px

在(－

0)和(

)上為增函數(shù)當(dāng)0時f在，】和【－x留給讀者）

p

，0)上為減函數(shù)，在

和四、用有些數(shù)學(xué)問題，可通過換元將原問題轉(zhuǎn)化成

f

x

x

px

型的函數(shù)最值問題，求解這類問題通常有兩種思考方法一是用基本不等式求解要注意等號成立的條件二是當(dāng)?shù)忍柌荒艹闪r，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解。例1求函數(shù)

f

2sinx

的最大值。解析：設(shè)

t

sin

x

，則

f

1t

，

12

，由性質(zhì)1知

ft在0,上增函數(shù)，

122例2若不等式x－－＜（x－）對于x∈[，恒立，求的值圍。解析：由x∈[－1知x－＜則原問題等價于對x∈[－，時<

x

2

x

恒成立。設(shè)t=4x，則t∈[3時＜－

t

恒成立，令f，性質(zhì)1得t

f在x∈，上單調(diào)遞增，∴

0f

13

故只要＜時,原不等式對于∈[－，1]恒成立。例k在么范圍時，對于θ[0，

]總有不等式cos

2θ＋θ＜成？1993年?duì)枮I市高中數(shù)學(xué)競賽題）解析：當(dāng)=

時，對任意實(shí)數(shù)k原等式恒成立當(dāng)[0，

]時，原不等式等價于2(1-k)＜

2

，

設(shè)1-Sinθ=t/

minmin則t∈，1)，原不等式等價于2(1-k)t+

2t

令f(t)=t+

2t

，由性質(zhì)2知f(t)在(0，1)上單調(diào)遞減f(t)=f(1)=1+1(-，∞2

=3，∴2(1-k)＜恒立。∴＞-

12

∴的值范圍是例：已知a0，求:

a

417≥aa簡證：原不等式可轉(zhuǎn)化為

a

4a

1a

4a

≥

174，∵＞，∴a4

4≥=4，當(dāng)a且僅當(dāng)a=2時等號，設(shè)

t

41則（≥4性質(zhì)知tatt

在

上為增函數(shù)，而

f

=

174a，即4aa2≥

174例5：求實(shí)的取值范圍，使對任意實(shí)數(shù)x和任意

都有

2si

cos

1≥（年全國高中數(shù)學(xué)競賽題8解析：令

t

，則

t

，且

2sin

原式左=

2

≥

12

2

=

≥

18恒成立，即等價于

≥

153。解得，at或≤42tt5若a≥t,由性質(zhì)知ft=t在減數(shù)，而t2t

f

的定義域?yàn)?/p>

，故

f

77，∴a≥22若a≤

t

33則由基本不等式得t≥2t6當(dāng)且僅當(dāng)t2tt22時取等號，故

/

bvv=bvv=綜上所得，取值范圍為

6

∪

72

,

例6甲兩地相距s千汽從甲地勻速行駛到乙地速度不超過千∕已知汽車每小時的運(yùn)輸成(元為單由可變部分和固定部分組,變部分與速v（千米小）的平方成正比比例系數(shù)為固定部分為元為使全程運(yùn)輸成本最,車應(yīng)以多大速度行駛？解析：設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,

y

s2v

(0<v≤∵s,a,b,v均正故s

≥

當(dāng)且僅當(dāng)

av

bv

即

v

ab

時上式中等號成立①若

aa≤則當(dāng)v時,全運(yùn)輸成本y最b②若

ab

>c時則y=s

sb

a由質(zhì)2知y在

上為單調(diào)遞,而y=

sb

的定義域?yàn)?/p>

0,

∴時

全程運(yùn)輸成本y最綜上所知為使全程運(yùn)輸成本y最,

aa≤c時行駛速度b

；當(dāng)

ab

>c時行速度v=c評注：例5,例6兩題都有兩種情況,其中一部分使用基本不等