生活中的圓周運動(25分鐘50分)一、選擇題(本題共6小題，每小題6分，共36分)1．在冬奧會項目中，運動員繞周長僅為111米的短道競賽。運動員比賽過程中在通過彎道時如果不能很好地控制速度，將發生側滑而摔離正常比賽路線。圖中圓弧虛線Ob代表彎道，即正常運動路線，Oa為運動員在O點時的速度方向(研究時可將運動員看成質點)，Oa、Ob把運動員的前方分成Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三個區域，下列論述正確的是()A．發生側滑是因為運動員受到的合力方向背離圓心B．發生側滑是因為運動員受到的合力大于所需要的向心力C．運動員若在O點發生側滑，則滑向Ⅱ區域D．運動員若在O點發生側滑，則滑向Ⅲ區域【解析】選C。發生側滑是因為運動員所受合力小于運動員所需的向心力，故A、B錯誤；因為運動員所受合力小于所需向心力，所以運動員做離心運動，將向圓弧的外側滑動，但其合力由于仍指向彎道內側，則向圓弧一側略有偏轉，故滑動方向在Ⅱ區域，故C正確，D錯誤。2.如圖所示，質量相等的汽車甲和汽車乙，以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運動，汽車甲在汽車乙的外側，兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙。以下說法正確的是()A．f甲<f乙B．f甲＝f乙C．f甲>f乙D．f甲和f乙的大小均與汽車速率無關【解析】選A。汽車在水平面內做勻速圓周運動，摩擦力提供做勻速圓周運動的向心力，即f＝F向＝meq\f(v2,r)，由于r甲＞r乙，則f甲＜f乙，選項A正確。【補償訓練】汽車在水平地面上轉彎時，地面的摩擦力已達到最大，當汽車速率增為原來的2倍時，若要不發生險情，則汽車轉彎的軌道半徑必須()A．減為原來的eq\f(1,2)B．減為原來的eq\f(1,4)C．增為原來的2倍D．增為原來的4倍【解析】選D。汽車在水平路面上轉彎，向心力由靜摩擦力提供。設汽車質量為m，汽車與路面的動摩擦因數為μ，汽車的轉彎半徑為r，則μmg＝meq\f(v2,r)，故r∝v2，故速率增大為原來的2倍時，轉彎半徑應增大到原來的4倍才能保證不發生險情，故D項正確。3．火車在某個彎道按規定運行速度40m/s轉彎時，內、外軌對車輪皆無側壓力。若火車在該彎道實際運行速度為30m/s，則下列說法中正確的是()A．僅內軌對車輪有側壓力B．僅外軌對車輪有側壓力C．內、外軌對車輪都有側壓力D．內、外軌對車輪均無側壓力【解析】選A。火車在彎道按規定運行速度轉彎時，重力和支持力的合力提供向心力，內、外軌對車輪皆無側壓力。若火車的運行速度小于規定運行速度時，重力和支持力的合力大于火車轉彎需要的向心力，火車有做近心運動的趨勢，內軌對車輪產生側壓力，重力、支持力和內軌的側壓力的合力提供火車做圓周運動的向心力，故A正確。4．城市中為了解決交通問題，修建了許多立交橋。如圖所示，橋面是半徑為R的圓弧形的立交橋AB橫跨在水平路面上，一輛質量為m的小汽車，從A端沖上該立交橋，小汽車到達橋頂時的速度大小為v1，重力加速度為g，若小汽車在上橋過程中保持速率不變，則()A．小汽車通過橋頂時處于失重狀態B．小汽車通過橋頂時處于超重狀態C．小汽車在上橋過程中受到橋面的支持力大小為FN＝mg－meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)D．小汽車到達橋頂時的速度必須大于eq\r(gR)【解析】選A。由圓周運動知識知，小汽車通過橋頂時，其加速度方向向下，由牛頓第二定律得mg－FN＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)，解得FN＝mg－meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)<mg，故其處于失重狀態，選項A正確，B錯誤；FN＝mg－meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)只在小汽車通過橋頂時成立，C錯誤；由mg－FN＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)和FN≥0，解得v1≤eq\r(gR)，D錯誤。【補償訓練】如圖，用光電門傳感器和力傳感器研究小球經過拱橋最高點時對橋面壓力FN的大小與小球速度的關系。若光電門測得小球的擋光時間t，多次實驗，則t越短()A．FN越小，且大于小球重力B．FN越大，且大于小球重力C．FN越小，且小于小球重力D．FN越大，且小于小球重力【解析】選C。