淺談中學物理極值問題極值問題是中學物理應用數學工具的典型問題，它的特點是綜合強，對過程分析要求高，有時還比較隱蔽，使人感到難入手。本文將通過具體分析一些典型的例子，培養大家對極值問題的敏感性，并揭示極值問題的常用方法和注意事項。一、對是否存在極值的判斷例1如圖1，一根一端封閉的玻璃管開口向上，長L=90cm，管口處有一段長h=15cm的水銀柱，水銀面與管口相平，此時被封氣體的溫度為27℃，外管大氣壓為75加班，求溫度至少升高至多少度，水銀柱方能從管中全部溢出？圖1分析與解當水銀不斷流出時，封閉氣體積增大，壓強變小，設還剩余xcm高PV最大，此時對應溫度為?。由理想氣體狀態方程得(75+*)(90r)二(75+!5)(90-15)Tr,- 300 °顯然當工=7.5cm時，PV最大，此時Tni=302.5K。點評本題常見的一種錯解是以為水銀流出時所需溫度最高，得T=300K。形成這種錯解的原因是對水銀在不斷流的過程中，PV乘積存在最大值缺乏敏感性。通常當兩個物理量一個在增大，另一個在減小時，其乘積很可能存在極值。另外從解得的結果T=300K=’1，也應該能夠意識這種解法的錯誤，并感覺到中間過程中可能存在極值。這種思維方法在例2中有詳細說明。例2如圖2電路，AB接在一個穩壓電源兩端，為理想電流表，試分析，當滑動變阻器的滑片從a移向b的過程中的讀數將如何變化?

v?-■-——圖2分析與解當滑片移至〃端時，先被短路，四的讀數為《，而滑至6端時?的讀數顯然也為A?景,所以在滑片從&移向b過程中肯定存在一個極值，我們不妨研究滑片移至中點時?的讀數，井不妨假定亢"2叫，/一小^卜某工荒代n% -、爪0凡+了4?可見?的讀數先變小后變大白A點評這種思維方法通常稱“極端法”，通常用于處理以中間過程分析、運算比較復雜的問題，一般對于兩個“極端”結果相同的問題中間往往存在極值，至于極大還是極小可借助于對于中間某一特定位置的分析計算，必要時可利用數學上常用的“賦值法”加于判斷。當然，這種方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏嚴密性，尤其對于中間過程比較復雜(如出現反復幾次變大變小)的問題時要慎重。二、極值問題的常用解法.數學方法用數學方法求解極值的方法很多，如配方法、輔助角法、判別式法、基本不等式法、求導法等，在物理中最常用的是配方法和基本不等式法。(1)配方法

