群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用群論的產(chǎn)生與發(fā)展

群的概念形成于十九世紀(jì)初。群論的早期發(fā)展伴隨著代數(shù)方程根式解的研究并最終徹底解決了這個(gè)困擾全世界數(shù)學(xué)家的難題。群論的創(chuàng)立，就像解析幾何和微積分的創(chuàng)立一樣，閃耀著人類智慧的光芒。二十世紀(jì)初，以量子力學(xué)與相對論的創(chuàng)立為標(biāo)志，物理學(xué)跨進(jìn)了近代物理新時(shí)期。此后，群論一直是研究微觀體系粒子運(yùn)動的強(qiáng)有力的工具，在理論與實(shí)驗(yàn)研究中取得了令人驚嘆的成果，吸引著越來越多的包括物理學(xué)家和化學(xué)家在內(nèi)的科學(xué)工作者學(xué)習(xí)它，應(yīng)用它。

群論的產(chǎn)生與發(fā)展群的概念形成于十九世紀(jì)群論的產(chǎn)生與發(fā)展E.P.Wigner最早應(yīng)用群論研究原子結(jié)構(gòu)和原子光譜，是將群論應(yīng)用于物理學(xué)的先導(dǎo)，他猶豫對原子核和基本粒子的研究，特別是通過發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用基本對稱性原來而作出的貢獻(xiàn)，榮獲了1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1981年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予了著名化學(xué)家R。Hoffmann和福井謙一，以表彰他們建立和發(fā)展“軌道對稱和守恒性原理”的功績化學(xué)家Bell：無論在什么地方，只要能應(yīng)用群論，立即從一切紛亂混淆中結(jié)晶出簡捷與和諧。目前，群論已廣泛應(yīng)用于物理，化學(xué)，結(jié)晶學(xué)以及許多技術(shù)學(xué)科中。群論的產(chǎn)生與發(fā)展E.P.Wigner群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用電子教案課件若G群的元素?cái)?shù)目為有限,則稱G為有限群,有限群G的元素?cái)?shù)目稱為群階(h).反之則稱G為無限群.由上述群的定義,可以證明:①群G的恒等元e是唯一的;②群G中的任意一個(gè)元素a的逆元是唯一的,記作a-1.若G群的元素?cái)?shù)目為有限,則稱G為有限群,定理1:設(shè)G為一有限群,其元素為a1(e),a2,a3,……,an……(1)如果ak是群G中的一個(gè)任意元素,則G的每一個(gè)元素在序列eak,a2ak,a3ak,……,anak……(2)中出現(xiàn)一次,且只出現(xiàn)一次;同理,G的每一個(gè)元素在序列ake,aka2,aka3,…….,akan……(3)中出現(xiàn)一次,且只出現(xiàn)一次.定理1:設(shè)G為一有限群,其元素為

交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個(gè)元素a和b,恒有ab=

ba,則稱群G為交換群.

群元素a的n次方:設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,定義a的n次方an為

an=

aaa……a(n個(gè)a的乘積).

定理2

:設(shè)a,b和c為群G中的任意三個(gè)元素,則交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個(gè)元素a和群元素的周期(階):設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,能使an=

e的最小正整數(shù)n稱為a的周期或階.若此n不存在,則a稱的周期為無限.群元素的周期(階):設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,能使a

子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個(gè)群,則稱H為群G的子群.任何群G至少有兩個(gè)子群,一是群G的本身,二是僅由e構(gòu)成的子集{e},這兩個(gè)子群稱為群G的平凡子群.定理3:群G的非空子集H是子群的充要條件為①若a和b為H中的任意兩個(gè)元素,則乘積ab亦屬于H(abH);②如果a屬于H,則a的逆元a-1亦屬于H(a-1H).(證明從略)定理4:群G的非空有限子集H是子群的充分必要條件為H中的元素對于群G的乘法滿足封閉性條件.定理5:若群G是有限群,則群G的子群H的階一定是群G的階的因子.定理6:有限群G中的任意一個(gè)元素a的階均為群G階的因子.子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個(gè)群,則稱H為晶體性質(zhì)晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))在三維空間中周期性排列形成的固體物質(zhì)。晶體有以下的共同性質(zhì)：均勻性;各向異性;自范性;4.對稱性;5.穩(wěn)定性。

