學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業必貴于專精課時素養評價二十三圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積（25分鐘·50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比為 (）A。1∶2 B。1∶3 C。1∶5 D.3∶2【解析】選C.設圓錐的高為a,則底面半徑為a2則S底=π·a22=πa24，S側=π·a2·a2+a2【加練·固】圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是 ()A。4πS B.2πS C.πS D。23【解析】選A.底面半徑是Sπ，所以正方形的邊長是2πSπ=2πS，故圓柱的側面積是（2πS）2.圓臺上、下底面面積分別是π、4π,側面積是6π，這個圓臺的體積是 ()A.233π B.2C。736π D.【解析】選D。S1=π,S2=4π，所以r=1，R=2，S側=6π=π(r+R)l，所以l=2，所以h=3。所以V=13π×(1+4+2)×3=733.設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是 （）A。43π B。8π3 C.43π 【解析】選C。設正方體棱長為a,由題意可知，6a2=24，所以a=2。設正方體外接球的半徑為R，則3a=2R，所以R=3,所以V球=43πR3=434.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米的體積約為1。62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 （）A.14斛 B.22斛 C。36斛 D。66斛【解析】選B.由l=14×2πr=8得圓錐底面的半徑r=16π≈163,所以米堆的體積V=14×13πr2h=14×2569×5=3209（立方尺二、填空題(每小題4分，共8分）5.若圓錐的側面展開圖是圓心角為180°,半徑為4的扇形，則這個圓錐的表面積是________。

【解析】設圓錐的底面半徑為r,則2πr=4π，所以r=2，所以圓錐的表面積為S=πr2+12π×42=4π+12π×16=12答案：12π6。兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是________.

【解析】設大球的半徑為R，則有43πR3=2×43π×13,R3=2,所以R=答案:3三、解答題(共26分)7.（12分）如圖所示，△ABC中，AC=3,BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周,求所得到的旋轉體的表面積.【解析】過C點作CD⊥AB于點D.如圖所示,△ABC以AB所在直線為軸旋轉一周，所得到的旋轉體是兩個底面重合的圓錐，這兩個圓錐的高的和為AB=5，底面半徑DC=AC·BCAB故S表=π·DC·(BC+AC）=845π8。（14分）一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內切球。求:(1)圓錐的側面積。（2）圓錐內切球的體積。【解析】（1）如圖所示，作出軸截面，則等腰△SAB內接于☉O,而☉O1內切于△SAB.設☉O的半徑為R，則有43πR3=972π所以R3=729，R=9。所以SE=2R=18.因為SD=16，所以ED=2.連接AE，又因為SE是直徑，所以SA⊥AE，SA2=SD·SE=16×18=288，所以SA=122。因為AB⊥SD，所以AD2=SD·DE=16×2=32，所以AD=42.所以S圓錐側=π×42×122=96π.（2）設內切球O1的半徑為r，因為△SAB的周長為2×(122+42）=322，所以12r×322=12×82所以內切球O1的體積V球=43πr3=2563（15分鐘·30分）1。(4分)等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，它們的表面積的大小關系是 （)A.S球〈S圓柱〈S正方體 B.S正方體〈S球<S圓柱C.S圓柱〈S球〈S正方體 D。S球<S正方體〈S圓柱【解析】選A。設等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R,正方體棱長為a,則πr2·2r=43πR3=a3,Rr3=32，S圓柱=6πr2，S球=4πR2，S正方體=6a2,S球S圓柱=4πR26S正方體S圓柱=6a26π2。(4分）圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4,若母線長為10,則圓臺的表面積為 (）A.81π B.100π C.168π D。169π【解析】選C.圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l=h2+(R-r)2=(4r)2+S表=S側+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π。3。（4分）湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球半徑是________cm,表面積是________cm2。

【解析】設球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑,冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑,設球的半徑為R，則OD=R—1，則(R-1)2+32=R2，解得R=5cm，所以該球表面積為S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5100π4.(4分）如圖,一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截,截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3,則該幾何體的體積為________。

【解析】用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5=20π,故所求幾何體的體積為10π.答案：10π【加練·固】如圖所示的幾何體是一棱長為4的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2、深為1的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是________.

【解析】正方體的表面積為4×4×6=96,圓柱的側面積為2π×1=2π,則挖洞后幾何體的表面積約為96+2π.答案:96+2π5.(14分）軸截面為正三角形的圓錐內有一個內切球，若圓錐的底面半徑為2,求球的體積。 【解析】如圖所示，作出軸截面,因為△ABC是正三角形，所以CD=12所以AC=4，AD=32×4=23因為Rt△AOE∽Rt△ACD，所以OEAO=CD設OE=R，則AO=23—R，所以R23-R=所以V球=43πR3=43π·23所以球的體積等于3231.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r、R,則球的表面積為 （）A.4π（r+R)2 B.4πr2R2C。4πRr D.π（R+r)2【解析】選C.如圖，設球的半徑為r1,則在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r，DC=R+r。由勾股定理得4r12=(R+r）2-（R-r）2，解得r1=故球的表面積為S球=4πr12=42.一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其內部有一個高為xcm的內接圓柱。 （1)求圓錐的側面積.(2）當x為何值時,圓柱的側面積最大?并求出側面積的最大值。【解析】