例3在例2中，設在凝有￡接入支路時?的讀數為,N求人最小時紇值.分析與解f=U ⑹■用］+幾比鳴一犯+研一吊= 迫 +凡R+與顯然當七4時人最小。點評用配方法，求解極值是最常用的數學方法，其實是寫出所需討論的物理量的函數式（通常為二次函數），然后通過配方法求解。2）利用基本不等式例4如圖為等6同種電荷/為其連線的中垂線上的點，戶與Q的連線與幼弧連線的夾角為例試求當出之？時戶的場強最大.因為cuJifeii/。-1（工陽/因為cuJifeii/。-1（工陽/BctvsJLj先研究cos^sin2e的最大值*Qi◎間距離為2M則而cost+cqsz#+2sin3^=常數,所以當仃暗，二所以當仃暗，二2出in，時，*最大，此時^=aresiu冬點評：本題所用的基本不等式為如果a+b+c=常數，則當a=b=c時，abc最大。基本不等式求解極值比較常見，而且難度相對較大，需要熟悉各類基本不等式，并善于進行等效轉換。.矢量圖法例5如圖4-a所示，一質量為m，帶電量為q的小球用一細線懸掛于O點，在一勻強電場中平衡時細線與豎直方向成3角，則所加電場的最小值為。圖4-a圖4-b分析與解作如圖4-b所示的矢量圖，當%，￡時方電最小，所以最小電場在一談迎口q點評本題盡管也可以通過列出函數表達式后用數學方法討論，但是要繁瑣得多，所以首選矢量圖法。矢量圖法的最大優點在于簡捷、直觀。在處理最小力與渡河問題中最短航程（尤其是■"時）等涉及矢量問題時經常用到。.隱含條件分析法例6 （2005年高考江蘇卷）如圖5所示，三個質量均為m的彈性小球用兩根長約為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上。現給中間的小球B一個水平初速度”二方向與繩垂直。小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長。求：■小TOC\o"1-5"\h\z4 / C0 0 0\o"CurrentDocument"H L *4* L M（1）當小球A、C第一次相碰時，小球B的速度。⑵當三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度。⑶運動過程中小球A⑶運動過程中小球A的最大動能和此時兩根繩的夾角e.（4）當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小。分析與解（1）設小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為“'，考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為‘，由動量守恒定律，得［叫-3曲口，由此解得二上,（2）當三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得1之1口. 1 2石叫=爹療嗎斗2x萬網域口解得與=f/aM=專％口（三球再次處于同一直線）北二啊翎（二見初始狀態，舍去）。所以,三個小球再次處在同一直線上時，小球8的速度為%=-?0（負號裳示與初速度反向）.⑶當小球A的動能最大時，小球B的速度為零。設此時小球A、C的速度大小為u，兩根繩間的夾角為e（如圖6），則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律，得9 〃1 2、L2"V』=2加以5in—=2x—~tnuo另外,￡&由此可解得，小球/I的最大動能為%=A儂心此時兩根繩間夾角為口=90，(4)小球A、C均以半徑L繞小球H做圓周運動，當二個小球處在同一直線上時,以小球￡為參考系(小球R的加速度為0,為慣性參考系),小球*C)相對于小球B的速度均為方所以,此時繩中拉力大小為#一若rtn-=m-'5SJ fj點評本題最難的一問是第⑶問，不少考生試圖通過列出A球動能的一般表達式然后用數學方法討論，結果把問題搞得很復雜，中間還錯誤百出，但如果能抓住當B球動能最小也即為零時，A、C兩球動能同時達到最大，就很容易處理了。當然，物理隱含條件往往比較隱蔽，需要清晰的物理概念和敏銳的直覺思維才能運用自如。三、極值問題的注意事項.注意極值兩側的多解例7在如圖7-a電路中，電源電動勢E=3V，內阻r-1Q，則當滑動變阻器電阻為多少時，電源輸出的功率為2W()a.ina.inb.C3)a十g分析與解由a+r科2=（fn）%解得力=2OA=yJX所以選BQc?7T 圖7T點評本題常見的錯誤是漏選，主要原因是對在極值問題兩側往往存在多解缺乏敏感性。由于R=r時電源的輸出功率最大，我們可以作出輸出功率隨外電阻的變化圖如圖7-b，從圖上我們可以很直觀地發現在極值兩側存在的多解。.注意自變量的取值范圍例8在如圖8所示電路中，，則當滑動變阻器電阻從0增加R例8在如圖8所示電路中，，則當滑動變阻器電阻從0增加R的過程中（）圖8A.電源的輸出功率先變大后變小.電源的輸出功率不斷變小C.變阻器R消耗的功率先變大后變小D. 0消耗的功率不斷變小分析與解本題可利用在外電阻與內電阻相等時，電源輸出功率最大這一結論（如圖7-b），因IL為 」=r，所以在R變大時，外電阻始終大于內電阻，電源的輸出功率應不斷變小，所以A錯誤，B正確。%在討論變阻器功率時，可將口折合成電源內阻，此時變阻器即使調至最大也剛好等于電源的“內阻”，所以變阻器功率為R增大時，應不斷變大，所以C錯誤；而J為定值電阻，只要電流減小功率就減小，所以D正確。點評有些物理問題中，盡管“感受”有極值，但由于自變量取值范圍的限制，無法真正取得極

值，用數學語言描述就是“此函數在定義域的某一區間是單調函數”，對于這種變量分析要格外小心。3.注意分析數學解法的物理意義例9在例1中，如果將玻璃管長與水銀柱長度改成下列兩組數據。(1)L=60cm,h=20cm；(2)L=120cm,h=20cm。其他條件不變，則所需最高溫度為多少？分析與解：我們采用例1中的分析方法，設還剩余xcm高時PV乘積最大，此時對應溫度為：，(75+x)(60-jc)-5—20)(60-20)TOC\o"1-5"\h\z… …上士一心工.、工, T * 300對第(1)種情況由理想氣體狀態方程得 "■ 。易得，當x=-7.5cm時，PV乘積最大，但顯然x=-7.5cm只有數學意義，沒有物理意義，它所反映的物理含義是當水銀柱全部流出時對應的PV乘積最高，因此，最高溫度應