1、2010 高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的 , 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料） ，必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D 中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區設置報

2、名號的話）：所屬學校（請填寫完整的全名） ：參賽隊員(打印并簽名 ) ： 1.2.3.指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名 )：日期：年月日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：1/242010 高教社杯全國大學生數學建模競賽編號專用頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：2/24儲油罐的變位識別與罐容表標定摘要本文通過建立數學模型， 對題目中提出的關于加油站地下儲油罐的變位識別與罐容表標定這兩個實際問題進行了比較完整、詳細的分析和解答。問題一

3、中，對于傾斜放置的橢圓柱體儲油罐來說，其油面所截得的形狀難以確定，直接用微積分公式求解其儲油量比較困難。為了便于求解，一方面，我們利用罐體傾斜放置與水平放置時罐內儲存的燃油液體的體積始終不變這一關系， 將計算傾斜放置的儲油罐中的儲油量，等效轉化為計算水平放置的儲油罐中的儲油量。另一方面，我們通過制定一些合理的假設使模型簡化， 從而得到傾斜放置油罐中油面高度和水平放置油罐中油面高度之間關系。其關系為：(h10.4tan)2h10.14694.9tanh2 h10.825tan0.1469 h11.17131.2h121.2cot2.05 tanh11.17134.9我們用附件 1 中給出的實際數

4、據對于等效轉化過程和模型簡化過程中出現的誤差，對模型進行檢驗，從而得到在這兩個過程中出現的誤差，然后對出現的誤差數據進行擬合分析，從而得到修正量的表達式，其修正量表達式為：V1 0.3225h13 1.094h12 1.083h1 0.2419。用我們所建立的模型中的表達式加上相應的修正量，對模型中的誤差進行修正，使求解的結果逼進精確值。針對實際儲油罐問題，我們采用積分的方法，建立了反映罐內儲油量、油位高度及變位參數關系的實際儲油罐油量計算模型（模型二）。考慮到直接給出上述關系表達式十分困難，我們通過編寫儲油量積分求解程序，實時求解出油面高度為h 時的儲油量值Vh 。在確定變位參數時，我們采用

5、最小二乘法，將參數識別問題轉換成了最優化問題，并編寫了遍歷搜索程序， 通過調用之前編寫的儲油量求解程序， 可以很方便的對 ( , ) 的取值空間進行暴力搜索， 最終取得變位參數的理想逼近值 ( * , * ) (4.520 ，0) 。在分析模型的正確性與方法的可靠性時，通過比較相關樣點的計算值與實際值，得到模型二的最大相對誤差為 1.3%，平均相對誤差為 0.6%，認為實際儲油罐油量計算模型具有較好的準確性。為了進一步提高模型的準確性，我們通過誤差補償的方式對模型中表示的表達式進行修正。修正后的模型二，其最大相對誤差為0.071%，平均相對誤差為0.015%，明顯優于修正前的模型，利用修正后的

6、模型求解出的油位高度間隔為 10cm 的罐容表標定值與附件數據高度吻合。關鍵字：誤差補償模型修正最小二乘法3/24一、問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統” ，采用流量計和油位計來測量進 /出油量與罐內油位高度等數據， 通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖 1 是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖

7、，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖 2 是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖 3 是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。請你們用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4 的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體） ，分別對罐體無變位和傾斜角為=4.10 的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件 1 所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為 1cm 的罐容表標定值。（2）對于圖 1 所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數 （縱向傾斜角度 和橫向偏轉角度

8、）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進 /出油過程中的實際檢測數據（附件 2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為 10cm 的罐容表標定值。進一步利用附件 2 中的實際檢測數據來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。二、問題分析本題研究和解決的是儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。問題（一）中，題目給定的是一個橢圓柱體儲油罐，考慮到傾斜放置的橢圓柱體被油面截得的平面形狀難以確定，用積分方法求解儲油量 （罐容標定值） 非常困難。因此，可以將計算傾斜放置的儲油罐中的儲油量等效為計算水平放置的儲油罐中的儲油量， 實現對高度的等效轉變 1 。同時通過合理的假設使模

