13-1

耦合電感的電壓電流關系一、互感和互感電壓在一個電感兩端加一交流電壓uS，另一個電感端接負載電阻RL

，RL上可測量到輸出交流電壓uO

。-+us當兩個電感器（或線圈）彼此接近時，電流在一個線圈中引起的磁通量會對另一個線圈產生影響，從而在另一個線圈中產生感應電壓，這種現象稱為互感（mutual

inductance）R0RL-+u0當線圈1中通入電流i11.

耦合電感的自感和互感i1與11的方向滿足右手螺旋法則時， 圈1中產生總磁通11，11與N1匝線圈1交鏈形成自感磁鏈11。11

N111

L1i1線圈2，與N2匝線圈2上交鏈產生同時部分磁通21穿過互感磁鏈21，21

N221

M21i1M21定義為線圈2相對于線圈1的互感系數，單位亨(H)N1N211

21s1i1N1N2

12

22s2i2當線圈2也通入電流i2時，也會產生自感磁鏈22，

圈1上產生互感磁鏈12

22

N222

L2i212

N112

M12i2兩個線圈同時存在i1和i2，通過每個線圈的總磁鏈等于自感磁鏈疊加互感磁鏈，是電流i1和i2單獨作用時磁鏈的疊加。i112

L11i

M12i2

M

L2i1i2N1N2i2i11

112

±2221

±

212、互感的性質①互感M12、M21的量值反映了一個電感在另一個電感產生磁鏈的能力。②從電磁場理論可以證明，M12=M21=M，互感系數M與兩個線圈的幾何尺寸、匝數、相互位置和周圍的介質磁導率有關，如其他條件不變時，有M

N1N2

（L

N2）3、耦合系數(coupling

coefficient)kk

表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。def

M

L1

L2k

即11=

21

，

22

=

12k1全耦合:

k=1無耦合:

k=0緊耦合:松耦合:k接近于1k很小時4、耦合電感的自感電壓與互感電壓根據電磁感應定律，當電流i1和i2隨時間變化時，電感中磁鏈也隨時間變化，將在電感中產生感應電動勢。u

ddt1

11

12

L1i1

Mi22

21

22

Mi1

L2i221dt

dtdi

di

Mu1

u11

u12

L122

21

22

2dtdidtu

u

u

M

di1

Li2i1–+u1

N1–+N2u221111dtdidtdi

Mu

u

u12

L12222212dtdidt

u

M

di1

Lu

u12i2i1–+u1

N+–N

u2diu11

L1

12dtdtdiu22

L221dtu

M

di112dtu

M

di2自感電壓互感電壓互感電壓的正負號取決于磁通量方向，當i1和i2在耦合線圈中產生的磁場方向相同而相互增強時，互感電壓的符號為正。反之為負。N1N2i2i1N1N2i2i121dtu

M

di112dtu

M

di2上圖21dtu

M

di112dtu

M

di2下圖二、互感線圈的同名端1111

11111dt

dt

dtdΨ

dΦ

di

L

Nu 上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數學描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。對線性電感，用

u，i

描述其特性，當

u，i

取關聯方向時，符號為正；當

u，i

為非關聯方向時，符號為負。具有互感的線圈兩端的電壓包含自感電壓和互感電壓，表達式的符號與參考方向和線圈繞向有關。對自感電壓，當u,i取關聯參考方向，u、i與

符合右螺旋定則，其表達式為i1u11對互感電壓，因產生該電壓的的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的相對位置和繞向。這在電路分析中顯得很不方便。+u11–

+i111

0N1N2u21–

+

u31

–N3

s21di121

dtu

M引入同名端可以解決這個問題**di131dt31u

M同名端：當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子流入，其所產生的磁場相互加強時，則這兩個對應端子稱為同名端。此時互感電壓符號取正。i11'**

22'232'*3'1

*1'注意：線圈的同名端必須兩兩確定。同名端表明了線圈的相互繞法關系。確定同名端的方法：(1)

當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電

生的磁場相互增強。例.確定圖示電路的同名端同名端的實驗測定1'22'R

S

1V+–電壓表正偏。22'0

M

di0,

udidt

dt當閉合開關S時，i增加(2)

當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結論來加以判斷。當斷開S時，如何判定？注意：有三個線圈，相互兩兩之間都有磁耦合，每對耦合線圈的同名端必須用不同的符號來標記。(1)

一個線圈可以不止和一個線圈有磁耦合關系；(2)

互感電壓的符號有兩重含義。同名端參考方向互感現象的利與弊：利

——

變壓器：信號、功率傳遞弊

——

干擾

,合理布置線圈相互位置減少互感作用。三、由同名端及u，i參考方向確定互感線圈的特性方程udt21

M

di1dt21u

M

di1i1u+

21

–有了同名端，以后表示兩個線圈相互作用，就不再考慮實際繞向，而只畫出同名端及參考方向即可。(參圖，標出同名端得到下面結論)。Mi1u–

21

+ML1+_u1+_L2

u2Mdtdt1di

M

di2u1

L1udtdidt222

L

M

di1i1

i1L1+_u1+_L2

u2i2

i2Mdtdt1di

M

di2u1

L1dtdidtdi2212

Lu

M時域形式i2四、耦合電感定義是由實際耦合線圈抽象出的理想化的電路模型，是一種線性時不變雙口元件，由L1、L2和M三個參數來表征。21

11U

jωMI2

212U

jωL

I

jωL

I

jωMIj

L1j

L2+j

MU

1_+U

2_I

1I

2在正弦穩態電路中，其相量形式的方程為一、耦合電感的的串聯1.

