6.3

等比數列及其前n項和6.3等比數列及其前n項和-2-知識梳理雙基自測211.等比數列

(1)等比數列的定義一般地,如果一個數列從第

項起,每一項與它的前一項的比等于

,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的

,公比通常用字母

表示.數學2

同一個常數

公比

q(q≠0)-2-知識梳理雙基自測211.等比數列2同一個常數公-3-知識梳理雙基自測21(2)等比中項如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數列?

.

(3)等比數列的通項公式an=

;可推廣為an=

.

(4)等比數列的前n項和公式G2=aba1qn-1

amqn-m-3-知識梳理雙基自測21(2)等比中項G2=aba1qn-4-知識梳理雙基自測212.等比數列及其前n項和的性質(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak·al=

;若m+n=2k,則

(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數列,公比為

.

(3)若{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則am·an

qm

-4-知識梳理雙基自測212.等比數列及其前n項和的性質am-5-知識梳理雙基自測21④當q<0時,{an}為擺動數列.(5)當q≠-1或q=-1,且n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列,其公比為

.

遞增

遞減

常

qn-5-知識梳理雙基自測21④當q<0時,{an}為擺動數列.2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數)的數列{an}為等比數列.(

)(2)G為a,b的等比中項?G2=ab.(

)(3)等比數列中不存在數值為0的項.(

)(4)若{an}為等比數列,bn=a2n-1+a2n,則數列{bn}也是等比數列.(

)(5)若數列{an}為等比數列,則數列{lnan}是等差數列.(

)(6)若數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為答案答案關閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

(6)×

2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,-7-知識梳理雙基自測234152.(2016山東濰坊通考)中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地.”問此人第4天和第5天共走了(

)A.60里 B.48里 C.36里 D.24里答案解析解析關閉答案解析關閉-7-知識梳理雙基自測234152.(2016山東濰坊通考)-8-知識梳理雙基自測234153.(2016河南鄭州二模)已知{an}為等差數列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項,Sn是{an}的前n項和,則S12的值為(

)A.21 B.42 C.63 D.54答案解析解析關閉答案解析關閉-8-知識梳理雙基自測234153.(2016河南鄭州二模)-9-知識梳理雙基自測234154.在數列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=

.

答案解析解析關閉答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測234154.在數列{an}中,a1=-10-知識梳理雙基自測234155.在等比數列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q>1,則a3=

.

答案解析解析關閉答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測234155.在等比數列{an}中,-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)設{an}是由正數組成的等比數列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于(

)(2)(2016銀川一中一模)在等比數列{an}中,若a1=,a4=3,則該數列前五項的積為(

)A.±3 B.3 C.±1 D.1(3)在等比數列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,則n=

.

思考解決等比數列基本運算問題的常見思想方法有哪些?答案答案關閉

(1)B

(2)D

(3)6

-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)設{an}是由正數-12-考點1考點2考點3考點4-12-考點1考點2考點3考點4-13-考點1考點2考點3考點4(3)∵a3+a6=q(a2+a5),∴q=∵a2+a5=18,∴a1q+a1q4=18.∴a1=32.∴an=a1qn-1=1,解得n=6.-13-考點1考點2考點3考點4(3)∵a3+a6=q(a2-14-考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數為公比進行求和時,就要對參數是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應用等比數列前n項和公式時,常把qn或

當成整體進行求解.-14-考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題-15-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)(2016陜西漢中市質檢二)已知{an}為等比數列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數列,則a3+a5等于(

)A.189 B.72 C.60 D.33(2)(2017河南南陽高三期末)已知公差不為0的等差數列{an}滿(

)A.-2 B.-3 C.2 D.3答案解析解析關閉答案解析關閉-15-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)(2016陜-16-考點1考點2考點3考點4解析:

(1)∵4a1,2a2,a3成等差數列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)設{an}的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比數列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.-16-考點1考點2考點3考點4解析:(1)∵4a1,2a-17-考點1考點2考點3考點4例2已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法?-17-考點1考點2考點3考點4例2已知數列{an}的前n項-18-考點1考點2考點3考點4-18-考點1考點2考點3考點4-19-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列{an}是等比數列常用的方法(2)等比中項法,證明

=an-1·an+1;(3)通項公式法,若數列通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數,n∈N*),則{an}是等比數列.2.若判斷一個數列不是等比數列,則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.-19-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列{an}-20-考點1考點2考點3考點4對點訓練2已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n.(1)求數列{an}的前三項a1,a2,a3;-20-考點1考點2考點3考點4對點訓練2已知數列{an}的-21-考點1考點2考點3考點4-21-考點1考點2考點3考點4-22-考點1考點2考點3考點4考向一

等比數列項的性質的應用例3(1)(2016山西晉城高三期末)在由正數組成的等比數列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為(

)(2)在正項等比數列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=

.