晶體性質(zhì)晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用三維空間點(diǎn)陣來描述晶體的平移對稱性。而平移對稱性是晶體最為基本的對稱性。整個(gè)點(diǎn)陣沿平移矢量

t=ua+vb+wc

(u、v，w為任意整數(shù))平移，得到的新空間點(diǎn)陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對稱操作。晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性點(diǎn)陣是一組無限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以得到一個(gè)矢量，點(diǎn)陣按此矢量平移后都能復(fù)原。三維空間點(diǎn)陣是在三維空間中點(diǎn)的無限陣列，其中所有的點(diǎn)都有相同的環(huán)境。選任意一個(gè)陣點(diǎn)作為原點(diǎn)，三個(gè)不共面的矢量a，b和c作為坐標(biāo)軸的基矢，這三個(gè)矢量得以確定一個(gè)平行六面體如下：

此平行六面體稱為晶胞。晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性點(diǎn)陣是一組無限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱為晶體學(xué)的晶軸X，Y，Z。如果晶胞中只包含一個(gè)陣點(diǎn)，則這種晶胞被稱為初基的(primitive)。晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數(shù)來表示，即用晶胞的三個(gè)邊的長度a，b，c三個(gè)邊之間的夾角a，b，g表示。晶胞包含描述晶體結(jié)構(gòu)所需的最基本結(jié)構(gòu)信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標(biāo)，就有了晶體結(jié)構(gòu)的全部信息。一般寫作：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(分子)。

點(diǎn)陣矢量：由點(diǎn)陣矢量移動晶體到一個(gè)等效位置的平移。初基點(diǎn)陣矢量：可選擇的最小點(diǎn)陣矢量。初基晶胞：

初基點(diǎn)陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)。

晶體結(jié)構(gòu)：原子在晶體中的周期性排列。它可以通過在每點(diǎn)陣點(diǎn)安放一個(gè)稱為基元（或型主）的一組原子來描述。點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(三維點(diǎn)陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)之間的矢量(r)滿足關(guān)系，r=ua+vb+wc,，其中u、v和w是整數(shù)。指定晶體中的任意點(diǎn)：r=(u+x)a+(v+y)b+(w+z)c，其中u，v，w為整數(shù)r=(ua+vb+wc)+(xa+yb+zc)x,y,z是在晶胞之內(nèi)指定一個(gè)位置的分?jǐn)?shù)座標(biāo)。x,y,z用晶胞邊長的分?jǐn)?shù)表示，在0-1之間變化。晶胞原點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)總是0，0，0。用相同分?jǐn)?shù)座標(biāo)x、y和z指定的所有位置都對稱等價(jià)。（由于晶體的三維周期性，在分?jǐn)?shù)坐標(biāo)上加減任意整數(shù)，仍然表示平移對稱的等價(jià)位置。）三維點(diǎn)陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)晶體學(xué)中的對稱操作元素

分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個(gè)相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對稱圖像是一個(gè)能經(jīng)過不改變其中任何兩點(diǎn)間距離的操作后復(fù)原的圖像。這樣的操作稱為對稱操作。在操作中保持空間中至少一個(gè)點(diǎn)不動的對稱操作稱為點(diǎn)對稱操作，如簡單旋轉(zhuǎn)和鏡像轉(zhuǎn)動(反映和倒反)是點(diǎn)式操作;使空間中所有點(diǎn)都運(yùn)動的對稱操作稱為非點(diǎn)式操作，如平移，螺旋轉(zhuǎn)動和滑移反映。

晶體學(xué)中的對稱操作元素分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個(gè)相對稱操作和對稱元素對稱操作：一個(gè)物體運(yùn)動或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復(fù)原，重合）。對稱元素：在對稱操作中保持不變的幾何圖型：點(diǎn)、軸或面。

點(diǎn)群：保留一點(diǎn)不變的對稱操作群。

空間群：為擴(kuò)展到三維物體例如晶體的對稱操作群，由點(diǎn)群對稱操作和平移對稱操作組合而成；由32晶體學(xué)點(diǎn)群與14個(gè)Bravais點(diǎn)陣組合而成；空間群是一個(gè)單胞（包含單胞帶心）的平移對稱操作；反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對稱性操作的組合。

對稱操作和對稱元素對稱操作：一個(gè)物體運(yùn)動或變換，使得變換后全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1

(E)，對應(yīng)于物體不動的對稱操作，對應(yīng)的變換矩陣為單位矩陣。矩陣表示

注意：符號表示為國際符號也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號，括號內(nèi)為熊夫利斯Sch?nflies符號。全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1(旋轉(zhuǎn)軸

(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸)

