2021年江蘇省揚州市北洲中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線x=2ay2的準線方程是x=1，則a的值是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】首先把拋物線方程轉化為標準方程的形式，再根據(jù)其準線方程即可求之．【解答】解：拋物線x=2ay2的標準方程是y2=x，則其準線方程為x=﹣=1，所以a=﹣，故選：A．【點評】本題考查拋物線在標準方程下的準線方程形式，考查拋物線標準方程中的參數(shù)，屬于基礎題．2.如果執(zhí)行右面的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.某校從高中1200名學生中抽取50名學生進行問卷調查，如果采用系統(tǒng)抽樣的方法，將這1200名學生從1開始進行編號，已知被抽取到的號碼有15，則下列號碼中被抽取到的還有（）A.255 B.125 C.75 D.35參考答案：A分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義求出樣本間隔，然后進行計算即可．【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣得樣本間隔為，已知被抽取到的號碼有15，則其他抽取的號碼為，則當時，號碼為.故選：A．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應用，根據(jù)條件求出樣本間隔是解決本題的關鍵．4.一個物體的位移s關于時間t的運動方程為s=1－t+t2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在t=3s時的瞬時速度是A.5m／s B.6m／s C.7m／s D.8m／s參考答案：A【分析】由位移關于時間的運動方程為，則，代入，即可求解．【詳解】由題意，位移關于時間的運動方程為，則，當時，，故選A．【點睛】本題主要考查了瞬時變化率的計算，其中解答中熟記瞬時變化率的計算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．5.集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則a∈M是a∈N的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用集合的包含關系，判斷出集合M與N的關系，利用N是M的真子集，判斷兩者的關系．【解答】解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，∴N?M∴“a∈M”是“a∈N”必要不充分條件．故選B6.曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略5.某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是()A．15km

B．30km

C．km

D．km參考答案：C8.對任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，則正實數(shù)a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e參考答案：A【考點】函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)求參數(shù)的范圍．【分析】通過參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問題轉化為2lna≤在x＞0時恒成立，記g（x）=，二次求導并結合單調性可知當x=4時g（x）取得最小值g（4）=1，進而計算即得結論．【解答】解：設f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（當且僅當ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0時，取等號），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0時恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又∵h（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根為4，∴當x＞4時g（x）遞增，當0＜x＜4時g（x）遞減，∴當x=4時，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（當x=2，y=0時，a取得最大值），故選A．【點評】本題考查不等式恒成立問題注意轉化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構造函數(shù)運用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題．9.點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方向向量為s＝(1，－1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標是()A．(0,0，±2) B．(0,0，±3)C．(0,0，±) D．(0,0，±1)

參考答案：B10.三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，則該球的體積為（）A．16π B．32π C．48π D．64π參考答案：B【考點】球內接多面體．【分析】由題意把A、B、C、P擴展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，然后求出球的體積．【解答】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、P擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的體積為：（2）3=32π．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三個數(shù)72，120，168的最大公約數(shù)是_______。參考答案：2412.已知定義在上的奇函數(shù)，當時有，則當時

.參考答案：13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，則不等式的解集是

▲

．參考答案：略14.下列各數(shù)210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的數(shù)是．參考答案：111111（2）【考點】進位制．【分析】將四個答案中的數(shù)都轉化為十進制的數(shù)，進而可以比較其大小．【解答】解：210（6）=2×62+1×6=78，1000（4）=1×43=64，111111（2）=1×26﹣1=63，故最小的數(shù)是111111（2）故答案為：111111（2）．15.下列四個命題中，假命題的序號有

寫出所有真命題的序號）①若則“”是“”成立的充分不必要條件；②當時，函數(shù)的最小值為2；③若函數(shù)f(x+1)定義域為[-2,3),則的定義域為；④將函數(shù)y=cos2x的圖像向右平移個單位，得到y(tǒng)=cos(2x-)的圖像.⑤若，向量與向量的夾角為，則在向量上的投影為1參考答案：①②④⑤略16.計算：