小球經過拱橋最高點時，根據牛頓第二定律，有mg－FN＝meq\f(v2,r)，則有FN＝mg－meq\f(v2,r)，由此可知，當t越短，說明小球通過最高點的速度越大，則FN越小，且小于小球重力，故選項C正確。5．公路在通過小型水庫的泄洪閘的下游時，常常要修建凹形橋，也叫“過水路面”。如圖所示，汽車通過凹形橋的最低點時()A.車對橋的壓力等于汽車的重力B．車對橋的壓力小于橋對汽車的支持力C．汽車所需的向心力就是地面對車的支持力D．為了防止爆胎，車應低速駛過【解析】選D。在最低點，根據牛頓第二定律知：地面對車的支持力與車的重力的合力提供了向心力，設橋對車的支持力為FN，有FN－mg＝meq\f(v2,R)，所以FN＞mg，根據牛頓第三定律得車對橋的壓力大于重力，A、B、C錯誤；為了防止爆胎，應減小橋對車的支持力FN，FN＝meq\f(v2,R)＋mg，所以應該減小速度，D正確。6．(2022·蘇州高一檢測)智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛。如圖甲，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖乙所示。可視為質點的配重質量為0.5kg，繩長為0.5m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2m。水平固定好腰帶。通過人體微小扭動，使配重隨短桿做水平勻速圓周運動，繩子與豎直方向夾角為θ，運動過程中腰帶可看作不動，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，下列說法正確的是()A．當θ從37°增加到53°時，配重的周期變小B．當θ穩定在37°時，配重的角速度為5rad/sC．若增大轉速，腰帶受到的合力變大D．若增大配重的線速度，則角速度變小，θ變大【解析】選A。運動過程中，腰帶可看作不動，則處于平衡狀態，合力始終為零，故C錯誤；對配重，由牛頓第二定律得mgtanθ＝mω2(lsinθ＋r)，解得ω＝eq\r(\f(gtanθ,lsinθ＋r))，當θ穩定在37°時，解得ω＝eq\r(15)rad/s，故B錯誤；根據ω＝eq\r(\f(gtanθ,lsinθ＋r))得，當θ＝53°時，ω′＝eq\r(\f(200,9))rad/s，可知角速度增大，根據T＝eq\f(2π,ω)，知周期變小，故A正確；根據以上分析知，當θ變大，角速度變大，運動半徑也變大，則線速度變大，故D錯誤。二、計算題(14分)7.有一輛質量為800kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋。取g＝10m/s2，求：(1)若汽車到達橋頂時速度為5m/s，橋對汽車的支持力N的大小；(2)若汽車經過橋頂時恰好對橋頂沒有壓力而騰空，汽車此時的速度大小v；(3)已知地球半徑R＝6400km，現設想一輛沿赤道行駛的汽車，若不考慮空氣的影響，也不考慮地球自轉，它開到多快時就可以“飛”起來。【解析】(1)以汽車為研究對象，由牛頓第二定律得mg－N＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),r)，代入數據解得N＝7600N。(2)當N＝0時有mg＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(gr)＝10eq\r(5)m/s。(3)當v2＝eq\r(gR)時汽車就會“飛”起來，將R＝6.4×106m，代入得v2＝8000m/s。答案：(1)7600N(2)10eq\r(5)m/s(3)8000m/s (15分鐘30分)8.(6分)如圖,雜技演員在表演“水流星”節目時,用細繩系著的盛水的杯子可以在豎直平面內做圓周運動,甚至當杯子運動到最高點時杯里的水也流不出來。下列說法中正確的是 ()A.在最高點時,水對杯底一定有壓力B.在最高點時,盛水杯子的速度可能為零C.在最低點時,細繩對杯子的拉力充當向心力D.在最低點時,杯中的水不只受重力作用【解析】選D。圓周運動最高點和最低點受力都是重力和繩子拉力而且二力都在半徑方向,所以二者合力提供向心力。杯子在最高點受拉力方向只可能向下,則有F+mg=mv2r≥mg,所以最高點速度v≥gr,不可能等于0,選項B錯誤;對水分析,在最高點時,杯底對水的力也是只能向下,則由F+mg=mv2r可知,當v=gr時F=0,選項A錯誤;最低點時,不管是繩子拉力還是杯子對水的彈力都只能向上,合力提供向心力,則有F-mg=mv2r,也就是拉力和重力的合力提供向心力,而且最低點拉力F=9．