福建省福州教育學院附屬第二中學2022-2023學年數學高三第一學期期末達標測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.2.函數的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.33.函數在的圖象大致為()A. B.C. D.4.已知函數,則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20205.已知集合A,則集合()A. B. C. D.6.已知是雙曲線的左、右焦點,是的左、右頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.7.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.128.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.110.著名的斐波那契數列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.404011.設復數滿足,在復平面內對應的點的坐標為則()A. B.C. D.12.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實數的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設全集,,,則______.14.已知數列的前項和公式為,則數列的通項公式為___.15.已知函數f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在點(e,f(e))處的切線方程為y=3x﹣e,則a+b=_____.16.(5分)在平面直角坐標系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)求函數的單調遞增區間;(2)的三個內角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.18.(12分)已知數列的前項和為,且點在函數的圖像上;(1)求數列的通項公式;(2)設數列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍;19.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點,,分別為線段,,的中點,點是線段的中點.(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關系,并證明.20.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.21.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當時,求的取值范圍.22.(10分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標準方程;(2)經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可得c=,設右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.2、A【解析】

根據正切函數的圖象求出A、B兩點的坐標,再求出向量的坐標,根據向量數量積的坐標運算求出結果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正切函數的圖象,平面向量數量積的運算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關鍵是利用圖象與正切函數圖象求出坐標,再根據向量數量積的坐標運算可得結果,屬于簡單題.3、B【解析】

先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數,排除C,D;,排除A.故選:B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷,屬于常考題.4、C【解析】

首先,根據二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式,根據所求函數的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點睛】本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識,掌握輔助角公式化簡函數解析式是解題的關鍵,屬于中檔題.5、A【解析】

化簡集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算,屬于基礎題.6、D【解析】

根據為等腰三角形,可求出點P的坐標,又由的斜率為可得出關系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因為為等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質,屬于中檔題.7、D【解析】

推導出,且,,,設中點為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設中點為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用,屬于中檔題.8、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系,即可得出。【詳解】設對應的集合是,由解得且對應的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B。【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關系法。設,如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。9、A【解析】

根據題意,求導后結合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據導數的幾何意義得:,即切線斜率,當且僅當等號成立,所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值,考查計算能力.10、D【解析】

計算,代入等式,根據化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數列,意在考查學生的計算能力和應用能力.11、B【解析】

根據共軛復數定義及復數模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點睛】本題考查復數對應點坐標的幾何意義,復數模的求法及共軛復數的概念,屬于基礎題.12、D【解析】

由已知可得,結合向量數量積的運算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數量積運算,向量垂直的應用,考查計算求解能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求出集合,,然后根據交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎題.14、【解析】

由題意,根據數列的通項與前n項和之間的關系,即可求得數列的通項公式.【詳解】由題意,可知當時,;當時,.又因為不滿足,所以.【點睛】本題主要考查了利用數列的通項與前n項和之間的關系求解數列的通項公式,其中解答中熟記數列的通項與前n項和之間的關系,合理準確推導是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.15、0【解析】

由題意,列方程組可求,即求.【詳解】∵在點處的切線方程為,,代入得①.又②.聯立①②解得:..故答案為:0.【點睛】本題考查導數的幾何意義,屬于基礎題.16、【解析】

方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設,則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為,然后解不等式,可求得函數的單調遞增區間;(2)由求得,利用余弦定理結合基本不等式求出的取值范圍,再結合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數的單調遞增區間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當且僅當時取等號,所以,的面積.【點睛】本題考查正弦型函數單調區間的求解,同時也考查了三角形面積取值范圍的計算,涉及余弦定理和基本不等式的應用,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)(2)當n為偶數時,;當n為奇數時,.(3)【解析】

(1)根據,討論與兩種情況,即可求得數列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數或偶數時的通項公式.也可利用數學歸納法,先猜想出通項公式,再用數學歸納法證明.(3)分類討論,當n為奇數或偶數時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數當時,n為偶數所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數時,.同理,當n為奇數時,,所以,當n為奇數時,.解法二:猜測:當n為奇數時,.猜測:當n為偶數時,.以下用數學歸納法證明:,命題成立;假設當時,命題成立;當n為奇數時,,當時,n為偶數,由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數時同理,當n為偶數時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當n為偶數時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數時,的最大值是.②當n為奇數時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數學歸納法證明數列的應用,數列的單調性及參數的取值范圍,屬于難題.19、(1)見解析(2)平面.見解析【解析】

(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點,連接,根據已知條件求證,即可判斷與平面的位置關系,進而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點,,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內,,為所在邊的中點,,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點,連接.、、分別為邊、、的中點,.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.20、(1).(2).【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數據,求出最高氣溫位于區間[20,25)和最高氣溫低于20的天數,由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.(2)當溫度大于等于25℃時,需求量為500,求出Y=900元;當溫度在[20,25)℃時,需求量為300,求出Y=300元;當溫度低于20℃時,需求量為200,求出Y=﹣100元,從而當溫度大于等于20時,Y>0,由此能估計估計Y大于零的概率.【詳解】解:(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數據,得到最高氣溫位于區間[20,25)和最高氣溫低于20的天數為2+16+36=54,根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶,如果最高氣溫位于區間[20,25),需求量為300瓶,如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p.(2)當溫度大于等于25℃時,需求量為500,Y=450×2=900元,當溫度在[20,25)℃時,需求量為300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,當溫度低于20℃時,需求量為200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,當溫度大于等于20時,Y>0,由前三年六月份各天的最高氣溫數據,得當溫度大于等于20℃的天數有:90﹣(2+16)=72,∴估計Y大于零的概率P.【點睛】本題考查概率的求法,考查利潤的所有可能取值的求法,考查函數、古典概型等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,是中檔題.21、(1)見解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯立,由可得出關于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結論;(2)求出點、的坐標,利用兩點間的距離公式結合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當兩切線、的斜率都存在時,設切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據題意得、,,令

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