：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q

=360/n度，

n稱為旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)(或重?cái)?shù))，符號為n(Cn)。其變換矩陣為：旋轉(zhuǎn)軸(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸)：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q=36旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反演中心或?qū)ΨQ中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通過一個(gè)點(diǎn)的倒反(反演)，使空間點(diǎn)的每一個(gè)位置由坐標(biāo)為(x、y，z)變換到(-x，-y，-z)。符號為1(i)，變換矩陣為倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線，并延長該垂線到反映面的另一側(cè)，在延長線上取一點(diǎn)，使其到反映面的距離等于原來點(diǎn)到反映面的距離。符號為m(s)。為了表示反映面的方向，可以在其符號后面標(biāo)以該面的法線。如法線為[010]的反映面，可記為m[010]。{m[010]}(x、y，z)=(x，-y，z)反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映鏡面類型和矩陣表示關(guān)于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于(vertical，σv)或垂直于(horizontal，sh)主軸。在二個(gè)C2軸之間角平分線的一個(gè)垂直平面叫作雙面鏡面，σd（dihedralplane）。

通過yz面的反映。鏡面類型和矩陣表示關(guān)于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡稱反軸(Axisofinversion，

Rotoinversionaxis)，其對稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行倒反操作，這樣的復(fù)合操作稱為記為組合成這種復(fù)合操作的每一個(gè)操作本身不一定是對稱操作。其矩陣表示為：旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡稱反軸(Axisofin旋轉(zhuǎn)反映軸--映軸旋轉(zhuǎn)反映軸，簡稱映軸(rotoreflectionaxis)，其對稱操作是先進(jìn)行繞映軸的旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再對垂直于該映軸的反映面進(jìn)行反映操作m。符號為?

(Sn)，設(shè)對稱軸沿[001]方向，其矩陣表示為：

旋轉(zhuǎn)反映軸--映軸旋轉(zhuǎn)反映軸，簡稱映軸(rotoreflec旋轉(zhuǎn)反映Sn旋轉(zhuǎn)反映

Sn，包括繞對稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°/n，接著作垂直反射。旋轉(zhuǎn)反演和旋轉(zhuǎn)反映（Improperrotation）被（譯）稱為異常旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、不當(dāng)旋轉(zhuǎn)等。

旋轉(zhuǎn)反映Sn旋轉(zhuǎn)反映Sn，包括繞對稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學(xué)國際表中只用反軸。

所有的點(diǎn)對稱操作實(shí)際上可以簡單的分為簡單旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉(zhuǎn)軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價(jià)反軸表示。

反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡單的一一對應(yīng)關(guān)系，旋轉(zhuǎn)角度為q的反軸和旋轉(zhuǎn)角為(q-p)的映軸是等價(jià)的對稱軸，這一關(guān)系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反軸分別等價(jià)于2次，1次，6次，4次和3次映軸。

反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡單的一非點(diǎn)式對稱操作非點(diǎn)式對稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形成的新的對稱操作，平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合形成能導(dǎo)出螺旋旋轉(zhuǎn)，平移和反映復(fù)合能導(dǎo)出滑移反映。非點(diǎn)式對稱操作非點(diǎn)式對稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形螺旋軸螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n)t，這里t是平行于轉(zhuǎn)軸方向的最短的晶格平移矢量，符號為np，n稱為螺旋軸的次數(shù)，(n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數(shù)。所以可以有以下11種螺旋軸：

21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。螺旋軸螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作滑移面滑移反映面，

(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移面進(jìn)行鏡面反映操作，然后接著進(jìn)行與平行于滑移面的一個(gè)方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。點(diǎn)陣的周期性要求重復(fù)兩次滑移反映后產(chǎn)生的新位置與起始位置相差一個(gè)點(diǎn)陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點(diǎn)陣平移周期的一半。滑移面滑移反映面，(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移滑移反射不對稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。

滑移反射改變了不對稱單位的手性。

滑移反射不對稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。滑移面分類軸向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;對角滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量為對角線一半;金剛石滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量對角線1/4的對角滑移面。只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn)，這時(shí)有關(guān)對角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn)，所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。滑移面分類軸向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;鏡面和滑移面

鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊緣看。在右邊是沿垂直于鏡面的方向觀看。箭頭表示平移方向。

a，b，c是平行于單胞邊的滑移。

n是對角滑移，在兩個(gè)方向都滑移單胞長度的一半。

d是類似n的對角滑移，但這里在每個(gè)方向移動單胞邊長的1/4。

鏡面和滑移面鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊對稱操作分類只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物體對映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。第一類操作：真（純）旋轉(zhuǎn)；螺旋旋轉(zhuǎn)。第二類操作：反射；反演；滑移；非真旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)反演，旋轉(zhuǎn)反映）沒有反軸對稱性的晶體是手性晶體。對稱操作分類只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物晶系(Thesevencrystalsystems)晶系：按照晶胞的特征對稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。晶系(Thesevencrystalsystems)晶7個(gè)晶系的單胞

