第2章控制系統狀態空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2.3線性定常系統非齊次方程的解2.4線性時變系統的解2.5離散時間系統狀態方程的解2.6連續時間狀態空間表達式的離散化第2章控制系統狀態空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態1本章要求要求理解及掌握內容：正確理解連續時間狀態空間表達式的離散化。線性定常系統狀態方程的求解方法要求了解內容：線性離散系統及時變系統狀態方程的求解方法。重點：

狀態轉移矩陣和狀態方程的求解。本章要求2

本章通過求解系統方程的解來研究系統性能。由于系統的狀態方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數方程。因此，只要求出狀態方程的解，就很容易地得到系統的輸出，進而研究系統的性能。本章通過求解系統方程的解來研究系統性能。31）、自由運動：線性定常系統在沒有控制作用，即u＝0時，由初始狀態引起的運動稱自由運動。齊次狀態方程的解：2）、強迫運動：線性定常系統在控制u作用下的運動，稱為強迫運動。非齊次狀態方程的解：2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）1、線性定常系統的運動1）、自由運動：線性定常系統在沒有控制作用，即u＝0時，由初42、齊次狀態方程：滿足初始狀態的解是：滿足初始狀態的解是：2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）2、齊次狀態方程：滿足初始狀態的5線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程的冪級數解法假設其解為一冪級數（3）將（3）式代入（2）式這時系統的輸入為零2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程6等式兩邊t的同次冪的系數相等，因此有而因為則解為（4）模仿標量齊次微分方程的解法，假設線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）等式兩邊t的同次冪的系數相等，因此有而因為則解為（4）模仿7等式兩邊t同次冪的系數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（6）則（7）2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）等式兩邊t同次冪的系數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次8如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數又稱為狀態轉移矩陣，記作由于系統沒有輸入向量，是由初始狀態激勵的。因此，這時的運動稱為自由運動。的形態由決定，即是由矩陣A

唯一決定的。2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數9一、狀態轉移矩陣線性定常系統的齊次狀態方程：滿足初始狀態的解是：滿足初始狀態的解是：已知：線性定常系統的狀態轉移矩陣令：則有：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣一、狀態轉移矩陣線性定常系統的齊次狀態方程：滿足初始狀態10說明1：狀態轉移矩陣必須滿足以下兩個條件：1）狀態轉移矩陣初始條件：2）狀態轉移矩陣滿足狀態方程本身：說明2：對于線性定常系統來說，狀態轉移矩陣就是矩陣指數函數本身。說明3：狀態轉移矩陣的物理意義：從時間角度看，狀態轉移矩陣使狀態向量隨著時間的推移不斷作坐標變換，不斷在狀態空間中作轉移，故稱為狀態轉移矩陣。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣說明1：狀態轉移矩陣必須滿足以下兩個條件：1）狀態轉移矩陣初112.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣自由運動也即零輸入響應的屬性：1、幾何表征為狀態空間中由初始狀態點出發和由各個時刻變換點構成的一條軌跡；2、運動屬性狀態隨著時間演化軌跡，屬于由偏離系統平衡狀態的初始狀態引起的自由運動；（典型例子：人造衛星在末級火箭脫落后的運動軌跡屬于以脫落時刻運動狀態為初始狀態的自由運動。）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣自由運動也即零輸入響應的122.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、形態自由運動軌跡的形態，由且僅由系統的矩陣指數函數唯一決定。不同的系統矩陣，導致不同形態的矩陣指數函數，從而導致不同形態的軌跡。這表明，矩陣指數函數即系統矩陣包含了自由運動形態的全部信息。4、趨向平衡狀態x=0屬性自由運動軌跡最終趨向于系統平衡狀態，當且僅當矩陣指數函數最終趨向于0；（漸近穩定）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、形態131）即2）即二、狀態轉移矩陣的基本性質2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣不發生時間推移下的不變性微分性和交換性1）即2）即二、狀態轉移矩陣的基本性質2.2矩陣指數函數—143）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當時，有2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣又稱組合性分解性6）倍時性3）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當15三、幾個特殊的矩陣指數函數（1）設，即A為對角陣且具有互異元素時，有2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣三、幾個特殊的矩陣指數函數（1）設16（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時，即2.2矩陣指數函數17則有

（3）設A為約當陣，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣則有（3）設A為約當陣，即2.218則有

