第七知識塊立體幾何初步第1課時空間集合體一、填空題1．如下圖所示，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E解析：由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1答案：②③2．命題A：底面為正三角形，且頂點在底面上的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且________的三棱錐是正三棱錐．答案：側棱相等3．兩條直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形繞一邊旋轉而形成的圓錐，其底面積為________cm2，母線長為________解析：以直角邊3cm為軸旋轉而形成的圓錐底面半徑為4cm，高為3cm；以直角邊4cm為軸旋轉而形成的圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm.故底面面積為9πcm2或16π答案：9π或16π54．在半徑為25cm的球內有一個截面，它的面積是49πcm2解析：由題意知圓O′的半徑為7cm則球心到這個截面的距離OO′＝eq\r(252－72)＝24(cm)．答案：245．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖為△A′B′C′，如下圖所示，A′C′＝3，B′C′＝2，求△ABC中AB邊上的中線的長度為________．解析：直觀圖△A′B′C′還原為平面圖形△ABC，如右圖，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴CD＝eq\f(5,2).即△ABC中AB邊上的中線的長度為eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)6．一個四邊形ABCD的直觀圖是上底、腰長均為1，且一個底角為45°的等腰梯形，求原四邊形ABCD的面積等于________．解析：如圖①為直觀圖，圖②為實際圖形．在①中，A′B′＝1·cos45°×2＋1＝eq\r(2)＋1，所以在②中AB＝eq\r(2)＋1，在①中A′D′＝1，在②中AD＝2，易知ABCD為直角梯形，又DC＝D′C′＝1，所以SABCD＝eq\f(1,2)(CD＋AB)·AD＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(2)＋1)·2＝eq\r(2)＋2.答案：eq\r(2)＋27．若已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么△ABC的面積為________．解析：如右圖是△ABC的平面直觀圖△A′B′C′，作C′D′∥y′軸交x′軸于D′，則C′D′對應△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·eq\r(2)·C′O′＝2eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.答案：eq\f(\r(6),2)a2二、解答題8．正四棱臺AC1的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和解：如右圖所示，設棱臺的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點分別是E1和E，連接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，則四邊形OBB1O1和OEE1O1∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，∴O1E1＝2cm，OEO1B1＝2eq\r(2)cm，OB＝8eq\r(2)cm，∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2，∴B1B＝19cm，E1E＝5eq\r(13)cm答：這個棱臺的側棱長為19cm，斜高為59．正四棱錐的高為eq\r(3)，側棱長為eq\r(7)，求側面上斜高(棱錐側面三角形的高)為多少？解答：如右圖所示，正棱錐S—ABCD中高OS＝eq\r(3)，側棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，在Rt△SOA中，OA＝eq\r(SA2－OS2)＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，則E為AB中點．連接SE，則SE即為斜高，則SO⊥OE.在Rt△SOE中，∵OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，∴SE＝eq\r(5)，即側面上的斜高為eq\r(5).10．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm2解答：圓臺的軸截面如右圖所示，設圓臺上下底面半徑分別為xcm,3xcm.延長AA1交OO1的延長線于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，則∠SAO＝45°，∴SO＝AO＝3x