思考經常用等比數列的哪些性質簡化解題過程?答案答案關閉

(1)B

(2)14

-22-考點1考點2考點3考點4考向一等比數列項的性質的應-23-考點1考點2考點3考點4-23-考點1考點2考點3考點4-24-考點1考點2考點3考點4考向二

等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(

)A.31 B.32 C.63 D.64思考本題應用什么性質求解比較簡便?答案解析解析關閉∵S2=3,S4=15,∴由等比數列前n項和的性質,得S2,S4-S2,S6-S4成等比數列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.答案解析關閉C-24-考點1考點2考點3考點4考向二等比數列前n項和的性-25-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數列項的如下性質:(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數列前n項和的性質:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列比較簡便.-25-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的-26-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)(2016安徽“江南十校”聯考)已知在各項均為正數的等比數列{an}中,a5·a6=4,則數列{log2an}的前10項和為(

)A.5 B.6 C.10 D.12(2)已知等比數列{an}的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若,則公比q=

.

答案解析解析關閉答案解析關閉-26-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)(2016安-27-考點1考點2考點3考點4例5已知{an}是等比數列,前n項和為Sn(n∈N*),且(1)求{an}的通項公式;(2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數列{(-1)

}的前2n項和.思考解決等差數列、等比數列的綜合問題的基本思路是怎樣的?-27-考點1考點2考點3考點4例5已知{an}是等比數列,-28-考點1考點2考點3考點4-28-考點1考點2考點3考點4-29-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數列和等比數列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數、轉化等數學思想方法,合理調用相關知識,就不難解決這類問題.-29-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數列和等比數列的-30-考點1考點2考點3考點4對點訓練4(2017山西重點中學協作體期末)2017年元旦期間,山西某游樂園舉行免費游園活動,免費開放一天,早晨6時30分有2人進入游樂園,接下來的第一個30分鐘內有4人進去1人出來,第二個30分鐘內有8人進去2人出來,第三個30分鐘內有16人進去3人出來,第四個30分鐘內有32人進去4人出來……按照這種規律進行下去,到上午11點30分時園內的人數是(

)A.212-57 B.211-47C.210-38 D.29-30答案解析解析關閉答案解析關閉-30-考點1考點2考點3考點4對點訓練4(2017山西重點-31-審題答題指導——如何理解條件和轉化條件典例在等差數列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數列{an}的通項公式;(2)對任意m∈N*,將數列{an}中落入區間(9m,92m)內的個數記為bm,求數列{bm}的前m項和Sm.審題要點(1)題干中已知條件有三個:“數列{an}是等差數列”和兩個等式;(2)第(2)問中所含條件可理解為:數列{an}的各項在所給區間的項數為bm;(3)第(2)問中條件的轉化方法:文字語言轉化為符號語言,即求滿足9m<an<92m的n的范圍.-31-審題答題指導——如何理解條件和轉化條件-32-解(1)設等差數列{an}的公差為d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,則5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,∴an=1+(n-1)×9=9n-8,即an=9n-8.-32-解(1)設等差數列{an}的公差為d,-33-反思提升本題第(2)問設置了落入區間內的項的個數構成新數列,這是對考生數學能力的挑戰,由通項公式及已知區間建立不等式求項數,進而得到所求數列{bm}的通項公式是解答該問題的核心與關鍵.-33-反思提升本題第(2)問設置了落入區間內的項的個數構成6.3

等比數列及其前n項和6.3等比數列及其前n項和-35-知識梳理雙基自測211.等比數列

(1)等比數列的定義一般地,如果一個數列從第

項起,每一項與它的前一項的比等于

,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的

,公比通常用字母

表示.數學2

同一個常數

公比

q(q≠0)-2-知識梳理雙基自測211.等比數列2同一個常數公-36-知識梳理雙基自測21(2)等比中項如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數列?

.

(3)等比數列的通項公式an=

;可推廣為an=

.

(4)等比數列的前n項和公式G2=aba1qn-1

amqn-m-3-知識梳理雙基自測21(2)等比中項G2=aba1qn-37-知識梳理雙基自測212.等比數列及其前n項和的性質(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak·al=

;若m+n=2k,則

(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數列,公比為

.

(3)若{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則am·an

qm

-4-知識梳理雙基自測212.等比數列及其前n項和的性質am-38-知識梳理雙基自測21④當q<0時,{an}為擺動數列.(5)當q≠-1或q=-1,且n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列,其公比為

.