（4）設A為約當陣，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣則有（4）設A為約當陣，即19四、狀態轉移矩陣的計算直接求解法：根據定義標準型法求解：對角線標準型和約當標準型拉氏反變換法待定系數法：凱萊－哈密頓定理2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣四、狀態轉移矩陣的計算直接求解法：根據定義2.2矩陣指數20求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1、根據狀態轉移矩陣的定義求解：對所有有限的t值來說，這個無窮級數都是收斂的。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1、根據狀態轉移矩陣212、標準型法求解：思路：根據狀態轉移矩陣性質：對A進行非奇異線性變換，得到：聯立上兩式，得到：有二種標準形式：對角線矩陣、約當矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2、標準型法求解：思路：根據狀態轉移矩陣性質：對A進行非奇異22其中：T為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A的特征值為兩兩相異時：對角線標準型求狀態轉移矩陣的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對應于的特征向量，并得到T陣及T的逆陣。3）代入上式即可得到狀態轉移矩陣的值。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣其中：T為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A23（2）當A具有n重特征根：約當標準型

其中：T為使A化為約當標準型的非奇異變換矩陣。求矩陣指數函數的步驟：此時的步驟和對角線標準型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣T。說明的是：對于所有重特征值，構造約當塊，并和非重特征值一起構成約當矩陣,根據狀態轉移矩陣的性質，求得。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）當A具有n重特征根：約當標準型其中：T為243、待定系數法：將化為A的有限項多項式來求解：設n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、待定系數法：將化為A的有限項多項式來求解：設n×n25由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結論：即：將此式代入的定義中：

其中：為t的標量函數，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-26（2）將化為A的有限項多項式來求解

根據C-H定理，可將化為A的有限項表達式，即封閉形式：

其中：為t的標量函數，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）將化為A的有限項多項式來求解根據C-H271）A的特征值兩兩相異時，注意求逆推導：利用了A可化為對角陣的矩陣指數函數求法。注意：推導時可以看到：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣1）A的特征值兩兩相異時，注意求逆推28注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導：此時只有一個方程：缺少n-1個獨立方程，故需要對上式求導n-1次，得到其余n-1個方程.說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。對于特征值互異，對于每個特征值，直接得到方程；對于特征值m重根，則求m-1次導數，補充缺少的m-1個方程，聯立方程可以求出系數。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導：此時只有一個方294、用拉氏變換法求解：關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進行拉氏反變換。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣4、用拉氏變換法求解：關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再30例：求以下矩陣A的狀態轉移矩陣[解]：1）直接算法（略）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣例：求以下矩陣A的狀態轉移矩陣[解]：2.2矩陣指數函數—312）用拉氏變換法求解：

2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2）用拉氏變換法求解：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩323）用標準型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標準型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3）用標準型法求解：得：332.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣34

4）用待定系數法求解.在第3種方法中已經求得特征根，所以得：求得矩陣指數函數如下：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣4）用待定系數法求解.在第3種方法中已經求得特征根，所以得35或者：由和得到：從而求出系數2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣或者：由和2.2矩陣36例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以2.237求系統狀態轉移矩陣。例線性定常系統齊次狀態方程為解用凱萊-哈定理計算A