9、型簡化，從而得到罐容標定值和傾斜放置油位高度之間關系。對于簡化處理過程中產生的誤差，可以通過附件 1 中的實際數據對模型進行檢驗與修正，使求解的結果不斷逼進精確值 。問題（二）中，對于本問考慮采用積分的方法的建立罐內儲油量與油位高度及變位參數之間的一般關系表示。變位參數的確定屬于參數識別問題，最小二乘法是此類問題的理想方法，結合最小二乘法可以將上述參數識別問題轉換成最優化問題，從而可以通過具體的優化算法確定出實際儲油罐的變位參數。 通過比較附件 2 中相關樣點的計算值與實際值，可以檢驗模型的正確性與方法的可靠性。三、模型假設求解第一問用到的假設：1.根據實際情況，儲油罐發生位變程度不應很大；2

10、.不需要考慮液面低于油位探針最下端和液面高于探針最上端的這兩種情況；3.罐容表只受到儲油罐發生變位的影響；4.油位探針固定在儲油罐上，跟隨儲油罐變位兒發生相應變化；4/242 中水平放1 ，從而1 中的四、符號說明：罐內儲油量；h1 ：儲油罐只發生縱向變位時油位探針測得的油位高度； h2 ：儲油罐水平放置時油位探針測得的油位高度；：小橢圓型儲油罐長； a ：橢圓長半軸長；：橢圓短半軸長；S1 ：油面與左球冠的交界面面積；S2 ：油面與圓柱體的交界面面積；S3 ：油面與右球冠的交界面面積；：球冠與圓柱體交界面處圓面半徑； r ：球冠所處球體的半徑；Rp ：油面與左球冠的交界面對應圓面半徑；h1m

11、ax ： h1 允許的最大值；Vh1 ：以 h1 為自變量的儲油量函數；Vh ：以 h 為自變量的儲油量函數；Sq1 ：當油罐液面低于水平線1 時的油面面積；Sq 2 ：當油罐液面介于水平線 1 和水平線 2 之間時的油面面積； Sq 3 ：當油罐液面高于水平線 2 時的油面面積。五、模型建立與求解5.1 小橢圓儲油罐油量計算模型（模型一）對傾斜放置的橢圓柱體， 由于積分平面不規則， 直接積分很難實現。 為了便于求解，可以在儲油量不變情況下，將具有傾斜角 的罐體等效轉換為水平放置的罐體使得求解儲油量的模型比較容易建立。對于這樣計算產生的誤差，可以利用附件數據對求得的模型進行檢驗和修正，使求解結

12、果更為精確。設圖 1 中橢圓柱體以傾斜角放置時油位探針測得的油位高度為h1 ，圖置時橢圓柱體內部的油位高度為h2 。由于油罐無論怎樣放置，在沒有進出油的情況下，其內部液體的體積都不會改變。以此建立關系式，可以求得h1 和 h2 之間的關系，從而得到儲油量 V 與 h1 的關系式。5/24圖 1 有傾斜角放置時的液面情況圖2 水平放置時的液面情況我們先建立 V 和 h2 的關系式，然后建立h2 和 h1 之間的關系式（如圖3），通過表達式的代入，就可以得到 V 與 h1 的關系式，即罐體變位后罐容表標定值與油位高度之間的關系式。圖 3h1 和 h2 之間的關系圖儲油量 V 與 h2 之間關系如圖

13、 4 所示，水平放置時的油罐內液體情況如圖4 所示：圖 4 儲油罐 水平放置情況由 V S底 h 知，其中 h為罐體的長度 L ，為已知量，要求得體積 V ，先用微積分的方法求得其底面積，再乘上L 即可（求解過程見附錄1）。【】可以得到如下表達式 ：h2 (2bh2 )aLb)h2 (2bh2 ) ，0 h20.6abL arcsinb( h2V (h2 )bh2 (2bh2 )aLabL abL arcsin(h2b)h2 (2bh2 ) ，0.6h2 1.2bb其中，橢圓長半軸長 a0.89 ，短半軸長 b0.6，橢圓柱體儲油罐長 L2.45。由求解結果可知，體積 V ( h2 ) 只與

14、h2有關。代入已知值，可以求得橢圓柱體中儲油量 V 與 h2 之間的關系如下：6/24h2 (1.2h2 )h2 ) ，0h20.61.3083arcsin3.6342(h2 0.6) h2 (1.2V (h2 )0.6h2(1.2 h2 )4.1101 1.3083arcsinh2 (1.2h2 )，0.6 h2 1.23.6342(h2 0.6)0.6油位高度 h1 和 h2 之間關系通過分析可以發現，建立h1 和 h2 之間關系需要分為三種情況考慮（見圖5）：（1）液面在 B 點之下；（2）水平液面在 B 點之上、 C 點之下；（3）液面在 C 點之上。當油面過高或過低時，油位探針都不能