7個(gè)晶系的單胞不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則晶體學(xué)點(diǎn)群晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群。點(diǎn)對稱操作的共同特征是進(jìn)行操作后物體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不動的。晶體學(xué)中，點(diǎn)對稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反軸。(對稱中心=，鏡面=)如果把點(diǎn)對稱操作元素通過一個(gè)公共的點(diǎn)按所有可能組合起來，則一共可以得出32種不同的組合方式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。

晶體學(xué)點(diǎn)群晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群的Sch?nflies符號Cn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群。Cnh:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)垂直于該軸的鏡面的點(diǎn)群。Cnv:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)通過該軸的鏡面的點(diǎn)群。Dn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)主軸和n個(gè)垂直該軸的二次軸的點(diǎn)群。Sn:具有一個(gè)n次反軸的點(diǎn)群。T:具有4個(gè)3次軸和4個(gè)2次軸的正四面體點(diǎn)群。O:具有3個(gè)4次軸,4個(gè)3次軸和6個(gè)2次軸的八面體點(diǎn)群。點(diǎn)群的Sch?nflies符號Cn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的Cn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C6；五個(gè)點(diǎn)群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v四個(gè)點(diǎn)群；Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h五個(gè)點(diǎn)群；Sn：S3與C3h等同，不重復(fù)計(jì)算，只有S2＝i，S4，S6，三個(gè)點(diǎn)群；Dn：D2，D3，D4，D6四個(gè)點(diǎn)群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四個(gè)點(diǎn)群；Dnd：該類點(diǎn)群含有平分面σd，使映轉(zhuǎn)軸次數(shù)要擴(kuò)大一倍，故只有D2d，D3d以上共27個(gè)點(diǎn)群，還有5個(gè)高階群：T、Td、Tu、O、Oh。32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群

晶系

Shoenflies符號

國際符號

三斜

C1S21T

單斜

CsC2C2hm22/m

正交C2vD2D2hmm2222mmm

四方C4S4C4hC4vD2dD4D4h44/m4mm4224/mmm

三方C3S6C3vD3D3d33m32

六方C6C3hC6hC6vD6D3hD6h

66/m6mm6226/mmm

立方TThTdOOh

23m432m3mCn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C632種點(diǎn)群的表示符號及性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)軸(C=cyclic)：

C1,C2,C3,C4,C6;1,2,3,4,62.

旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱平面：

C1h=Cs,C2h,C3h,C4h,C6h;m,2/m,3/m(),4/m,6/m3.旋轉(zhuǎn)軸加通過該軸的鏡面：C2v,C3v,C4v,C6v;mm2,3m,4mm,6mm4.旋轉(zhuǎn)反演軸S2=Ci,

S4,S6=C3d;-1,-4,-332種點(diǎn)群的表示符號及性質(zhì)1.旋轉(zhuǎn)軸(C=cyclic)32種點(diǎn)群的符號表示符號及性質(zhì)5.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸：

D2,D3,D4,D6;

222,32,422,622

6.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸和鏡面：

D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7.D群附加對角豎直平面：

D2d,D3d;

-42m,-3m8.立方體群(T=tetrahedral，O=octahedral)T,Th,O,Td,Oh;

23,m3,432,-43m,m3m32種點(diǎn)群的符號表示符號及性質(zhì)5.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該點(diǎn)群與物理性質(zhì)點(diǎn)群與物理性質(zhì)點(diǎn)陣帶心在單胞之內(nèi)附加點(diǎn)陣點(diǎn)位置由一套帶心操作描述：體心(I)：在???附加的點(diǎn)陣點(diǎn)；面心(F)：在0??、?

0

?和??

0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn)；面心(C)：在??

0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn)點(diǎn)陣帶心在單胞之內(nèi)附加點(diǎn)陣點(diǎn)位置由一套帶心操作描述：帶心操作帶心操作帶心不是所有七個(gè)晶系都可能帶心–僅有14個(gè)可能的組合(Bravais點(diǎn)陣)一些帶心的類型不允許，因?yàn)樗麄儗⒔档蛦伟膶ΨQ性：如立方晶系不可能有底心點(diǎn)陣，因?yàn)檫@將破壞立方對稱的一個(gè)基本條件：有三次對稱軸。一些帶心的類型是多余的：