的特征值為2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣于是求系統狀態轉移矩陣。例線性定常系統齊次狀態方程為解用凱萊38狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣39補充：矩陣A可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A的特征值為共軛復數經過線性變換，可轉換為模態矩陣M其中系統狀態轉移矩陣為2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣補充：矩陣A可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A40若線性定常系統的非奇次狀態方程的解存在，則解形式如下：一、線性系統的運動規律初始狀態引起的響應，零輸入響應輸入引起的響應,零狀態響應說明：與線性定常系統齊次狀態方程的解不同，齊次狀態方程的解僅由初始狀態引起的響應組成。2.3線性定常系統非齊次方程的解若線性定常系統的非奇次狀態方程一、線性系統的運動規律初始狀態41[證]：1）先把狀態方程寫成3）對上式在區間內進行積分，得:2）兩邊左乘，利用的性質2.3線性定常系統非齊次方程的解[證]：1）先把狀態方程42系統的運動包括兩個部分。第一部分是輸入向量為零時，初始狀態引起的，即相當于自由運動。第二部分是初始狀態為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由于第二部分的存在，為系統提供這樣的可能性，即通過選擇適當的輸入向量，使的形態滿足期望的要求。2.3線性定常系統非齊次方程的解系統的運動包括兩個部分。2.3線性定常43例線性定常系統的狀態方程為解在以前例子中已求得2.3線性定常系統非齊次方程的解例線性定常系統的狀態方程為解在以前例子中已求得2.3線性44系統的輸出方程為則或可見，系統的輸出由三部分組成。當系統狀態轉移矩陣求出后，不同輸入狀態向量作用下的系統輸出即可以求出，進而就可以分析系統的性能了。2.3線性定常系統非齊次方程的解系統的輸出方程為則或可見，系統的輸出由三部分組452.3線性定常系統非齊次方程的解解:2.3線性定常系統非齊次方程的解解:462.3線性定常系統非齊次方程的解2.3線性定常系統非齊次方程的解47二、特定輸入下的狀態響應1、脈沖響應2、階躍響應3、斜坡響應2.3線性定常系統非齊次方程的解二、特定輸入下的狀態響應1、脈沖響應2、階躍響應3、斜坡響應48線性時變系統方程為一、時變系統狀態方程解的特點2.4線性時變方程的解其解為注意：只有當上式才能成立。線性時變系統方程為一、時變系統狀態方程解的特點2.4線性時49齊次狀態方程初始狀態為其中，是狀態轉移矩陣，且滿足以下方程:滿足初始條件假設線性時變齊次系統的解具有以下形式，然后加以證明2.4線性時變方程的解二、線性時變齊次矩陣微分方程的解（1）齊次狀態方程初始狀態為其中，是狀態轉移矩陣，50證明（1）式兩邊對t求導并且時即2.4線性時變方程的解證明（1）式兩邊對t求導并且時即2.4511）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性2.4線性時變方程的解三、狀態轉移矩陣的基本性質3）傳遞性4）1）滿足自身的矩陣微分方程及初始52其解為或2.4線性時變方程的解四、線性時變系統非齊次狀態方程的解（證明見書73頁）其解為或2.4線性時變方程的解四、線性時變系統非齊次狀態方53因此，用級數近似法計算計算系統狀態轉移矩陣例線性時變系統齊次狀態方程為2.4線性時變方程的解五、狀態轉移矩陣的計算一般情況下：因此，用級數近似法計算計算系統狀態轉移矩陣例線性時變系統54解將代入計算公式其中：2.4線性時變方程的解解將代入計算公式其55或2.4線性時變方程的解六、系統的輸出或2.4線性時變方程的解六、系統的輸出56系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量采用迭代法可以求出系統齊次狀態方程的解其中系統的輸出2.5離散時間系統狀態方程的解1、線性定常離散系統齊次狀態方程的解系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量采用迭代法57若系統初始狀態為，通過將其轉移到狀態，故稱為狀態轉移矩陣。1）的基本性質(1)滿足自身的矩陣差分方程及初始條件(2)傳遞性(3)可逆性2.5離散時間系統狀態方程的解2、狀態轉移矩陣若系統初始狀態為，通過582）狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法：

①按定義計算；②用z反變換計算；③應用凱-哈定理計算；④通過線性變換計算。2.5離散時間系統狀態方程的解2）狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法59僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統：1、遞推法(迭代法)：適合于線性定常和時變系統；2、Z變換法：僅適合于線性定常系統。2.5離散時間系統狀態方程的解僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統：2.5離散時間60給定時的初始狀態x(0)，及任意時刻u(k)。狀態方程：一、遞推法由迭代法得：初始狀態引起的響應輸入引起的響應2.5離散時間系統狀態方程的解給定時的初始狀態x(0)，及任意時刻u(k)。611）解的表達式的狀態軌跡線是狀態空間中一條離散軌跡線。它與連續系統狀態的解很相似。解的第一部分只與系統的初始狀態有關，它是由起始狀態引起的自由運動分量。解的第二部分是由輸入的各次采樣信號引起的強迫分量，其值與控制作用u的大小、性質及系統的結構有關。幾點說明：