15、正常檢測到油位高度。在油面過低時，出油管也不能正常工作。因此，我們不考慮油面過高和和過低的情況。圖 5 液面的三種情況為了便于進一步計算， 我們先將橢圓柱體簡化成一個長方體， 對 h1 和 h2 之間的關系進行分析，求得兩者之間的關系。對于簡化過程中產生的誤差，我們將在后面利用附件中的數據進行模型檢驗和修正。（ 1 ）傾斜放置，其水平液面在B 點之上、 C 點之下時（相對應的h1 范圍為BF tanhEFCEtan ，即 0.1469h11.1713）1圖 6 液面在 B 點之上、 C 點之下時 h1 和 h2 之間的關系圖根據圖 6，可建立如下關系：7/24JAh1AF tanKBJAAB

16、tanS11(JA KB)AB2S2h2 ABS1S2其中， S1 ， S2 分別為梯形 ABKJ 和矩形 ABIH 的面積。求解可以得到 h1 和 h2 之間的關系為：h21 ( JA KB ) h1 AF tan1 AB tanh1 0.825 tan , 0.1469 h1 1.171322（2）傾斜放置，其水平液面在B 點之下時圖 7 液面在 B 點之下時h1 和 h2 之間的關系圖根據圖 7，可建立如下關系：JAh1 AF tanS11 JA JA cot2S2AB h2S1S2其中， S1 ， S2 分別為三角形 AKJ 和矩形 ABIH 求解可以得到 h1 和 h2 之間的關系為

17、：的面積。(h1 AF tan)2(h1 0.4tanh24.9tan2AB tan（3）傾斜放置，其水平液面在C 點之上時)2,0h10.1469，8/24圖 8 水平液面在C 點之上時h1 和 h2 之間的關系圖由圖 8 可得如下關系：JDEF h1cotED12S1h1 cotED tanEF2S2AB ACh2S1S2其中， S1 ， S2 分別為三角形 DJK 和矩形 CDIH 的面積。求解可以得到 h1 和 h2 之間的關系為：11.2h1 cot2.0522tanh2ACEFh1 cotED tan1.24.9,1.1713 h1 1.22AB綜上所述， h1 和 h2 之間的關

18、系如下：( h10.4 tan) 20h10.14694.9 tanh2h10.825 tan0.1469h11.17131.2h1 cot2.0521.2tan1.1713h11.24.9代入4.1 得到如下結果：2.8471(h10.0287) 2 ,0h10.1469h2h10.0591,0.1469h11.17131.20.0146 18.790921.1713h11.213.9507h1 ,罐容標定值 V 和油面高度 h1 之間關系橢圓柱體中儲油量 V 與 h2 之間的關系為：h2 (1.2h2 )h2 ) ，0h20.61.3083arcsin3.6342(h2 0.6) h2 (

19、1.2V (h2 )0.6h2(1.2 h2 )4.1101 1.3083arcsinh2 (1.2h2 )，0.6 h2 1.23.6342(h2 0.6)0.6，h2 和 h1 之間的關系為：9/24(h0.4 tan) 201h10.14694.9 tanh2h10.825 tan0.1469h11.17131.2h1 cot2tan1.22.05h11.24.91.1713其中 h20.6 時，對應的 h10.6591。綜合上面的兩個關系式， 可以分析出體積 V 只與 h2 有關，而 h2 只與 h1 有關。因此體積 V 只與 h1 有關，它們之間的關系如下：（ 1）當 0 h1 0.