如C心的四方點(diǎn)陣總可以用一個(gè)更小的初基四方單胞來描述。帶心不是所有七個(gè)晶系都可能帶心–僅有14個(gè)可能的組合(Bra空間點(diǎn)陣型式--Bravais點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對稱性和帶心的模式一共可以產(chǎn)生14種型式，稱為14種布拉伐點(diǎn)陣或布拉伐點(diǎn)陣。布拉伐點(diǎn)陣表示出所屬空間群的平移子群。

Bravais點(diǎn)陣?描述點(diǎn)陣的純平移對稱。實(shí)質(zhì)上通過指定Bravais點(diǎn)陣，指定了單胞(晶系)的形狀和帶心的型式。

空間點(diǎn)陣型式--Bravais點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對稱性和帶心14種空間點(diǎn)陣型式示意圖(14個(gè)Bravais點(diǎn)陣)14種空間點(diǎn)陣型式示意圖(14個(gè)Bravais點(diǎn)陣)14種可能的Bravais點(diǎn)陣

14種可能的Bravais點(diǎn)陣從晶系到空間群

7個(gè)晶系旋轉(zhuǎn)，反射，反演平移螺旋軸，滑移面32個(gè)點(diǎn)群14種Bravais格子230個(gè)空間群（按照晶胞的特征對稱元素分類）從晶系到空間群7個(gè)晶系旋轉(zhuǎn)，反射，反演平移螺旋軸，滑移面3空間群(SpaceGroup)晶體學(xué)中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對稱操作(平移，點(diǎn)操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。空間群是點(diǎn)陣、平移群(滑移面和螺旋軸)和點(diǎn)群的組合。230個(gè)空間群是由14個(gè)Bravais點(diǎn)陣與32個(gè)晶體點(diǎn)群系統(tǒng)組合而成。空間群(SpaceGroup)晶體學(xué)中的空間群是三維周期性空間群分布

三斜晶系：2個(gè)；單斜晶系：13個(gè)正交晶系：59個(gè)；三方晶系：25四方晶系：68個(gè)；六方晶系：27個(gè)立方晶系：36個(gè)。有對稱中心90個(gè)，無對稱中心140個(gè)。73個(gè)symmorphic(點(diǎn)式)，157個(gè)non-symmorphic。空間群分布三斜晶系：2個(gè)；單斜晶系：13個(gè)謝 謝！謝 謝！群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用群論的產(chǎn)生與發(fā)展

群的概念形成于十九世紀(jì)初。群論的早期發(fā)展伴隨著代數(shù)方程根式解的研究并最終徹底解決了這個(gè)困擾全世界數(shù)學(xué)家的難題。群論的創(chuàng)立，就像解析幾何和微積分的創(chuàng)立一樣，閃耀著人類智慧的光芒。二十世紀(jì)初，以量子力學(xué)與相對論的創(chuàng)立為標(biāo)志，物理學(xué)跨進(jìn)了近代物理新時(shí)期。此后，群論一直是研究微觀體系粒子運(yùn)動的強(qiáng)有力的工具，在理論與實(shí)驗(yàn)研究中取得了令人驚嘆的成果，吸引著越來越多的包括物理學(xué)家和化學(xué)家在內(nèi)的科學(xué)工作者學(xué)習(xí)它，應(yīng)用它。

群論的產(chǎn)生與發(fā)展群的概念形成于十九世紀(jì)群論的產(chǎn)生與發(fā)展E.P.Wigner最早應(yīng)用群論研究原子結(jié)構(gòu)和原子光譜，是將群論應(yīng)用于物理學(xué)的先導(dǎo)，他猶豫對原子核和基本粒子的研究，特別是通過發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用基本對稱性原來而作出的貢獻(xiàn)，榮獲了1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1981年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予了著名化學(xué)家R。Hoffmann和福井謙一，以表彰他們建立和發(fā)展“軌道對稱和守恒性原理”的功績化學(xué)家Bell：無論在什么地方，只要能應(yīng)用群論，立即從一切紛亂混淆中結(jié)晶出簡捷與和諧。目前，群論已廣泛應(yīng)用于物理，化學(xué)，結(jié)晶學(xué)以及許多技術(shù)學(xué)科中。群論的產(chǎn)生與發(fā)展E.P.Wigner群論及其在晶體學(xué)中的應(yīng)用電子教案課件若G群的元素?cái)?shù)目為有限,則稱G為有限群,有限群G的元素?cái)?shù)目稱為群階(h).反之則稱G為無限群.由上述群的定義,可以證明:①群G的恒等元e是唯一的;②群G中的任意一個(gè)元素a的逆元是唯一的,記作a-1.若G群的元素?cái)?shù)目為有限,則稱G為有限群,定理1:設(shè)G為一有限群,其元素為a1(e),a2,a3,……,an……(1)如果ak是群G中的一個(gè)任意元素,則G的每一個(gè)元素在序列eak,a2ak,a3ak,……,anak……(2)中出現(xiàn)一次,且只出現(xiàn)一次;同理,G的每一個(gè)元素在序列ake,aka2,aka3,…….,akan……(3)中出現(xiàn)一次,且只出現(xiàn)一次.定理1:設(shè)G為一有限群,其元素為

交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個(gè)元素a和b,恒有ab=

ba,則稱群G為交換群.