2.5離散時間系統狀態方程的解1）解的表達式的狀態軌跡線是狀態空間中一條離散軌跡線。它與連622）在輸入引起的響應中，第k個時刻的狀態只取決于所有此刻前的輸入采樣值，與第k個時刻的輸入采樣值無關。2.5離散時間系統狀態方程的解2）在輸入引起的響應中，第k個時刻的狀態只取決于所有此刻前的633）與連續時間系統對照，在離散時間系統中，狀態轉移矩陣定義為，有：利用狀態轉移矩陣，解可寫成：2.5離散時間系統狀態方程的解3）與連續時間系統對照，在離散時間系統中，利用狀態轉移矩陣，64離散系統的狀態方程：對上式兩邊進行Z變換：對上式兩邊進行Z反變換將上式和迭代法的結果比較二、Z變換法：

2.5離散時間系統狀態方程的解離散系統的狀態方程：對上式兩邊進行Z變換：對上式兩邊進行Z反65得：證明：2.5離散時間系統狀態方程的解得：證明：2.5離散時間系統狀態方程的解66求該離散系統在單位階躍輸入下狀態方程的解。[例]：式中：給定初始狀態為：已知定常離散時間系統的狀態方程為由于輸入為單位階躍函數，所以：[解]：1）迭代法2.5離散時間系統狀態方程的解求該離散系統在單位階躍輸入下狀態方程的解。[例]：式中：給672.5離散時間系統狀態方程的解2.5離散時間系統狀態方程的解68由于輸入為單位階躍函數，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換為：將G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z變換式有:2.5離散時間系統狀態方程的解由于輸入為單位階躍函數，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換69整理得：上式Z反變換有：2.5離散時間系統狀態方程的解整理得：上式Z反變換有：2.5離散時間系統狀態方程的解70

計算機所需要的輸入和輸出信號是數字式的，時間上是離散的；當采樣周期極短時，離散系統可近似地用連續系統特性來描述。一、問題的提出1、離散化的必要性2.6連續時間狀態空間表達式的離散化計算機所需要的輸入和輸出信號是數字式的，時間712、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*(t)轉為階梯信號u(t)采樣器：將連續信號r(t)調制成離散信號r*(t)。2.5離散時間系統狀態方程的解2.6連續時間狀態空間表達式的離散化2、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*72二、三點基本假設：1）離散方式是普通的周期性采樣。采樣是等間隔進行的，采樣周期為T；采樣脈沖寬度遠小于采樣周期，因而忽略不計；在采樣間隔內函數值為零值。2）采樣周期T的選擇滿足香農采樣定理。離散函數可以完滿地復原為連續函數的條件為或，其中為采樣頻率，為連續函數頻譜的上限頻率。3）保持器為零階保持器。2.6連續時間狀態空間表達式的離散化二、三點基本假設：1）離散方式是普通的周期性采樣。2.673三、連續時間系統的離散化模型離散化模型為：其中：線性定常系統：推導過程：直接從定常系統非齊次狀態方程的解中進行離散化設代入上式(1)中得到：2.6連續時間狀態空間表達式的離散化三、連續時間系統的離散化模型離散化模型為：其中：線性定常系74將這些結果代入（2）式，得到：2.6連續時間狀態空間表達式的離散化將這些結果代入（2）式，得到：2.6連續時間狀態空間表達式75[例]：請建立下列連續時間系統當采樣周期為T時的離散化模型。[解]：先求連續系統的狀態轉移矩陣：所以：2.6連續時間狀態空間表達式的離散化[例]：請建立下列連續時間系統當采樣周期為T時的離散化模型。76離散化方程的近似形式為：用差商代替微商其中：G(T)、H(T)、C、D為常矩陣：說明：采樣周期非常小時，這種近似的精度可以接受。推導過程：仿導數定義，即用四、近似離散化模型2.6連續時間狀態空間表達式的離散化離散化方程的近似形式為：用差商代替微商其中：G(T)、H(T77線性時變系統初始狀態為狀態方程的解為五、線性時變系統的離散化2.6連續時間狀態空間表達式的離散化線性時變系統初始狀態為狀態方程的解為五、線性時變系統的離散化78令，，則（1）（2）再令，，則將（2）式兩邊都左乘（3）2.6連續時間狀態空間表達式的離散化令，79（1）減（3）并且整理后，得到令：2.6連續時間狀態空間表達式的離散化（1）減（3）并且整理后，得到令：2.6連續時間狀態空間表80考慮到于是省略T，得到（4）輸出方程離散化，令，即可以得到（5）2.6連續時間狀態空間表達式的離散化考慮到于是省略T，得到（4）輸出方程離散化，令81用MATLAB求解系統方程1線性齊次狀態方程的解使用MATLAB可以方便地求出狀態方程的解。我們通過例子來說明。例已知線性系統齊次狀態方程為初始條件求系統狀態方程的解。解用以下MATLAB程序計算齊次狀態方程的解，其中collect()函數的作用是合并同類項，而ilaplace()函數的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數det()的作用是求方陣的行列式。用MATLAB求解系統方程1線性齊次狀態方程的解82程序執行結果這表示程序執行結果這表示832線性非齊次狀態方程的解例已知系統狀態方程為解用以下MATLAB程序求系統方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號變量phi0中的自變量t用(t-tao)代換就構成了符號變量phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變量F對tao在0到t的積分區間上求積分，運算結果返回到x2。2線性非齊次狀態方程的解例已知系統狀態方程為解84程序執行結果為這表示3連續系統狀態方程的離散化在MATLAB中，函數c2d（）的功能就是將連續時間的系統模型轉換成離散時間的系統模型。其調用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入參量sysc為連續時間的系統模型；T為采樣周期（秒）；method用來指定離散化采用的方法。‘zoh’——采用零階保持器；‘foh’——采用一階保持器；‘tustin’——采用雙線性逼近方法；‘prewarm’——采用改進的tustin方法；程序執行結果為這表示3連續系統狀態方程的離散化在MA85‘matched’——采用SISO系統的零極點匹配方法；當method為缺省時（即：調用格式為sysd=c2d(sysc,T)時），默認的方法是采用零階保持器。例某線性連續系統的狀態方程為其中采用零階保持器將其離散化，設采樣周期為0.1秒。求離散化的狀態方程模型。解輸入以下語句，其中D=zeros(2)表示，將D賦值為2×2維的全零矩陣。‘matched’——采用SISO系統的零極點匹配方法；例86語句執行的結果為計算結果表示系統離散化后的狀態方程為語句執行的結果為計算結果表示系統離散化后的狀態方程為87第2章控制系統狀態空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2.3線性定常系統非齊次方程的解2.4線性時變系統的解2.5離散時間系統狀態方程的解2.6連續時間狀態空間表達式的離散化第2章控制系統狀態空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態88本章要求要求理解及掌握內容：正確理解連續時間狀態空間表達式的離散化。線性定常系統狀態方程的求解方法要求了解內容：線性離散系統及時變系統狀態方程的求解方法。重點：