20、1469時，h2(h10.4tan) 24.9 tan，h2 (1.2h2 )V1.3083arcsin3.6342(h20.6)h2 (1.2h2 )0.6聯立可得到：(h10.4tan) 21.2 ( h10.4tan) 24.9 tan4.9tanV 1.3083arcsin0.63.6342(h10.4tan )20.6(h10.4tan)21.2(h10.4tan ) 24.9 tan4.9 tan4.9 tan（ 2）當 0.1469h10.6591時（其中 h10.6591對應的是 h20.6 時候的值），h2h10.825 tanV1.3083arcsinh2 (1.2h2 )

21、3.6342( h20.6)h2 (1.2，0.6h2 )聯立可得到：Vh10.825tan1.2 h10.825tan1.3083arcsin0.63.6342 h10.825tan0.6h10.825tan1.2h10.825tan（ 3）當 0.6591h11.1713時（其中 h10.6591對應的是 h20.6 時候的值），h2h10.825 tanV4.1101h2 (1.2h2 )0.6)，1.3083arcsin0.63.6342( h2h2 (1.2 h2 )聯立可得到：V4.1101h10.825tan1.2h10.825tan1.3083arcsin0.63.6342 h

22、10.825tan0.6h10.825tan1.2h10.825tan（ 4）當 1.1713h11.2 時，10/241.2 h1 cot2tanh22.051.24.9V4.1101 1.3083arcsinh2 (1.2h2 )0.63.6342(h2 0.6) h2 (1.2 h2 )聯立可得到：1.2 h121.2 h1 cot2cot 2.05tan2.05tan4.91.24.9V 4.1101 1.3083arcsin0.61.2 h121.2 h1 cot21.2 h12cot 2.05tan22.05cot 2.053.6342(0.64.9)4.91.24.9我們利用 M

23、ATLAB程序（附錄 2），將上述模型中 V和 h1 的變化關系與附件1 中的“傾斜變位進油”表中的實際數據作比較，作圖得到如下結果：圖 9 模型計算的油位高度與儲油量和附件1 中傾斜變位進油時實際數據的對比通過圖 9，很容易發現計算值與實際值之間存在的誤差具有很明顯的規律性。通過 MATLAB 對誤差數據進行多項式擬合 (附錄 2)，從而得到修正值的表達式 （即補償公式）。擬合圖形如圖 10。11/24圖 10 對小橢圓儲油罐油量計算模型計算誤差的擬合情況根據擬合結果（附錄3），得到誤差補償公式：V0.3225h31.094h21.083h0.24191111利用誤差補償公式對模型進行修正，

24、則修正后的儲油量表達式為V V V1。取附件 1“傾斜變位進油”中的數據對模型進行檢驗（MATLAB程序見附錄2），將計算結果與附件 1 中給定數據繪制在同一個坐標系下，如圖11。圖 11 誤差補償后預測數據與檢驗數據之間的對比情況通過圖 11 可以看到，對模型進行修正之后，模型計算值和實際值的吻合度非常高。因此，可以用修正后的表達式對相關數據進行預測，通過編寫 MATLAB 程序（見附錄2）給出罐體變位后油位高度間隔為 1cm 的罐容表標定值如表 1。表 1 罐體變位后油位高度間隔為1cm 的罐容表標定值h100.00110.00120.00130.00140.00150.00160.001

25、70.00180.00190.00V522.17563.36604.69646.17687.82142.11165.76190.50216.26242.99h200.00210.00220.00230.00240.00250.00260.00270.00280.00290.00V270.63299.13328.45358.55389.40420.96453.19486.08519.58553.67h300.00310.00320.00330.00340.00350.00360.00370.00380.00390.00V588.33623.54659.26695.48732.18769.3480

26、6.93844.94883.36922.1512/24h400.00410.00420.00430.00440.00450.00460.00470.00480.00490.00V961.311000.811040.651080.801121.261161.991203.001244.271285.771327.51h500.00510.00520.00530.00540.00550.00560.00570.00580.00590.00V1369.451411.601453.931496.441539.111581.921624.871667.941711.121754.39h600.00610

27、.00620.00630.00640.00650.00660.00670.00680.00690.00V1797.751841.191884.681928.221971.792015.392058.952102.562146.152189.72h700.00710.00720.00730.00740.00750.00760.00770.00780.00790.00V2233.262276.742320.162363.502406.762449.922492.972535.902578.682621.32h800.00810.00820.00830.00840.00850.00860.00870

28、.00880.00890.00V2663.802706.102748.212790.122831.822873.282914.502955.462996.153036.55h900.00910.00920.00930.00940.00950.00960.00970.00980.00990.00V3076.653116.433155.873194.963233.693272.033309.973347.483384.563421.17h1000.001010.001020.001030.001040.001050.001060.001070.001080.001090.00V3457.31349

