12/12學思教育學科教師輔導講義學員某：X曼妮年級：高二輔導科目：數學學科教師：X老師課題導數授課時間：2015-02-08備課時間：2015-02-01教學目標（1）理解平均變化率的概念；（2）了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；（3）理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；（4）會求函數在某點的導數或瞬時變化率；（5）理解導數的幾何意義。重點、難點1、導數的概念2、求導公式3、導數的幾何意義考點及考試要求導數的幾何意義、求導公式，求最值導數基礎：1.導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.②以知函數定義域為，的定義域為，則與關系為.2.函數在點處連續與點處可導的關系：函數在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.常用性質：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4.求導數的四則運算法則：（為常數）②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.I.（為常數）（）II.5.復合函數的求導法則：或6.函數單調性：⑴函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果＞0，則為增函數；如果＜0，則為減函數注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣是f（x）7.極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值，極小值同理）當函數在點處連續時，①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.考點1導數的概念對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念.例1．（2006年某卷）與方程的曲線關于直線對稱的曲線的方程為A.B.C.D.[考查目的]本題考查了方程和函數的關系以及反函數的求解.同時還考查了轉化能力[解答過程]，，即：，所以.例2.(2006年某卷）設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值X圍是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考查目的]本題主要考查函數的導數和集合等基礎知識的應用能力.[解答過程]由綜上可得MP時,考點2曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數y=f(x)在P點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2004年某卷）已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程是_____________.思路啟迪：求導來求得切線斜率.解答過程：y′=x2，當x=2時，y′=4.∴切線的斜率為4.∴切線的方程為y－4=4（x－2），即y=4x－4.例4.（2006年某卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A．B．C．D．[考查目的]本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.例5．(2006年某卷)過坐標原點且與x2+y2-4x+2y+=0相切的直線的方程為()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考查目的]本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.[解答過程]解法1：設切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點坐標為由例6.已知兩拋物線,取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數.解答過程：函數的導數為，曲線在點P()處的切線方程為，即①曲線在點Q的切線方程是即②若直線是過點P點和Q點的公切線，則①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，若△=，即時，解得，此時點P、Q重合.∴當時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為.考點3導數的應用中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1..求函數的解析式;2.求函數的值域;3.解決單調性問題;4.求函數的極值（最值）;5.構造函數證明不等式.典型例題例7．（2006年某卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（）A．1個B．2個C．3個D．4個[考查目的]本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的應用能力.[解答過程]由圖象可見,在區間內的圖象上有一個極小值點.故選A.例8.設為三次函數，且圖象關于原點對稱，當時，的極小值為，求出函數的解析式.思路啟迪：先設，再利用圖象關于原點對稱確定系數.解答過程：設，因為其圖象關于原點對稱，即，得由，依題意，，，解之，得.故所求函數的解析式為.例9.函數的值域是_____________.思路啟迪：求函數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法求解較為容易。解答過程：由得，，即函數的定義域為.，又，當時，，函數在上是增函數，而，的值域是.例11．(2006年某卷)設函數f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.[考查目的]本題考查了函數的導數求法,函數的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力[解答過程]由已知得函數的定義域為，且（1）當時，函數在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表—0+極小值從上表可知當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞增.綜上所述：當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.隨堂練習1．（2006年卷）已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所1.．函數有（）A.極小值-1，極大值1B.極小值-2，極大值3C.極小值-1，極大值3D.極小值-2，極大值22．函數的一個單調遞增區間是（）(A)(B)(C)(D)3．已知對任意實數，有，且時，，則時（）A．B．C．D．4．若函數在內有極小值，則（）（A）（B）（C）（D）5．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A．B．C．D．6．曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．函數在區間上的最小值為（）A．B．C．D．8．函數的最大值為（）A．B．C．D．9．若，則（）A．B．C．D．高考題練習1.(2005全國卷Ⅰ文)函數,已知在時取得極值,則=()（A）2（B）3（C）4（D）52．(2008某、某文)設，若，則（）A.B.C.D.3．（2005某）函數是減函數的區間為（）A．B．C．D．（0，2）4.（2008某文）設函數則（）A．有最大值B．有最小值C．是增函數D．是減函數5．（2007某文、理)已知對任意實數x有f(－x)=－f(x)，g(