狀態轉移矩陣和狀態方程的求解。本章要求89

本章通過求解系統方程的解來研究系統性能。由于系統的狀態方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數方程。因此，只要求出狀態方程的解，就很容易地得到系統的輸出，進而研究系統的性能。本章通過求解系統方程的解來研究系統性能。901）、自由運動：線性定常系統在沒有控制作用，即u＝0時，由初始狀態引起的運動稱自由運動。齊次狀態方程的解：2）、強迫運動：線性定常系統在控制u作用下的運動，稱為強迫運動。非齊次狀態方程的解：2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）1、線性定常系統的運動1）、自由運動：線性定常系統在沒有控制作用，即u＝0時，由初912、齊次狀態方程：滿足初始狀態的解是：滿足初始狀態的解是：2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）2、齊次狀態方程：滿足初始狀態的92線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程的冪級數解法假設其解為一冪級數（3）將（3）式代入（2）式這時系統的輸入為零2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程93等式兩邊t的同次冪的系數相等，因此有而因為則解為（4）模仿標量齊次微分方程的解法，假設線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）等式兩邊t的同次冪的系數相等，因此有而因為則解為（4）模仿94等式兩邊t同次冪的系數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（6）則（7）2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）等式兩邊t同次冪的系數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次95如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數又稱為狀態轉移矩陣，記作由于系統沒有輸入向量，是由初始狀態激勵的。因此，這時的運動稱為自由運動。的形態由決定，即是由矩陣A

