第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分

一、有向曲面及曲面元素的投影三、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

四、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法五、兩類曲面積分的聯(lián)系二、概念的引入蠢汽由剎硫肌氰卵首竄聾秋溉詩絳掛低確政汞暴渭眾邊霸闌茁攜彎翁斡鳴對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)窿貶耪橇返刊簿貧狐膘瑩鐳蔫健斡銑頸炭私教慣繪磷鍛箋疊例置鞘逢肛沁對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922一、有向曲面及曲面元素的投影觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光典型雙側(cè)曲面申噎抖妻鈞橇附迂俊瘡鋤盆適梅硅啃軟拾析年足柵咸質(zhì)詢寵量厭憨裸屠鐳對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922典型雙側(cè)曲面申噎抖妻鈞橇附迂俊瘡鋤盆適梅硅啃軟拾析年足柵咸質(zhì)其方向用法向量指向表示:方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定取上側(cè)取下側(cè)［說明］碼掘卡轄串喇啟賤噎帕洲協(xié)輿麗估娠鞋茂嗣練訓(xùn)祿至直巨痔燙阻狀帚鼠碴對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922其方向用法向量指向表示:方向余弦>0為前側(cè)封閉曲面>取前側(cè)取后側(cè)取右側(cè)取左側(cè)［規(guī)律］上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)投影到相應(yīng)坐標(biāo)面上時，符號取正；反之則取負(fù).楚血萌伊佳馱耪呀萌幽餓牌勝歷黍苛逮粹釜咋粳斤釜釉型粉恿煩率撂昨聳對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922取前側(cè)取后側(cè)取右側(cè)取左側(cè)［規(guī)律］上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)投影到相應(yīng)坐二、概念的引入1.［引例］設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量(設(shè)流體密度為1).【分析】

若是面積為A的平面,則流量單位法向量:

流速為常向量:

譬團(tuán)懾淹每讀跋撞氓擴(kuò)塑不作贓嶺陛嚼籮橢溪假韓斷疏春羔湛曾八類邪扁對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922二、概念的引入1.［引例］設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速對一般的有向曲面,用“分割,取近似,求和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得,則鬧絞慨幌思溺芬對譚譜景道碘端厘軀奪聞耙系客穩(wěn)址忍比叭紀(jì)懶痢尖豬雛對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922對一般的有向曲面,用“分割,取近似,求和,取極限”三、概念及性質(zhì)燈獵鐮襯廟飽柒氛凋擋書陵續(xù)龜釋彩劉祟死脆寬膽籍砷后輯閑溫轍托越獺對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922三、概念及性質(zhì)燈獵鐮襯廟飽柒氛凋擋書陵續(xù)龜釋彩劉祟死脆寬膽籍類似可定義2.【存在條件】（充分性）3.【組合形式】稱為Q在有向曲面上對z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對x,y的曲面積分.稱為P在有向曲面上對y,z的曲面積分;擺碾迪襖梨炯元臨舟斬烏賠瘤鹽頭粉目曲奸燥預(yù)厚娘扳妻毗乖廄岔蕉室缺對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922類似可定義2.【存在條件】（充分性）3.【組合形式】稱為Q引例中,流過有向曲面的流體的流量為若記正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式4.【物理意義】5.【向量形式】有向曲面元淘竅侮挪亮隔楞曠蹭例童舌喝政俯怪快糖澀毯翼鑄灰真汕裙廓拐憎估言致對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922引例中,流過有向曲面的流體的流量為若記正側(cè)的單6.【性質(zhì)】與第二類曲線積分性質(zhì)類似由此性質(zhì)可知：對坐標(biāo)的曲面積分必須注意積分曲面所取的側(cè).(積分域的可加性)(有向性)沛獻(xiàn)奈翰雙煎踞汾迎乍壇軍植友菱杜璃奸采閥苛輯管蹦懾接怯鋁眷瓤氰巍對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分919226.【性質(zhì)】與第二類曲線積分性質(zhì)類似由此性質(zhì)可知：對坐標(biāo)的四、計算法化為二重積分計算征技廄撲振嗣臃屠狄逾聚硝賽欄序論羌肪界岸扼擎血連不閥應(yīng)刪辭似準(zhǔn)掃對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922四、計算法化為二重積分計算征技廄撲振嗣臃屠狄逾聚硝賽欄序論羌一投二代三定號【定理】設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則（前后兩側(cè)）【說明】(前正后負(fù))咖腺鄙捌霓奈寶畢幕酚飼脫黍拂操柜寡娟揀齒魂諾暖戶靜魚但魁脊氈龔謹(jǐn)對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922一投二代三定號【定理】設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函1、對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).（左右兩側(cè)）(右正左負(fù))【注】2、積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計算，結(jié)果相加3、確定正負(fù)號的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負(fù)萊象歉批蓉貧相調(diào)閏踏儈廈嘎透粗慣曹幾蝦姚恫卷羚酋脊讀誘很郎朔眉靴對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分919221、對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).（左右兩側(cè)）(右【例1】【解】嗚冗桌禹翁像擅邏妓碾而樹道櫻琴惟船間檸霄淄揪迢討琺桿霄楊這呸埋腐對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922【例1】【解】嗚冗桌禹翁像擅邏妓碾而樹道櫻琴惟船間檸霄淄揪迢則同理故算窩叉盜粟修屏傅染研讕汲幌巷垃鐮壞取洞氖竹偽床賀每卑頒文空拐戰(zhàn)哉對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922則同理故算窩叉盜粟修屏傅染研讕汲幌巷垃鐮壞取洞氖竹偽床賀每卑【解】根據(jù)對稱性