29、2.943528.053562.613596.603629.993662.763694.873726.313757.025.2 實際儲油罐油量計算模型（模型二）幾何描述與分析(1)符號及標號說明圖 12 實際儲油罐幾何分析示意圖（無橫向偏轉）圖 12 中，A、B 及 D 點在兩側球冠與中間圓柱體中軸切面的交界面上；C 點在探油針與罐底接觸處；記過B 點的液面為水平面1，過 A 點的液面為水平面2；探油針與水平面 1 的交點為 B1，探油針與水平面2 的交點為 A 1；O 為左側球冠球心， OO1 平行液面與探油針交于O1 點； OO2垂直于探油針，垂足為O2； OB2 垂直于液面，垂足為B2

30、；AD 與液面交點為 B3 ；圓柱體豎直中軸面與液面所交線段左端點為B4 ；為便于描述，記左球冠與圓柱體交界面為圓面1，圓心為 O3 ；右球冠與圓柱體交界面為圓面 2，圓心為 O4 ；油面與圓面 1 的交界線段為 Y11Y12 ，長度為 l1 ；油面與圓面 2 的交界線段為 Y21Y22 ，長度為 l2 ； Y21Y22 與 B 點的距離為 l B 。13/24（ 2）相關數據DE=1，CD=2， CB=6，R=1.5。由勾股定理得： r 2R2(rDE )2 ，可計算出球冠所處球體的半徑： r=1.625。（ 3）油位高度轉換13 所示。其中， h 是考慮縱向傾油罐橫向偏轉對探油針測量油位高

31、度的影響如圖斜及橫向偏轉后的油位高度，h1 是無橫向偏轉角時的油位高度值。圖 13 油位高度轉換示意圖根據三角關系可得 h 與 h1 的轉換關系： h1R (h R)cos ，h1R ( h R)/cosVh 。進而有 Vh1油罐儲油量計算下面以油罐內油面面積為被積函數，沿液面垂線方向積分，得到罐內儲油量與油位高度及變位參數之間的關系。根據圖 14，當油位高度取不同值時， 油面面積的計算方法有所區別，應將油罐分成3 個不同區段分別計算。（一）當油罐液面低于水平線1，即 0 h1BC tan 時（1）S1 的計算圖 14 油面與左球冠的交界面（陰影部分面積即為所求S1）首先，計算 S1 所處圓面

32、半徑 Rp （ RpB2 B4r 2OB22 ）。由圖可得如下關系式：OB2O1 B1 cosO1B1O1C B1CB1C h1可推導得 Rp B2 B4r 2(1.5h1)cos1.375sin ) 2 。O1CO2C O1O2O1O2OO2 tanOO2CEr其次，計算H p （ H pB2 B3 ），由以下關系式：14/24B2 B3B1B3B1 B2B1B3CD / cos推導出 H2 / cos(1.375/ cos(1.51.375tanh1 )sin )B1B2OO1O1B1 sinOO1OO2 / cos最后，通過積分可得到S1：S 2RpR 2x2 dxR2HpR2H2R2a

33、rcsin( H p )1H pp2ppppRp2） S2 的計算根據幾何學相關知識，油平面與無限延長后的圓柱體的截面是橢圓，本題中，該橢圓長半軸 a R / sin ，短半軸 bR ，油面與圓面 1 的相交線 Y11Y12 ，及液面低于水平線1 時的 S2 情況如下圖。圖 15 油面與圓面1 的相交示意圖圖16 0h1 BC tan時的 S2 示意圖已 知 x2y21， B3DCD tanh1 ， (0.5l1) 2R2( RB3D)2，故對于點a2b2aaY11 ( x11 , y11 ) ，其中 y11 0.5l1 ，由 xb2y2 ，有 x11b2y112 。通過積分可得到 S2 ：b

34、bS2a2ba22dxbx11a22x11)x11axabx11ab arcsin(2aa綜合（ 1）（2）可得，當油罐液面低于水平線1 時的油面面積：Sq1S1S2（ 0h1 BC tan）進而通過積分可以算出油高h1 （通過油位高度轉換公式處理后）時的儲油量：Vh1(h1 )h1)Vh1(0)( 0h1BC tan)Sq1d (h1 cos0需要注意的是當 h10Sq1d( h1 cos0 時，儲油量 Vh1 (0) 。CD tan（二）當油罐液面介于水平線1 和水平線 2 之間，即 BC tanh1 2RCD tan 時（1） S2 的計算S2 由前述橢圓、線段 Y11Y12 及 Y21

