通州區2024-2025學年第二學期高二年級期中質量檢數學試卷本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的.1.若，則在處的導數（）A.2 B.0 C. D.12.下列式子錯誤的是（）A. B.C. D.3.的展開式中，常數項等于（）A. B.15 C. D.204.過點作曲線的切線，則切點坐標為（）A. B. C. D.5.如圖，函數在上的導函數的圖象，給出下列命題：①的極小值點有且只有1個；②是的極大值點；③的圖象在處切線的斜率等于零；④函數在區間上單調遞增.則正確命題的序號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④6.4名同學選報天文、合唱、羽毛球三個社團，每人報一個，僅有2名同學報同一社團的報名種數為（）A.12 B.24 C.36 D.727.若函數在上存在極值，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.8.如圖，圓和直角三角形的兩邊相切，射線從處開始，繞點逆時針勻速旋轉（到處為止）時，所掃過的圓內陰影部分的面積是時間的函數，它的圖象大致為（）A. B.C. D.9.若將一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數，稱之為“回文數”.如等；那么用數字可以組成五位“回文數”且這個五位數的各位數字之和為11，則這樣的五位“回文數”的個數為（）A10 B.12 C.14 D.610.平面直角坐標系上將橫、縱坐標都為整數點記為格點，點從格點出發，每次運動到另一格點時，沿水平或豎直方向移動一個單位，則點經過6次移動回到格點的移動路徑總數為（）A81 B.200 C.400 D.480第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.__________.12.5件產品中有2件次品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有__________.13.若函數恰有兩個零點，則滿足條件的一組的值可以是__________.14.設函數，則曲線在點處的切線斜率為__________，該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為__________.15.已知函數，給出下列四個結論：①若恰有2個零點；②存負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數.，使得恰有3個零點.其中所有正確結論的序號是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設.（1）若，求和的值；（2）若，求的值.17.2025年1月2日至2025年3月30日期間，北京本地燃油機動車尾號限行規定為周一周二周三周四周五2和73和84和95和01和6（機動車車牌尾號為英文字母的按0號管理）已知甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數分別是，五人住處相近，故商議拼車出行，按此限行規定，周一到周五每天任選一輛符合規定的車出行.（用數字作答）（1）求不同的用車方案總數；（2）若每車只能用一天且甲車在周一出行，求不同的用車方案總數.18.已知函數，若是的極值點.（1）求實數的值及函數的單調區間；（2）求函數在上的最大值與最小值.19.設函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）記點，當時，曲線在點處的切線與軸交于點，求三角形面積的最大值.（3）在（2）的條件下，請判斷是否存在點，使得三角形為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的點的個數.20.已知函數.（1）當時，求曲線在處切線方程；（2）求的單調區間；（3）若對任意，都有成立，求整數的最大值.21.已知函數.（1）證明：是曲線與曲線存在唯一交點的充要條件；（2）證明：當時，.

通州區2024-2025學年第二學期高二年級期中質量檢數學試卷本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的.1.若，則在處的導數（）A.2 B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】對函數求導后直接代入計算即可.【詳解】由可得,因此.故選：A2.下列式子錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據求導公式表計算可得AC正確，再由乘法運算可求得B正確，利用復合函數求導法則可得D錯誤.【詳解】對于A，易知，可得A正確；對于B，可得，即B正確；對于C，易知，即C正確；對于D，顯然，可知D錯誤.故選：D3.的展開式中，常數項等于（）A. B.15 C. D.20【答案】B【解析】【分析】根據二項式展開式通項公式求出展開式的通項，再令通項中的次數為，進而求出常數項.【詳解】二項式的通項為，即