參考答案：17.直線的傾斜角大小為

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（x+1）2﹣alnx．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內任取兩個不相等的實數(shù)x1，x2，不等式恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，導函數(shù)，①當a≤0時，②當a＞0時，判斷導函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調性．（Ⅱ）不妨令x1＞x2，則x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），則x+1∈（1，+∞），不等式，推出f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1），設函數(shù)g（x）=f（x）﹣x，利用函數(shù)的導數(shù)利用函數(shù)的單調性與最值求解即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為x＞0，，…①當a≤0時，f'（x）＞0在x＞0上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…②當a＞0時，方程2x2+2x﹣a=0有一正根一負根，在（0，+∞）上的根為，所以函數(shù)f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，當a＞0時，函數(shù)f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．…（Ⅱ）不妨令x1＞x2，則x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），則x+1∈（1，+∞），由f（x1+1）﹣f（x2+1）＞（x1+1）﹣（x2+1）?f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1）…設函數(shù)g（x）=f（x）﹣x，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函數(shù)，所以，…又函數(shù)g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函數(shù)，只要在（1，+∞）上2x2+x≥a恒成立，y=2x2+x，在（1，+∞）上y＞3，所以a≤3．…19.如圖，橢圓的右焦點F2與拋物線y2＝4x的焦點重合，過F2且與x軸垂直的直線與橢圓交于S、T，與拋物線交于C、D兩點，且|CD|＝|ST|．(1)求橢圓的標準方程；(2)設P為橢圓上一點，若過點M(2，0)的直線l與橢圓交于不同兩點A和B，且滿足(O為坐標原點)，求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：綜合知t的范圍為(－2，2)………………12分20.某校高二年級有1200人，從中抽取100名學生，對其期中考試語文成績進行統(tǒng)計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（Ⅰ）求圖中a的值并估計語文成績的眾數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校這1200名學生中成績在60分（含60分）以上的人數(shù)．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列出方程求出a的值；再由分布圖中最高的小矩形底邊中點求出眾數(shù)是多少；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，計算這100名學生語文成績的平均分即可；（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，計算學生成績在60（分）（含60分）以上的頻率與頻數(shù)即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)頻率和等于1，得（2a+0.04+0.03+0.02）×10=1，解得a=0.005；又頻率分布直方圖中最高的小矩形底邊的中點為=65，所以眾數(shù)為65；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分為=0.05×55+0.4×65+0.3×75+0.2×85+0.05×95=73；（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，計算學生成績在60（分）（含60分）以上的頻率為1﹣0.05=0.95，所以估計該校1200名學生中成績在60（分）（含60分）以上的人數(shù)為1200×0.95=1140．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了平均數(shù)、眾數(shù)的計算問題，是基礎題目．21.已知點在拋物線上，為焦點，且．（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，求的值.參考答案：（1）拋物線，焦點.由拋物線定義得：解得，拋物線的方程為．（2）（i）①當?shù)男甭什淮嬖跁r，則②當?shù)男甭蚀嬖跁r，設由，可得，設，則.22.（1）設二次函數(shù)f（x）的圖象與y軸交于（0，﹣3），與x軸交于（3，0）和（﹣1，0），求函數(shù)f（x）的解析式（2）若f（x+1）=3x﹣5求函數(shù)f（x）的解析式（3）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（1+x），求函數(shù)的解析式．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由題意，f（x）是二次函數(shù)，設f（x）=ax2+bx+c，圖象與y軸交于（0，﹣3），與x軸交于（3，0）和（﹣1，0），求解a，b，c的值，可得f（x）的解析式．（2）利用換元法求解函數(shù)f（x）的解析式（3）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（1+x），即可求x＜0時的解析式．【解答】解：由題意，f（x）是二次函數(shù)，設f（x）=ax2+bx+c，∵圖象與y軸交于（0，﹣3），