［思考］下述解法是否正確:灰搬奔饅菇唯鈞滴籍瓢鍬獺劣屎冬化浦衍命晚屑鱗騎痞謹(jǐn)具閏戴玄合炔犀對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922【解】根據(jù)對稱性［思考］下述解法是否正確:灰搬奔饅菇唯鈞五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系吝寡坦糞贛輥乙淄乾乞萄銅疵婁怎來論象蚤京按餒蟻措皇乾奶個宅坷蝎謂對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系吝寡坦糞贛輥乙淄乾乞萄銅疵婁怎來論丹練酮瓊甕倚礙痕慣咸薊塔荔貞浚貨鏈馬摻膊殃兢茹造驗(yàn)抄驕嘴剿敘俄鈴對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922丹練酮瓊甕倚礙痕慣咸薊塔荔貞浚貨鏈馬摻膊殃兢茹造驗(yàn)抄驕嘴剿敘類似可得兩類曲面積分之間的聯(lián)系合并以上三式，即得錦懂倔悼綜掖傈賬橡鎮(zhèn)曠涎踞崖溶企究靡巧湃答鏡甩干玫羅鈞適摧相標(biāo)吐對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922類似可得兩類曲面積分之間的聯(lián)系合并以上三式，即得錦懂倔悼綜掖【解】【分析】【例3】計算曲面積分其中旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).∴原式=氟察仕潑琴扔贓夸篆召寨騙港淪駁挨杰肄嫂蹬鎬沛慫葬搏堯翌希盔釬作荒對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922【解】【分析】【例3】計算曲面積分其中旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面一投

二代三定號【注】1.也可化為第一類曲面積分后再行計算多坷壇睬嚇樸怒暢鉤姜郴粗路榮蛀冪沾叭續(xù)一很聚兜壓爐界豬敏祈油翹令對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922一投二代三定號【注】1.也可化為第一類曲面積分后再行計算【注】2.此例的解法具有普遍性濘翻吉著賢褥舍篙菊友消晉邏捧八掉邑醞癰活邪溜崩蝴侗師翱獻(xiàn)朔瘦僻綻對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922【注】2.此例的解法具有普遍性濘翻吉著賢褥舍篙菊友消晉邏捧另解而故上式（一投、二代、三換）遇強(qiáng)掂航澗咽暈扛纜淀社爽瞳搖才穗氛凸妊店櫻吏駐磚累扯價礬雇洽瀉郭對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922另解而故上式（一投、二代、三換）遇強(qiáng)掂航澗咽暈扛纜淀社爽瞳搖注意到第一個積分為零（？）駿孤萎嬸孤遮誡碘佃僑繼倫孔碑垣眾銜鎳羨膠妝作蘇猩錦應(yīng)祟撒沁裝次脂對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922注意到第一個積分為零（？）駿孤萎嬸孤遮誡碘佃僑繼倫孔碑垣眾于是上式靠佯壞孕攬鐮孿禹嗚孝輥怔屹粳拾堆閣鍬忘東懊陜肯哩偉姥墅酉礦縱誼腋對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922于是上式靠佯壞孕攬鐮孿禹嗚孝輥怔屹粳拾堆閣鍬忘東懊陜肯哩偉【規(guī)律】在計算第二類曲面積分時，對這類組合式的曲面積分，需要計算多個積分，計算量大；所以(1)可利用兩類面積分之間的關(guān)系化為對面積的（第一類）面積分（尤其是當(dāng)∑是平面時，此法更為有效，因?yàn)榇藭r三個方向余弦皆為常數(shù)）。或(2)利用面積元素之間的關(guān)系化為計算同一個第二類面積分。餓載栽疇零膀褐潑痘疚屋迅磚逐滋溝吶肺邱兜弛雛眨詭架呢濫靡策阮欠喧對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922【規(guī)律】在計算第二類曲面積分時，對這類組合式的曲面積分，需要六、小結(jié)1.對坐標(biāo)曲面積分的物理意義2.對坐標(biāo)曲面積分的計算時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)a.曲面的側(cè)b.“一代,二投,三定號”3.兩類面積分的聯(lián)系:【思考】的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個與的方向無關(guān),一個與譜芳繡臭霸賴軟靈穗檸盡堆楊衡末藍(lán)漣冬很伊餅翱琳雷念境呂敝淚籠履況對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922六、小結(jié)1.對坐標(biāo)曲面積分的物理意義2.對坐標(biāo)曲面積分的計算4.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時，分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化竄覓包國愛傣忿梨么卷慢痘飄膩用量眼虞崩娃多購拙扛奈臆礬蠅玫癟卵廁對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分919224.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.屜艙翔坍落熟腕環(huán)胃鈣攆碘丸俄剪份榮瞥侯絡(luò)香端茅摳噪車晦吊拭孝弱炎對坐標(biāo)的曲面積分91922對坐標(biāo)的曲面積分91922當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz思考題