群元素a的n次方:設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,定義a的n次方an為

an=

aaa……a(n個(gè)a的乘積).

定理2

:設(shè)a,b和c為群G中的任意三個(gè)元素,則交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個(gè)元素a和群元素的周期(階):設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,能使an=

e的最小正整數(shù)n稱為a的周期或階.若此n不存在,則a稱的周期為無限.群元素的周期(階):設(shè)a為G群中的一個(gè)任意元素,能使a

子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個(gè)群,則稱H為群G的子群.任何群G至少有兩個(gè)子群,一是群G的本身,二是僅由e構(gòu)成的子集{e},這兩個(gè)子群稱為群G的平凡子群.定理3:群G的非空子集H是子群的充要條件為①若a和b為H中的任意兩個(gè)元素,則乘積ab亦屬于H(abH);②如果a屬于H,則a的逆元a-1亦屬于H(a-1H).(證明從略)定理4:群G的非空有限子集H是子群的充分必要條件為H中的元素對于群G的乘法滿足封閉性條件.定理5:若群G是有限群,則群G的子群H的階一定是群G的階的因子.定理6:有限群G中的任意一個(gè)元素a的階均為群G階的因子.子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個(gè)群,則稱H為晶體性質(zhì)晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))在三維空間中周期性排列形成的固體物質(zhì)。晶體有以下的共同性質(zhì)：均勻性;各向異性;自范性;4.對稱性;5.穩(wěn)定性。

晶體性質(zhì)晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用三維空間點(diǎn)陣來描述晶體的平移對稱性。而平移對稱性是晶體最為基本的對稱性。整個(gè)點(diǎn)陣沿平移矢量

t=ua+vb+wc

(u、v，w為任意整數(shù))平移，得到的新空間點(diǎn)陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對稱操作。晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性點(diǎn)陣是一組無限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以得到一個(gè)矢量，點(diǎn)陣按此矢量平移后都能復(fù)原。三維空間點(diǎn)陣是在三維空間中點(diǎn)的無限陣列，其中所有的點(diǎn)都有相同的環(huán)境。選任意一個(gè)陣點(diǎn)作為原點(diǎn)，三個(gè)不共面的矢量a，b和c作為坐標(biāo)軸的基矢，這三個(gè)矢量得以確定一個(gè)平行六面體如下：

此平行六面體稱為晶胞。晶體點(diǎn)陣與晶體對稱性點(diǎn)陣是一組無限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱為晶體學(xué)的晶軸X，Y，Z。如果晶胞中只包含一個(gè)陣點(diǎn)，則這種晶胞被稱為初基的(primitive)。晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數(shù)來表示，即用晶胞的三個(gè)邊的長度a，b，c三個(gè)邊之間的夾角a，b，g表示。晶胞包含描述晶體結(jié)構(gòu)所需的最基本結(jié)構(gòu)信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標(biāo)，就有了晶體結(jié)構(gòu)的全部信息。一般寫作：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(分子)。

點(diǎn)陣矢量：由點(diǎn)陣矢量移動晶體到一個(gè)等效位置的平移。初基點(diǎn)陣矢量：可選擇的最小點(diǎn)陣矢量。初基晶胞：

初基點(diǎn)陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)。

晶體結(jié)構(gòu)：原子在晶體中的周期性排列。它可以通過在每點(diǎn)陣點(diǎn)安放一個(gè)稱為基元（或型主）的一組原子來描述。點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(三維點(diǎn)陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)之間的矢量(r)滿足關(guān)系，r=ua+vb+wc,，其中u、v和w是整數(shù)。指定晶體中的任意點(diǎn)：r=(u+x)a+(v+y)b+(w+z)c，其中u，v，w為整數(shù)r=(ua+vb+wc)+(xa+yb+zc)x,y,z是在晶胞之內(nèi)指定一個(gè)位置的分?jǐn)?shù)座標(biāo)。x,y,z用晶胞邊長的分?jǐn)?shù)表示，在0-1之間變化。晶胞原點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)總是0，0，0。用相同分?jǐn)?shù)座標(biāo)x、y和z指定的所有位置都對稱等價(jià)。（由于晶體的三維周期性，在分?jǐn)?shù)坐標(biāo)上加減任意整數(shù)，仍然表示平移對稱的等價(jià)位置。）三維點(diǎn)陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)晶體學(xué)中的對稱操作元素