唯一決定的。2.1線性定常齊次狀態方程的解（自由解）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數96一、狀態轉移矩陣線性定常系統的齊次狀態方程：滿足初始狀態的解是：滿足初始狀態的解是：已知：線性定常系統的狀態轉移矩陣令：則有：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣一、狀態轉移矩陣線性定常系統的齊次狀態方程：滿足初始狀態97說明1：狀態轉移矩陣必須滿足以下兩個條件：1）狀態轉移矩陣初始條件：2）狀態轉移矩陣滿足狀態方程本身：說明2：對于線性定常系統來說，狀態轉移矩陣就是矩陣指數函數本身。說明3：狀態轉移矩陣的物理意義：從時間角度看，狀態轉移矩陣使狀態向量隨著時間的推移不斷作坐標變換，不斷在狀態空間中作轉移，故稱為狀態轉移矩陣。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣說明1：狀態轉移矩陣必須滿足以下兩個條件：1）狀態轉移矩陣初982.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣自由運動也即零輸入響應的屬性：1、幾何表征為狀態空間中由初始狀態點出發和由各個時刻變換點構成的一條軌跡；2、運動屬性狀態隨著時間演化軌跡，屬于由偏離系統平衡狀態的初始狀態引起的自由運動；（典型例子：人造衛星在末級火箭脫落后的運動軌跡屬于以脫落時刻運動狀態為初始狀態的自由運動。）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣自由運動也即零輸入響應的992.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、形態自由運動軌跡的形態，由且僅由系統的矩陣指數函數唯一決定。不同的系統矩陣，導致不同形態的矩陣指數函數，從而導致不同形態的軌跡。這表明，矩陣指數函數即系統矩陣包含了自由運動形態的全部信息。4、趨向平衡狀態x=0屬性自由運動軌跡最終趨向于系統平衡狀態，當且僅當矩陣指數函數最終趨向于0；（漸近穩定）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、形態1001）即2）即二、狀態轉移矩陣的基本性質2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣不發生時間推移下的不變性微分性和交換性1）即2）即二、狀態轉移矩陣的基本性質2.2矩陣指數函數—1013）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當時，有2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣又稱組合性分解性6）倍時性3）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當102三、幾個特殊的矩陣指數函數（1）設，即A為對角陣且具有互異元素時，有2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣三、幾個特殊的矩陣指數函數（1）設103（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時，即2.2矩陣指數函數104則有

（3）設A為約當陣，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣則有（3）設A為約當陣，即2.2105則有

（4）設A為約當陣，即2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣則有（4）設A為約當陣，即106四、狀態轉移矩陣的計算直接求解法：根據定義標準型法求解：對角線標準型和約當標準型拉氏反變換法待定系數法：凱萊－哈密頓定理2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣四、狀態轉移矩陣的計算直接求解法：根據定義2.2矩陣指數107求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1、根據狀態轉移矩陣的定義求解：對所有有限的t值來說，這個無窮級數都是收斂的。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1、根據狀態轉移矩陣1082、標準型法求解：思路：根據狀態轉移矩陣性質：對A進行非奇異線性變換，得到：聯立上兩式，得到：有二種標準形式：對角線矩陣、約當矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2、標準型法求解：思路：根據狀態轉移矩陣性質：對A進行非奇異109其中：T為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A的特征值為兩兩相異時：對角線標準型求狀態轉移矩陣的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對應于的特征向量，并得到T陣及T的逆陣。3）代入上式即可得到狀態轉移矩陣的值。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣其中：T為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A110（2）當A具有n重特征根：約當標準型

其中：T為使A化為約當標準型的非奇異變換矩陣。求矩陣指數函數的步驟：此時的步驟和對角線標準型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣T。說明的是：對于所有重特征值，構造約當塊，并和非重特征值一起構成約當矩陣,根據狀態轉移矩陣的性質，求得。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）當A具有n重特征根：約當標準型其中：T為1113、待定系數法：將化為A的有限項多項式來求解：設n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3、待定系數法：將化為A的有限項多項式來求解：設n×n112由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結論：即：將此式代入的定義中：

其中：為t的標量函數，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-113（2）將化為A的有限項多項式來求解