，令，解得.可得常數項為.故選：B.4.過點作曲線的切線，則切點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設出切點坐標并對函數求導，求得在切點處的切線方程并代入點坐標解方程即可.【詳解】易知函數的定義域為，設切點坐標為，則可得，此時切線斜率為，因此切線方程為，代入點可得，即，解得，即切點坐標為.故選：C5.如圖，函數在上的導函數的圖象，給出下列命題：①的極小值點有且只有1個；②是的極大值點；③的圖象在處切線的斜率等于零；④函數在區間上單調遞增.則正確命題的序號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】由圖象可知不等式和的解，即可得出的單調性和極值.【詳解】由圖象可知，當或時，；當或時，，則在和上單調遞增，在和上單調遞減，則為函數的極小值點，、為函數的極大值點，故①④正確；②錯誤；因，則的圖象在處切線的斜率不等于零，故③錯誤.故選：B6.4名同學選報天文、合唱、羽毛球三個社團，每人報一個，僅有2名同學報同一社團的報名種數為（）A.12 B.24 C.36 D.72【答案】C【解析】【分析】利用分組分配先將4人分成三組，再進行全排列即可得出結果.【詳解】4名同學選報三個社團，僅有2名同學報同一社團，可將4名同學分成3組，共有種分法，再將三組同學選報三個社團，共有種報法，因此總的報名方式共有種.故選：C7.若函數在上存在極值，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意將極值點問題轉化為導函數有變號零點的問題，再結合判別式可求得結果.【詳解】易知函數的定義域為，則，依題意可得導函數在上存在變號零點，即有實數根，且不能是兩個相等的實根，因此，解得或；即實數的取值范圍為.故選：B8.如圖，圓和直角三角形的兩邊相切，射線從處開始，繞點逆時針勻速旋轉（到處為止）時，所掃過的圓內陰影部分的面積是時間的函數，它的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察陰影部分面積的變換規律即可選出答案．【詳解】當直線轉動時，若某時刻直線被圓所截得的弦最長時，的瞬時變化率就較大，此處的導數也較大，圖象中這里的切線較陡，曲線就較陡.故前半部分曲線開始由平緩變陡；后半部分弦又漸漸變短，曲線由陡變緩，4個圖中只有D具有上述特點.故選：D.9.若將一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數，稱之為“回文數”.如等；那么用數字可以組成五位“回文數”且這個五位數的各位數字之和為11，則這樣的五位“回文數”的個數為（）A.10 B.12 C.14 D.6【答案】A【解析】【分析】設五位數的“回文數”為，找滿足的所有情況即可.【詳解】設五位數的“回文數”為，其中，因各位數字之和為11，則，因為偶數，則為奇數，若，則，則的組合有，則“回文數”的個數共有個；若，則，則的組合有，則“回文數”的個數共有個；若，則，則的組合有，則“回文數”的個數共有個；若，則，則的組合有，則“回文數”的個數共有個；則滿足條件的五位“回文數”的個數為.故選：A10.平面直角坐標系上將橫、縱坐標都為整數的點記為格點，點從格點出發，每次運動到另一格點時，沿水平或豎直方向移動一個單位，則點經過6次移動回到格點的移動路徑總數為（）A.81 B.200 C.400 D.480【答案】C【解析】【分析】依題意可按照分類加法計數原理將問題分成四類，再利用組合數計算即可.【詳解】根據題意可知點從格點出發，可沿上、下、左、右四個方向移動；若點經過6次移動回到格點可分為以下四種情況：第一種：在六步移動過程中選擇3步向上，另外3步向下，共有種；第二種：選擇3步向左，另外3步向右，共有種；第三種：選擇2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有種；第四種：選擇1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有種；因此共有種.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于可將回到出發點的問題轉化為在六步移動過程中，向左右、上下的相反方向的移動步數相等，再利用組合計數問題計算可得結果.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.__________.【答案】14【解析】【分析】利用排列數和組合數計算公式得到答案.【詳解】.故答案為：1412.5件產品中有2件次品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有__________.【答案】6【解析】【分析】根據組合知識得到答案.【詳解】5件產品中有2件次品，則有三件正品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有種.故答案為：613.若函數恰有兩個零點，則滿足條件的一組的值可以是__________.【答案】（答案不唯一，滿足或，且即可）【解析】【分析】求導，分和兩種情況，利用導數判斷的單調性，結合單調性分析零點即可.【詳解】因為的定義域為，且若，則，可知在定義域內單調遞增，則至多有1個零點，不合題意；若，令，解得或；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，且當x趨近于時，x趨近于；當x趨近于時，x趨近于；若函數恰有兩個零點，則或，即或；綜上所述：或，且，例如.故答案為：（答案不唯一，滿足或，且即可）.14.設函數，則曲線在點處的切線斜率為__________，該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求導后代入計算即可得出切線斜率；（2）求出切線方程與坐標軸交點，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】易知,可得,即曲線在點處的切線斜率為；此時切線方程為，即，切線與兩坐標軸的交點為，所以切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故答案：，15.