分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個(gè)相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對稱圖像是一個(gè)能經(jīng)過不改變其中任何兩點(diǎn)間距離的操作后復(fù)原的圖像。這樣的操作稱為對稱操作。在操作中保持空間中至少一個(gè)點(diǎn)不動的對稱操作稱為點(diǎn)對稱操作，如簡單旋轉(zhuǎn)和鏡像轉(zhuǎn)動(反映和倒反)是點(diǎn)式操作;使空間中所有點(diǎn)都運(yùn)動的對稱操作稱為非點(diǎn)式操作，如平移，螺旋轉(zhuǎn)動和滑移反映。

晶體學(xué)中的對稱操作元素分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個(gè)相對稱操作和對稱元素對稱操作：一個(gè)物體運(yùn)動或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復(fù)原，重合）。對稱元素：在對稱操作中保持不變的幾何圖型：點(diǎn)、軸或面。

點(diǎn)群：保留一點(diǎn)不變的對稱操作群。

空間群：為擴(kuò)展到三維物體例如晶體的對稱操作群，由點(diǎn)群對稱操作和平移對稱操作組合而成；由32晶體學(xué)點(diǎn)群與14個(gè)Bravais點(diǎn)陣組合而成；空間群是一個(gè)單胞（包含單胞帶心）的平移對稱操作；反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對稱性操作的組合。

對稱操作和對稱元素對稱操作：一個(gè)物體運(yùn)動或變換，使得變換后全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1

(E)，對應(yīng)于物體不動的對稱操作，對應(yīng)的變換矩陣為單位矩陣。矩陣表示

注意：符號表示為國際符號也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號，括號內(nèi)為熊夫利斯Sch?nflies符號。全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1(旋轉(zhuǎn)軸

(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸)

：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q

=360/n度，

n稱為旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)(或重?cái)?shù))，符號為n(Cn)。其變換矩陣為：旋轉(zhuǎn)軸(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸)：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q=36旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反演中心或?qū)ΨQ中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通過一個(gè)點(diǎn)的倒反(反演)，使空間點(diǎn)的每一個(gè)位置由坐標(biāo)為(x、y，z)變換到(-x，-y，-z)。符號為1(i)，變換矩陣為倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線，并延長該垂線到反映面的另一側(cè)，在延長線上取一點(diǎn)，使其到反映面的距離等于原來點(diǎn)到反映面的距離。符號為m(s)。為了表示反映面的方向，可以在其符號后面標(biāo)以該面的法線。如法線為[010]的反映面，可記為m[010]。{m[010]}(x、y，z)=(x，-y，z)反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映鏡面類型和矩陣表示關(guān)于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于(vertical，σv)或垂直于(horizontal，sh)主軸。在二個(gè)C2軸之間角平分線的一個(gè)垂直平面叫作雙面鏡面，σd（dihedralplane）。

通過yz面的反映。鏡面類型和矩陣表示關(guān)于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡稱反軸(Axisofinversion，

Rotoinversionaxis)，其對稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行倒反操作，這樣的復(fù)合操作稱為記為組合成這種復(fù)合操作的每一個(gè)操作本身不一定是對稱操作。其矩陣表示為：旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡稱反軸(Axisofin旋轉(zhuǎn)反映軸--映軸旋轉(zhuǎn)反映軸，簡稱映軸(rotoreflectionaxis)，其對稱操作是先進(jìn)行繞映軸的旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再對垂直于該映軸的反映面進(jìn)行反映操作m。符號為?

(Sn)，設(shè)對稱軸沿[001]方向，其矩陣表示為：

旋轉(zhuǎn)反映軸--映軸旋轉(zhuǎn)反映軸，簡稱映軸(rotoreflec旋轉(zhuǎn)反映Sn旋轉(zhuǎn)反映

Sn，包括繞對稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°/n，接著作垂直反射。旋轉(zhuǎn)反演和旋轉(zhuǎn)反映（Improperrotation）被（譯）稱為異常旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、不當(dāng)旋轉(zhuǎn)等。

旋轉(zhuǎn)反映Sn旋轉(zhuǎn)反映Sn，包括繞對稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學(xué)國際表中只用反軸。