根據C-H定理，可將化為A的有限項表達式，即封閉形式：

其中：為t的標量函數，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣（2）將化為A的有限項多項式來求解根據C-H1141）A的特征值兩兩相異時，注意求逆推導：利用了A可化為對角陣的矩陣指數函數求法。注意：推導時可以看到：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣1）A的特征值兩兩相異時，注意求逆推115注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導：此時只有一個方程：缺少n-1個獨立方程，故需要對上式求導n-1次，得到其余n-1個方程.說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。對于特征值互異，對于每個特征值，直接得到方程；對于特征值m重根，則求m-1次導數，補充缺少的m-1個方程，聯立方程可以求出系數。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導：此時只有一個方1164、用拉氏變換法求解：關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進行拉氏反變換。2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣4、用拉氏變換法求解：關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再117例：求以下矩陣A的狀態轉移矩陣[解]：1）直接算法（略）2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣例：求以下矩陣A的狀態轉移矩陣[解]：2.2矩陣指數函數—1182）用拉氏變換法求解：

2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2）用拉氏變換法求解：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩1193）用標準型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標準型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣3）用標準型法求解：得：1202.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣121

4）用待定系數法求解.在第3種方法中已經求得特征根，所以得：求得矩陣指數函數如下：2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣4）用待定系數法求解.在第3種方法中已經求得特征根，所以得122或者：由和得到：從而求出系數2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣或者：由和2.2矩陣123例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以2.2124求系統狀態轉移矩陣。例線性定常系統齊次狀態方程為解用凱萊-哈定理計算A

的特征值為2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣于是求系統狀態轉移矩陣。例線性定常系統齊次狀態方程為解用凱萊125狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣126補充：矩陣A可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A的特征值為共軛復數經過線性變換，可轉換為模態矩陣M其中系統狀態轉移矩陣為2.2矩陣指數函數——狀態轉移矩陣補充：矩陣A可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A127若線性定常系統的非奇次狀態方程的解存在，則解形式如下：一、線性系統的運動規律初始狀態引起的響應，零輸入響應輸入引起的響應,零狀態響應說明：與線性定常系統齊次狀態方程的解不同，齊次狀態方程的解僅由初始狀態引起的響應組成。2.3線性定常系統非齊次方程的解若線性定常系統的非奇次狀態方程一、線性系統的運動規律初始狀態128[證]：1）先把狀態方程寫成3）對上式在區間內進行積分，得:2）兩邊左乘，利用的性質2.3線性定常系統非齊次方程的解[證]：1）先把狀態方程129系統的運動包括兩個部分。第一部分是輸入向量為零時，初始狀態引起的，即相當于自由運動。第二部分是初始狀態為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由于第二部分的存在，為系統提供這樣的可能性，即通過選擇適當的輸入向量，使的形態滿足期望的要求。2.3線性定常系統非齊次方程的解系統的運動包括兩個部分。2.3線性定常130例線性定常系統的狀態方程為解在以前例子中已求得2.3線性定常系統非齊次方程的解例線性定常系統的狀態方程為解在以前例子中已求得2.3線性131系統的輸出方程為則或可見，系統的輸出由三部分組成。當系統狀態轉移矩陣求出后，不同輸入狀態向量作用下的系統輸出即可以求出，進而就可以分析系統的性能了。2.3線性定常系統非齊次方程的解系統的輸出方程為則或可見，系統的輸出由三部分組1322.3線性定常系統非齊次方程的解解:2.3線性定常系統非齊次方程的解解:1332.3線性定常系統非齊次方程的解2.3線性定常系統非齊次方程的解134二、特定輸入下的狀態響應1、脈沖響應2、階躍響應3、斜坡響應2.3線性定常系統非齊次方程的解二、特定輸入下的狀態響應1、脈沖響應2、階躍響應3、斜坡響應135線性時變系統方程為一、時變系統狀態方程解的特點2.4線性時變方程的解其解為注意：只有當上式才能成立。線性時變系統方程為一、時變系統狀態方程解的特點2.4線性時136齊次狀態方程初始狀態為其中，是狀態轉移矩陣，且滿足以下方程:滿足初始條件假設線性時變齊次系統的解具有以下形式，然后加以證明2.4線性時變方程的解二、線性時變齊次矩陣微分方程的解（1）齊次狀態方程初始狀態為其中，是狀態轉移矩陣，137證明（1）式兩邊對t求導并且時即2.4線性時變方程的解證明（1）式兩邊對t求導并且時即2.41381）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性2.4線性時變方程的解三、狀態轉移矩陣的基本性質3）傳遞性4）1）滿足自身的矩陣微分方程及初始139其解為或2.4線性時變方程的解四、線性時變系統非齊次狀態方程的解（證明見書73頁）其解為或2.4線性時變方程的解四、線性時變系統非齊次狀態方140因此，用級數近似法計算計算系統狀態轉移矩陣例線性時變系統齊次狀態方程為2.4線性時變方程的解五、狀態轉移矩陣的計算一般情況下：因此，用級數近似法計算計算系統狀態轉移矩陣例線性時變系統141解將代入計算公式其中：2.4線性時變方程的解解將代入計算公式其142或2.4線性時變方程的解六、系統的輸出或2.4線性時變方程的解六、系統的輸出143系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量采用迭代法可以求出系統齊次狀態方程的解其中系統的輸出2.5離散時間系統狀態方程的解1、線性定常離散系統齊次狀態方程的解系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量采用迭代法144若系統初始狀態為，通過將其轉移到狀態，故稱為狀態轉移矩陣。1）的基本性質(1)滿足自身的矩陣差分方程及初始條件(2)傳遞性(3)可逆性2.5離散時間系統狀態方程的解2、狀態轉移矩陣若系統初始狀態為，通過1452）狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法：