順接串聯dt

dt1

2

1

221

dt

dt

2

dt

dt1

(

R

R

)i

(L

L

2M

)

di

Ri

L

diu

R

i

L

di

M

di

L

di

M

di

R

iL

L1

L2

2M

L順

R

R1

R2iu2+–R1R2L1

ML2u1+–u+–iRLu+–§13-2

耦合電感的串聯和并聯2.

反接串聯L

L1

L2

2M

L反

R

R1

R2iRLu+–dt

dt1

2

1

221

dt

dt

2

dt

dt1

(

R

R

)i

(L

L

2M

)

di

Ri

L

diu

R

i

L

di

M

di

L

di

M

di

R

i2

M

1

(L

L

)1

2互感不大于兩個自感的算術平均值。L

L1

L2

2M

0iu2+–R1R2L1ML2u1+–u+–*

順接一次，反接一次，就可以測出互感：4

L反M

L順互感的測量方法L順

L1

L2

2ML反

L1

L2

2ML2L1M問題：已知L1、L2，測量M1.

同名端在同側dtdt11di

M

di2u

L

1

2

di

L1

L2

2M

dt(

L

L

M

2

)u

21

0

1

2

L

L

2M(

L

L

M

2

)Leqi

=i1

+i2解得u,i的關系：二、耦合電感的并聯dtdt22di

M

di1u

L故M

L1

L2互感小于兩元件自感的幾何平均值。Mi1L1i2L2i+u–2.

同名端在異側dtdidi1

1

M

2dtu

LL1

L2

2M

dt(

L

L

M

2

)

diu

1

2

21

0

1

2

L

L

2M(

L

L

M

2

)Leqi

=i1

+i2解得u,i的關系：dtdt22di

M

di1u

LMi2i1L1L2i+u–例,求圖示電路開關閉合后的時間常數t

。設k

=0.5

。k+_uS2H2H224+_uS6H解：k

M

L1

L21 2M

k

L

L

0.5

2

1HLeq

L1

L2

2M

6H開關閉合后的等效電路如圖

1.5S6R

4Leq

1.去耦等效(兩電感有公共端)(a)

同名端接在一起§13-3

耦合電感的去耦等效電路u

Ldt

di

dtdidt

dt

2

2u

M

1

L2di

M

di2

111

Ldt

di

didt

didtdi

2

(

Lb

Lc

)

1dtu2

Lb2b1bu1

(

La

L

)i2i1LbLc+u1_+u2_Lai1

i2M+

u1

L1

L2_+u2_等效

Ldt

di

didt

didtdi

2

(

Lb

Lc

)

1dtu2

Lb2b1u1

(

La

Lb

)令以上兩式各系數分別相等，得到：L2

Lb

Lc

L1

La

Lb

L

L

M

由此解得：

L

MbLa

L1

M

dtdi

di

dt

dt

2

dt

u

M

1

L2

2di

M

di2

1u1

L1ML2-Mc

2L1-M

L1L2M

LbM等效i2i1L1L2M+u1_+u2_i2i1LbLc+u1_+u2_La

Ldt

didtdidt

didtdi21bu2

L2b1bu1

(

La

L

)di

dt

dt

didtdidtdi

2

u

M

1

L2

2

1

M

2u1

L1(b)

非同名端接在一起L

L

M

解得：L

ML

L

M

c

2ba

1-M

(

Lb

Lc

)L2+ML1+M等效I

1I

2j

L1+–

–j

L2+jωMI

2jωMI

1+–U

2+–U

12.

受控源等效電路

I

1

I

2j

M+–U

2+–U

1

j

L1

j

L2U

1

jωL1

I

1

jωM

I

2U

2

jωL2

I

2

jωM

I

1兩種等效電路的特點：(1)

去耦等效電路簡單，等值電路與參考方向無關，但必須有公共端；(2)

受控源等效電路，與參考方向有關，不需公共端。MaL1-ML2-M若將耦合電感b、d兩端相連，其連接線中的電流為零，不會影響單口網絡的端口電壓電流關系，可用去耦等效電路來等效。再用電感串并聯公式求得等效電感L

L

M

L

M

//Meq

1 2

4

2

4

2//

2

3Ha例1

求單口網絡的等效電感

Leq2Hb

b

4H

4Hdcab10:12H26H

34H50mHab10:12H56H4H50mHab2H56H5H例2、求圖所示單口網絡的等效電路。ab56H8H5H-2H6

5

2L

8H

6(5

2)

H

8H

2H

10Hab2H56H5H注意找公共端+uS_60.125F2H1HZL-1H60.125F3Hj62Hj4-j2-j4+uS

U

S_例3、s正弦穩態電路，已知

u

t

6

2

cos

2t

V問：當負載阻抗ZL為多大時，可獲得最大平均功率，且求出最大平均功率值。

1H解：（1）去耦等效（2）建立相量模型，先求開路電壓

6

90

606

j6

j6

j6abU

6

j2

0Z

j4

6

j6//

j6+uS_-1H60.125F3Hj62Hj4-j2-j4SU（3）求等效阻抗（4）根據共軛匹配Z

Z

6

j2

L

00

1.5W4R

4

6U

2

62P

abLmax§13-4耦合電感與理想變壓器的關系

L1L2M+u1_+u2_i2i1n:1Lm+u2_+u1_Lsi2i1dt

di2

di1u2

M

dt

L2di1

di2

u1

L1

dt

M

dt

dtn

dtL

di

L

didt

n

dt

n2

m

2u

m

12di2

di

Lm1mu1

(

LS

L

)nnL

ML

n2m2M

mL1

LS

LmL22mLM

2LM

2L2LS