所有的點(diǎn)對稱操作實(shí)際上可以簡單的分為簡單旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉(zhuǎn)軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價(jià)反軸表示。

反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡單的一一對應(yīng)關(guān)系，旋轉(zhuǎn)角度為q的反軸和旋轉(zhuǎn)角為(q-p)的映軸是等價(jià)的對稱軸，這一關(guān)系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反軸分別等價(jià)于2次，1次，6次，4次和3次映軸。

反軸和映軸間的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡單的一非點(diǎn)式對稱操作非點(diǎn)式對稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形成的新的對稱操作，平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合形成能導(dǎo)出螺旋旋轉(zhuǎn)，平移和反映復(fù)合能導(dǎo)出滑移反映。非點(diǎn)式對稱操作非點(diǎn)式對稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形螺旋軸螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n)t，這里t是平行于轉(zhuǎn)軸方向的最短的晶格平移矢量，符號為np，n稱為螺旋軸的次數(shù)，(n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數(shù)。所以可以有以下11種螺旋軸：

21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。螺旋軸螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作滑移面滑移反映面，

(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移面進(jìn)行鏡面反映操作，然后接著進(jìn)行與平行于滑移面的一個(gè)方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。點(diǎn)陣的周期性要求重復(fù)兩次滑移反映后產(chǎn)生的新位置與起始位置相差一個(gè)點(diǎn)陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點(diǎn)陣平移周期的一半。滑移面滑移反映面，(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移滑移反射不對稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。

滑移反射改變了不對稱單位的手性。

滑移反射不對稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。滑移面分類軸向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;對角滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量為對角線一半;金剛石滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量對角線1/4的對角滑移面。只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn)，這時(shí)有關(guān)對角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn)，所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。滑移面分類軸向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;鏡面和滑移面

鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊緣看。在右邊是沿垂直于鏡面的方向觀看。箭頭表示平移方向。

a，b，c是平行于單胞邊的滑移。

n是對角滑移，在兩個(gè)方向都滑移單胞長度的一半。

d是類似n的對角滑移，但這里在每個(gè)方向移動單胞邊長的1/4。

鏡面和滑移面鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊對稱操作分類只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物體對映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。第一類操作：真（純）旋轉(zhuǎn)；螺旋旋轉(zhuǎn)。第二類操作：反射；反演；滑移；非真旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)反演，旋轉(zhuǎn)反映）沒有反軸對稱性的晶體是手性晶體。對稱操作分類只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物晶系(Thesevencrystalsystems)晶系：按照晶胞的特征對稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。晶系(Thesevencrystalsystems)晶7個(gè)晶系的單胞

7個(gè)晶系的單胞不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則晶體學(xué)點(diǎn)群晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群。點(diǎn)對稱操作的共同特征是進(jìn)行操作后物體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不動的。晶體學(xué)中，點(diǎn)對稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反軸。(對稱中心=，鏡面=)如果把點(diǎn)對稱操作元素通過一個(gè)公共的點(diǎn)按所有可能組合起來，則一共可以得出32種不同的組合方式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。

晶體學(xué)點(diǎn)群晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群的Sch?nflies符號Cn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群。Cnh:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)垂直于該軸的鏡面的點(diǎn)群。Cnv:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)通過該軸的鏡面的點(diǎn)群。Dn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)主軸和n個(gè)垂直該軸的二次軸的點(diǎn)群。Sn:具有一個(gè)n次反軸的點(diǎn)群。T:具有4個(gè)3次軸和4個(gè)2次軸的正四面體點(diǎn)群。O:具有3個(gè)4次軸,4個(gè)3次軸和6個(gè)2次軸的八面體點(diǎn)群。點(diǎn)群的Sch?nflies符號Cn:具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的Cn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C6；五個(gè)點(diǎn)群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v四個(gè)點(diǎn)群；Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h五個(gè)點(diǎn)群；Sn：S3與C3h等同，不重復(fù)計(jì)算，只有S2＝i，S4，S6，三個(gè)點(diǎn)群；Dn：D2，D3，D4，D6四個(gè)點(diǎn)群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四個(gè)點(diǎn)群；Dnd：該類點(diǎn)群含有平分面σd，使映轉(zhuǎn)軸次數(shù)要擴(kuò)大一倍，故只有D2d，D3d以上共27個(gè)點(diǎn)群，還有5個(gè)高階群：T、Td、Tu、O、Oh。32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群

晶系

Shoenflies符號

國際符號

三斜

C1S21T

單斜

CsC2C2hm22/m

正交C2vD2D2hmm2222mmm

四方C4S4C4hC4vD2dD4D