35、Y22 所圍成，如圖 17 所示。15/24圖 17 BC tanh12R CD tan 時的 S2 示意圖進一步考慮，當油位高度取不同值時，Y11Y12 與 Y21Y22 的相對位置不盡相同。當h1RCD tan時，油面與圓面1 的交界線 Y11Y12 過圓心為 O3 ，當 h1R BC tan 時，油面與圓面 2 的交界線Y21Y22過圓心為O4。由對稱性可知，僅當RCD tan1RBC tan時， 線段 11 12、 21 22在Y軸兩側。hY YY Y(a)當 BC tanh1RCD tan時x11ab2y112 ， x21a b2y212bb(b)當 RCD tanh1R BC ta

36、n時x11ab2y112 ， x21a b2y212bb(c)當 RBC tanh12RCD tan時x11ab2y112 ， x21ab2y212bb對于上述三種情況，均有B3 DCD tanh1 ， (0.5l1) 2R2( RB3D)2 ，對于點Y ( x , y ) ， y0.5l1；記右側YY與 B點的距離 為 lB，則 lBh BCt an，1111111121 221(0.5l 2 )2R2( RlB )2對于點 Y21 ( x21, y21) ， y210.5l2 。通過積分可以得到 S2 ：S2x21 2ba2x2 dxbx211x212ab arcsin(x21 )bx11

37、1x112ab arcsin(x11 )x11aa2aa2a（2） S3 的計算根據對稱性可知， S3 的面積求解與 S1 類似，且有如下關系：對于給定的 h1 ，S3 的面積等同于將 S1 中的 h1 替換為 2RCD tan(h1 BC tan) 時的面積。為了方便描述，記求解S3 時涉及到的與求解S1 時相對應的變量符號如下：h1h1 ；OB2OB2 ； RpRp；H pH p則對于 S3 有：16/24OB2(1.52RCD tanh1BC tan)cos1.375sinr 22RpOB2H p2 / cos(1.375 / cos(1.5 1.375 tan2RCD tanh1BC

38、tan)sin) 22 2 2 2H pRpx2 dxS3RpRpH pRpH p)2 Rp arcsin( H p2Rp綜合上述結果， 當 BC tanh12R CD tan時，油面面積 Sq2S1S2S3 ，積分可得：Vh1 (h1)h1Sq 2d (h1 cos)Vh1( BC tan)( BC tanh12RCD tan )BC tan（三）當油罐液面高于水平線2，即 h1 2RCD tan時由于對稱性，當 h12RCD tan時，對油罐的積分運算與 0h1BC tan時類似，h1 從 2R CD tan到 h1max 的積分對應于， 從 BC tan到 2RCD tanBC tanh

39、12 R CD tan BC tanh的積分：1（Sq1d (h1 cos )Vh1 (2 RCD tanh12RCD tan）Vh1 (h1)BC tan)從上述分析可以看出， 直接求取罐內儲油量與油位高度及變位參數之間的關系表達式很困難，我們針對本題編寫儲油量積分求解程序 （見附錄 4），程序包含油面高度的 h 、縱向傾斜角度 和橫向偏轉角度 的輸入接口，程序調用形式如下：double Vh(double h,double alpha,double beta)給定、 即可實時求解出油面高度為h 時的儲油量值 Vh 。確定變位參數本問屬于參數識別問題，最小二乘法是解決此類問題的理想算法1 。

40、設本題中實際儲油罐的縱向傾斜角度準確值為0 和橫向偏轉角度準確值為0 ，則儲油罐儲油量 V 與油位高度 h 的關系可以用函數 V (h,0 , 0 ) 描述，對于任意一組有意義的參數(,)，程序計算值 Vjs (hi , ,) 與實際測量值 V (hi , 0 , 0 ) 的總偏差記為：n(V (hi , 0 , 0 ) Vjs ( hi , , ) 2D(,)i1式中， hi 指在某一組參數 (,) 下，參與測試的第i 個數據輸入。顯然使得計算值和測量值的總偏差最小的參數就是最接近實際值的參數 ( * , * ) ，于是問題變成下面所示的最優化問題。D (* ,* )MinD (,)212對