已知函數，給出下列四個結論：①若恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數.，使得恰有3個零點.其中所有正確結論的序號是__________.【答案】①②③【解析】【分析】把求零點問題轉化函數圖象交點問題，求出導函數判斷單調性并求出極值，畫出圖像利用數形結合判斷①②③④【詳解】令，易知，當時，，所以在單調遞減，當時，，令，所以在上單調遞減；在上單調遞增；所以在取得極小值，又，畫出和在同一坐標系下的圖象如下所示：由圖可知當時，恰有2個零點，故①正確；存在負數，當時，使得恰有1個零點；故②對；存在負數，當時，使得恰有3個零點；故③對；當時，使得恰有2或1或0個零點，故④錯；故答案為：①②③三?解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設.（1）若，求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用賦值法，令，，代入計算，根據二項式奇數項的二項式系數和等于二項式偶數項的二項式系數和求解即可；（2）分別求出代入列方程求解即可【小問1詳解】因為，令，得，令，則，令，得，故，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，解得.17.2025年1月2日至2025年3月30日期間，北京本地燃油機動車尾號限行規定為周一周二周三周四周五2和73和84和95和01和6（機動車車牌尾號為英文字母的按0號管理）已知甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數分別是，五人住處相近，故商議拼車出行，按此限行規定，周一到周五每天任選一輛符合規定的車出行.（用數字作答）（1）求不同的用車方案總數；（2）若每車只能用一天且甲車在周一出行，求不同的用車方案總數.【答案】（1）種（2）10種【解析】【分析】（1）分別得到周一至周五符合規定的車輛數，利用分步乘法計數原理得到答案；（2）分乙車和丁車周三出行兩種情況，利用排列知識得到兩種情況下的方案數，相加得到答案.【小問1詳解】由題意知：五人的車分別不能安排在周四?周四?周三?周一?周三?故周一符合規定的車有4輛，周二符合規定的車有5輛，周三符合規定的車有3輛，周四符合規定的車有3輛，周五符合規定的車有5輛，則周一到周五每天任選一輛符合規定的車出行的用車方案共有種；【小問2詳解】由題意知：乙車不能在周四出行，丙和戊的車不能在周三出行，丁的車沒有限制，若乙車周三出行，則有種不同方案；若丁車周三出行，則有種不同方案；故有種不同的方案.18.已知函數，若是的極值點.（1）求實數的值及函數的單調區間；（2）求函數在上的最大值與最小值.【答案】（1），單調遞增區間是和，單調減區間是（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）利用求出，再解不等式、即可得出單調性；（2）根據（1）求出的單調性即可求出.【小問1詳解】由題意可得，因為時，函數取得極值，所以，解得，所以，，由，得或；由，得，所以函數的單調遞增區間是和，單調減區間是，則在處取極小值，符合題意.故符合條件.【小問2詳解】由（1）知：函數在單調遞減，單調遞增，因，，所以函數在區間上的最小值為，最大值為.19.設函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）記點，當時，曲線在點處的切線與軸交于點，求三角形面積的最大值.（3）在（2）的條件下，請判斷是否存在點，使得三角形為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的點的個數.【答案】（1）（2）（3）1個【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求出方程組即可解得（2）求出切線方程并求得三角形面積，再構造函數利用導數求出的最大值即可；（3）分別對三角形的三個角分別為直角進行分類討論，再利用垂直關系以及函數單調性求出結果.【小問1詳解】因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，則，解得，所以【小問2詳解】）當時，因為在點處的切線方程為：，令，得，所以，所以由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，取得極大值，也是最大值為.即三角形面積最大值為【小問3詳解】由（1）可知，則，令，解得，當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減；若，則，若，則；其圖象如下圖所示：顯然，當時，三角形是以為直角的直角三角形，若以為直角，則必須在軸上，顯然函數與軸的唯一交點為原點，不合題意；若以為直角，設切點為，此時切線斜率，即，又此時的斜率為，因此，即，也即令函數，則，令，解得，當當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增；因此在處取得極小值，也是最小值，即，即函數沒有零點，因此方程沒有實數根，即切點不存在，因此此時三角形不是直角三角形；綜上可知，滿足題意的直角三角形的個數為1個.20.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若對任意，都有成立，求整數的最大值.【答案】（1）（2）答案見解析（3）2【解析】【分析】（1）求出函數的導數，