遞增

遞減

常

qn-5-知識梳理雙基自測21④當q<0時,{an}為擺動數列.2-39-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數)的數列{an}為等比數列.(

)(2)G為a,b的等比中項?G2=ab.(

)(3)等比數列中不存在數值為0的項.(

)(4)若{an}為等比數列,bn=a2n-1+a2n,則數列{bn}也是等比數列.(

)(5)若數列{an}為等比數列,則數列{lnan}是等差數列.(

)(6)若數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為答案答案關閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

(6)×

2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,-40-知識梳理雙基自測234152.(2016山東濰坊通考)中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地.”問此人第4天和第5天共走了(

)A.60里 B.48里 C.36里 D.24里答案解析解析關閉答案解析關閉-7-知識梳理雙基自測234152.(2016山東濰坊通考)-41-知識梳理雙基自測234153.(2016河南鄭州二模)已知{an}為等差數列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項,Sn是{an}的前n項和,則S12的值為(

)A.21 B.42 C.63 D.54答案解析解析關閉答案解析關閉-8-知識梳理雙基自測234153.(2016河南鄭州二模)-42-知識梳理雙基自測234154.在數列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=

.

答案解析解析關閉答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測234154.在數列{an}中,a1=-43-知識梳理雙基自測234155.在等比數列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q>1,則a3=

.

答案解析解析關閉答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測234155.在等比數列{an}中,-44-考點1考點2考點3考點4例1(1)設{an}是由正數組成的等比數列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于(

)(2)(2016銀川一中一模)在等比數列{an}中,若a1=,a4=3,則該數列前五項的積為(

)A.±3 B.3 C.±1 D.1(3)在等比數列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,則n=

.

思考解決等比數列基本運算問題的常見思想方法有哪些?答案答案關閉

(1)B

(2)D

(3)6

-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)設{an}是由正數-45-考點1考點2考點3考點4-12-考點1考點2考點3考點4-46-考點1考點2考點3考點4(3)∵a3+a6=q(a2+a5),∴q=∵a2+a5=18,∴a1q+a1q4=18.∴a1=32.∴an=a1qn-1=1,解得n=6.-13-考點1考點2考點3考點4(3)∵a3+a6=q(a2-47-考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數為公比進行求和時,就要對參數是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應用等比數列前n項和公式時,常把qn或

當成整體進行求解.-14-考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題-48-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)(2016陜西漢中市質檢二)已知{an}為等比數列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數列,則a3+a5等于(

)A.189 B.72 C.60 D.33(2)(2017河南南陽高三期末)已知公差不為0的等差數列{an}滿(

)A.-2 B.-3 C.2 D.3答案解析解析關閉答案解析關閉-15-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)(2016陜-49-考點1考點2考點3考點4解析:

(1)∵4a1,2a2,a3成等差數列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)設{an}的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比數列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.-16-考點1考點2考點3考點4解析:(1)∵4a1,2a-50-考點1考點2考點3考點4例2已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法?-17-考點1考點2考點3考點4例2已知數列{an}的前n項-51-考點1考點2考點3考點4-18-考點1考點2考點3考點4-52-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列{an}是等比數列常用的方法(2)等比中項法,證明

=an-1·an+1;(3)通項公式法,若數列通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數,n∈N*),則{an}是等比數列.2.若判斷一個數列不是等比數列,則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.-19-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列{an}-53-考點1考點2考點3考點4對點訓練2已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n.(1)求數列{an}的前三項a1,a2,a3;-20-考點1考點2考點3考點4對點訓練2已知數列{an}的-54-考點1考點2考點3考點4-21-考點1考點2考點3考點4-55-考點1考點2考點3考點4考向一

等比數列項的性質的應用例3(1)(2016山西晉城高三期末)在由正數組成的等比數列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為(

)(2)在正項等比數列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=

.

思考經常用等比數列的哪些性質簡化解題過程?答案答案關閉

(1)B

(2)14

-22-考點1考點2考點3考點4考向一等比數列項的性質的應-56-考點1考點2考點3考點4-23-考點1考點2考點3考點4-57-考點1考點2考點3考點4考向二

等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(

)A.31 B.32 C.63 D.64思考本題應用什么性質求解比較簡便?答案解析解析關閉∵S2=3,S4=15,∴由等比數列前n項和的性質,得S2,S4-S2,S6-S4成等比數列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.答案解析關閉C-24-考點1考點2考點3考點4考向二等比數列前n項和的性-58-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數列項的如下性質:(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數列前n項和的性質:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列比較簡便.-25-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的-59-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)(2016安徽“江南十校”聯考)已知在各項均為正數的等比數列{an}中,a5·a6=4,則數列{log2an}的前10項和為(

)A.5 B.6 C.10 D.12(2)已知等比數列{an}的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若,則公比q=

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答案解析解析關閉答案解析關閉-26-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)(2016安-60-考點1考點2考點3考點4例5已知{an}是等比數列,前n項和為Sn(n∈N*),且(1)求{