(6分)一輛汽車勻速率通過一座圓弧形拱橋后，接著又以相同速率通過一圓弧形凹形橋。設兩圓弧半徑相等，汽車通過拱橋橋頂時，對橋面的壓力F1為車重的一半，汽車通過圓弧形凹形橋的最低點時，對橋面的壓力為F2，則F1與F2之比為()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．2∶1【解析】選C。汽車通過拱橋橋頂時有mg－F1＝eq\f(mv2,R)。在圓弧形凹形橋最低點時有F2－mg＝eq\f(mv2,R)，而2F1＝mg則F2－mg＝mg－F1，F2＝2mg－F1＝4F1－F1＝3F1，所以F1∶F2＝1∶3，故C正確，A、B、D錯誤。【補償訓練】(2021·揚州高一檢測)如圖所示是游樂場里的過山車，過山車運動過程中經過A、B兩點時()A．在A點時對軌道壓力較小B．在A點時所受摩擦力較大C．在B點時所受向心力較大D．在B點時合外力方向豎直向下【解析】選B。由向心力公式FNA－mg＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A)),r)、mg－FNB＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B)),r)，解得FNA>mg>FNB，在A點時對軌道壓力最大，A錯誤；摩擦力為Ff＝μFN，則FfA>FfB，在A點時所受摩擦力較大，B正確；向心力為Fn＝meq\f(v2,r)，vA>vB，所以FnA>FnB，在A點時所受向心力較大，C錯誤；在B點過山車受豎直向下的重力，豎直向上的彈力，水平方向的摩擦力，合力的方向斜向下，D錯誤。10．(18分)如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，沿曲面沖上高H＝0.8m頂部水平高臺，接著以v＝3m/s水平速度離開平臺，落至地面時，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑。A、B為圓弧兩端點，其連線水平。已知圓弧半徑R＝1.0m，人和車的總質量為180kg，特技表演的全過程中，阻力忽略不計。g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：(人和車可視為質點)(1)從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離x；(2)從平臺飛出到達A點時的速度大小及圓弧對應圓心角θ；(3)人和車到達圓弧軌道A點時對軌道的壓力。【解析】(1)車做的是平拋運動，根據平拋運動的規律可得，豎直方向上有H＝eq\f(1,2)gt2水平方向上有x＝vt解得x＝veq\r(\f(2H,g))＝3×eq\r(\f(2×0.8,10))m＝1.2m。(2)摩托車落至A點時，其豎直方向的分速度為vy＝gt＝4m/s到達A點時速度為vA＝eq\r(v2＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y)))＝5m/s設摩托車落地至A點時速度方向與水平方向的夾角為α，則有tanα＝eq\f(vy,v)＝eq\f(4,3)即有α＝53°，所以有θ＝2α＝106°。(3)對摩托車受力分析可知，摩托車受到的指向圓心方向的合力作為圓周運動的向心力，所以有FNA－mgcosα＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A)),R)代入數據解得FNA＝5580N。由牛頓第三定律知，人和車到達圓弧軌道A點時對軌道的壓力為F′NA＝FNA＝5580N。答案：(1)1.2m(2)5m/s106°(3)5580N(10分)11．如圖是場地自行車比賽的圓形賽道。路面與水平面的夾角θ＝15°，圓周的半徑為60m，sin15°＝0.259，cos15°＝0.966，不考慮空氣阻力，g取10m/s2。(1)某運動員騎自行車在該賽道上做勻速圓周運動，要使自行車不受摩擦力作用，其速度大小應等于多少？(2)若該運動員騎自行車以18m/s的速度仍沿該賽道做勻速圓周運動，自行車和運動員的質量一共是100kg，此時自行車所受摩擦力的大小約是多少？方向如何？【解析】(1)設人和自行車的總質量為m，若不受摩擦力作用則由重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律可得mgtanθ＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\r(gRtanθ)＝eq\r(10×60×\f(0.259,0.966