①按定義計算；②用z反變換計算；③應用凱-哈定理計算；④通過線性變換計算。2.5離散時間系統狀態方程的解2）狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法146僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統：1、遞推法(迭代法)：適合于線性定常和時變系統；2、Z變換法：僅適合于線性定常系統。2.5離散時間系統狀態方程的解僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統：2.5離散時間147給定時的初始狀態x(0)，及任意時刻u(k)。狀態方程：一、遞推法由迭代法得：初始狀態引起的響應輸入引起的響應2.5離散時間系統狀態方程的解給定時的初始狀態x(0)，及任意時刻u(k)。1481）解的表達式的狀態軌跡線是狀態空間中一條離散軌跡線。它與連續系統狀態的解很相似。解的第一部分只與系統的初始狀態有關，它是由起始狀態引起的自由運動分量。解的第二部分是由輸入的各次采樣信號引起的強迫分量，其值與控制作用u的大小、性質及系統的結構有關。幾點說明：

2.5離散時間系統狀態方程的解1）解的表達式的狀態軌跡線是狀態空間中一條離散軌跡線。它與連1492）在輸入引起的響應中，第k個時刻的狀態只取決于所有此刻前的輸入采樣值，與第k個時刻的輸入采樣值無關。2.5離散時間系統狀態方程的解2）在輸入引起的響應中，第k個時刻的狀態只取決于所有此刻前的1503）與連續時間系統對照，在離散時間系統中，狀態轉移矩陣定義為，有：利用狀態轉移矩陣，解可寫成：2.5離散時間系統狀態方程的解3）與連續時間系統對照，在離散時間系統中，利用狀態轉移矩陣，151離散系統的狀態方程：對上式兩邊進行Z變換：對上式兩邊進行Z反變換將上式和迭代法的結果比較二、Z變換法：

2.5離散時間系統狀態方程的解離散系統的狀態方程：對上式兩邊進行Z變換：對上式兩邊進行Z反152得：證明：2.5離散時間系統狀態方程的解得：證明：2.5離散時間系統狀態方程的解153求該離散系統在單位階躍輸入下狀態方程的解。[例]：式中：給定初始狀態為：已知定常離散時間系統的狀態方程為由于輸入為單位階躍函數，所以：[解]：1）迭代法2.5離散時間系統狀態方程的解求該離散系統在單位階躍輸入下狀態方程的解。[例]：式中：給1542.5離散時間系統狀態方程的解2.5離散時間系統狀態方程的解155由于輸入為單位階躍函數，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換為：將G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z變換式有:2.5離散時間系統狀態方程的解由于輸入為單位階躍函數，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換156整理得：上式Z反變換有：2.5離散時間系統狀態方程的解整理得：上式Z反變換有：2.5離散時間系統狀態方程的解157

計算機所需要的輸入和輸出信號是數字式的，時間上是離散的；當采樣周期極短時，離散系統可近似地用連續系統特性來描述。一、問題的提出1、離散化的必要性2.6連續時間狀態空間表達式的離散化計算機所需要的輸入和輸出信號是數字式的，時間1582、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*(t)轉為階梯信號u(t)采樣器：將連續信號r(t)調制成離散信號r*(t)。2.5離散時間系統狀態方程的解2.6連續時間狀態空間表達式的離散化2、離散