序言數學是一門基礎科學，而幾何問題又可以說占據了它的半壁江山，由可見幾何問題的重要地位。本次課程將分別凸顯趣味性、操作性和現實性，帶領學生們一起感受與深思幾何之美。一、趣味性：數學活動要有趣味，這是符合學生學習感知的特點和心理特點，要努力做到寓教于樂、寓學于玩，活動內容力求新穎、生動、形式靈活多樣，以激發學生的學習興趣和強烈的求知欲。例如將學生喜歡的數學圖形、不解的幾何問題亦或是暗藏無窮奧秘待解的幾何問題等引入課堂。二、操作性：兒童的思維是從動作開始的，切斷了動作和思維的聯系，思維就得不到發展。《新課程標準》也指出“讓學生在做中學”。開放學生的雙手，讓學生手、眼、腦等多種感官協同活動并參與學習活動的過程，不僅能使學生學得生動活潑，而且能啟迪大腦思維，對所學過的知識理解更深刻。在《先進的幾何數學》一章中，可以介紹學生學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，激發他們的學習興趣，拓寬他們的知識面，改變他們“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；同時，也可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的。三、現實性：以學生自身和周圍環境中的現象，以自然、社會與其他學科中的問題為知識學習的切入點，突出數學與現實世界、與其它學科之間的聯系，使學生感受到數學的現實意義和應用價值，內容的選擇，力求從學生實際出發，以學生熟悉的或感興趣的問題情境展開數學探究。如：《人體中的數學奧妙》、《手機套餐中的數學問題》等。總之，數學中有很多知識是和對稱有關的，而這些對稱往往正是由幾何圖形的點對稱、線對稱、面對稱構成的。因此，通過本次校本課程的研究，教師要善于挖掘幾何問題，使學生感受幾何之美，另外，通過對幾何畫板軟件的傳輸，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎。從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。課程綱要一、課程目標數形結合是貫穿中小學數學始終的數學思想方法，數形結合思想就是根據數與形之間的對應關系，根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙和諧地結合在一起，充分利用這種結合尋找解題思路的一種解決數學問題的思想。數形結合思想方法是中學數學基礎知識的精髓之一，是把許多知識轉化為能力的橋梁。在高中數學教學中，許多抽象問題學生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導學生進行數形結合，轉化為直觀、易感知的問題，學生就容易理解，能把問題解決，從而獲得成功的體驗，增強學生學習數學的信心。尤其是對于較難問題，學生若能獨立解決或在老師的啟發和引導下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發學生學習數學的熱情、興趣和積極性。同時，學生一旦掌握了數形結合法，并不斷進行嘗試、運用，許多問題就能迎刃而解。二、課程概況本課程由湯潔羽、朱榮華、董維康、時杰等老師具體負責實施。本課程擬定在高一年級實施。1.數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數、三角函數等；（5）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。如等式。3.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。4.數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。三、課程的組織和實施1、教學的主要方法:（1）用數形結合的方式進行研究。（2）為學生選擇不同難度的幾何圖形，培養學生的探索能力。（3）以師生問答形式引出問題，并引導學生思考。（4）鼓勵學生上臺演示，從實踐中感受幾何之美，同時培養學生的動手能力。（5）給出幾何圖形后空出時間給學生討論研究，讓學生們進行獨立思考和自主探索。（6）獨立思考后讓學生們進行合作交流，培養學生的合作精神。2、組織形式：把學生分成5個小組，提供必要的器材如直尺、圓規等，主要以“學生自主探索發現，合作匯報”的形式進行課堂授課。3、課時：5課時，一課時40分鐘4、場地：教室5、設施：電子多媒體6、班級規模：40人7、實施原則：1）任務原則：學生要通過教師布置的任務來體會幾何數學的魅力，掌握幾何數學的應用。將理論應用到實踐才是真正的掌握了。2）合作性原則：探究過程需要每個小組成員積極參與，發揮自己的作用，學會探究和合作的意識級團隊意識。3）開放性原則：不論什么樣的發現都值得拿出來分享，都值得去進一步探究，要鼓勵學生敢想敢做。4)學生中心原則：教師在授課過程中應只起到引導學生思考的作用，教師是學生學習的促助者。四、課程考核與評價作業：結合上課所講的課外探索部分及學生現有的知識水平，布置適當的書面作業，同時讓他們通過幾何畫板做出一張自己最滿意的幾何圖形，由此了解學生們對幾何內容的掌握情況。實踐：課程結束后，由學生自由組隊，5人左右。從所講的幾何問題中挑選一個問題繼續深入研究，最后通過書面論文的形式上交。以此培養學生們自主創新和積極探索思考的能力。反思與評價：要求學生撰寫學習反思與心得，了解學生對本課程的評價，為下次校本課程做出改進。五、課程內容課時一：心形線心形線，是一個圓上的固定一點在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名。極坐標方程水平方向：或垂直方向：或直角坐標方程和參數方程（*）思考由方程（*）做出的曲線所圍的面積是多少，形成的弧長是多少？課時二：斐波那契螺旋線假設數列滿足：,,，則稱這個數列為斐波那契數列，又稱為黃金分割數列。以斐波那契數列為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。（圖1-1）圖1-1自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例。拓展阿基米德螺線歐拉曲線科赫雪花課時三：皮亞諾曲線在傳統概念中，曲線的數維是1維的，正方形是2維的。一般來說，1維的東西是不可能填滿2維的方格的。但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例，它是一條能夠填滿正方形的曲線。1890年，意大利數學家皮亞諾發明能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線（圖2-1）。圖2-1皮亞諾對區間[0，1]上的點和正方形上的點的對應作了詳細的數學描述。實際上，正方形的這些點對于t∈[0,1],可規定兩個連續函數x=f(t）和y=g(t），當參數t在[0,1]區間取值時，（x,y)將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿正方形的曲線。后來，希爾伯特作出了這條曲線。皮亞諾曲線是一曲線序列的極限，不再是通常定義下的曲線，它是一條連續而又處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線，就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。皮亞諾曲線讓我們意識到我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中，維數可以是分數，叫做分維。課時四：莫比烏斯環公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發現：把一根紙條扭轉180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣，這種紙帶被稱為“莫比烏斯環”。課時五：克萊因瓶克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可\o"克萊因瓶"定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那么它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它并不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。如果莫比烏斯環能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在制作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，并且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無