41、于該優化問題，我們編寫了遍歷搜索程序， 通過調用前面編寫的儲油量求解程序，可以很方便的對 ( , ) 的取值空間進行暴力搜索。為了縮短搜索時間，我們進行了多次搜索，逐次減小收縮區間，同時加大搜索密度，最后一次搜索時4,5 ，步長取 0.0001，0,5 ，步長取 0.005，得到 ( * , * ) (4.520 ， 0) ，即實際油罐縱向傾斜角度理想逼近值為 4.520 ，橫向偏轉角度理想逼近值為 0。在本問中，我們發現：縱向傾斜角度的變化對儲油量的影響較橫向偏轉角度的變化對儲油量的影響顯著。17/24模型檢驗與修正1）模型檢驗調用 儲油量積 分求解程 序 double Vh(double

42、h,double alpha,double beta)，取alpha=4.520，beta=0，分別計算流水號為 201502 這 302 個油面高度值下的儲油量，并將計算值與附件中給出值繪制在同一個坐標系中，如下圖。70附件數據60計 算 值504030201000.511.522.530圖 18 模型二下實際儲油罐儲油量計算值與附件2 中數據比對（流水號201502）從圖中可以看出，計算值與附件中的給定值能很好的吻合，初步說明了模型的正確性與合理性。（ 2）誤差分析由球缺體積計算公式 Vh2 (r h / 3) 、圓錐體積計算公式 V1r 2 h 以及圓柱體體R2L 可以求出題目中所指實際

43、儲油罐的滿裝容量為3積計算公式 V61.71916 立方 M 。將前面計算得到的儲油量計算值與附件2 中給定數據作比較，得到計算誤差序列Drt 。利用 MATLAB 可以很方便的得到最大絕對誤差 0.804723及平均絕對誤差 0.396377，結合油罐總容積，有最大相對誤差 1.3%及平均相對誤差 0.6%。從相對誤差來看，模型二下儲油量的計算值具有較好的準確性，但準確性不夠高。（ 3）誤差補償為了進一步提高模型二的準確性，我們考慮通過誤差補償的方式對模型二中表示的表達式進行修正。將誤差序列 Drt 繪制在坐標系下，得到誤差散點圖（見圖19 中離散點）。使用多項式擬合工具 Cftool 進行

44、 4 次擬合，擬合效果如下圖（擬合結果詳見附錄 4）。18/24圖 19 模型二誤差補償多項式擬合情況誤差補償公式f0.06986* h41.204* h36.78* h29.7* h3.387 ，在模型二的基礎加上誤差補償公式，及得到誤差修正后的模型二。利用誤差修正后的 模型二計算附件 2 中“一次性補充進油 ”（流水號為 503803）后儲油量值，將計算值與附件中給出值繪制在同一個坐標系中，如下圖。60附件數據預 測 值5040302010000.511.522.5圖 20 模型二 下實際儲油罐儲油量計算值與附件2 中數據比對（流水號503803）從圖中可以看出，修正后的模型計算值與附件中

45、給定數據值肌膚完全吻合。從相對誤差來看，修正后的模型計算值與附件中給定數據的最大相對誤差為 0.071%，平均相對誤差為 0.015%，明顯優于修正前的模型，說明修正后的模型二具有更好的正確定與可靠性。利用修正后的模型求解出油位高度間隔為10cm 的罐容表標定值如下表。表 2 罐容表標定值h40050060070080090010001100V4929.2836663.9788775.96611028.48713407.49115898.39718486.19421155.514h12001300140015001600170018001900V23890.67926675.75129494.

46、5632330.74435167.77237988.98240777.60443516.805h20002100220023002400250026002700V46189.72948779.55251269.55553643.22955884.42357977.58659908.17561663.468下圖是罐容表標定值與附件數據對比情況圖， 該圖中計算得到的標定值與附件數據高度吻合，也反映了誤差修正后的模型的正確性與合理性。70附件數據罐容表標定值605040302010000.511.522.53圖 21 罐容表標定值與附件數據對比19/24六、模型評價與改進本文針對小橢圓型儲油罐和實際

47、儲油罐的不同問題分別建立了罐容表的數學模型。在合理的假設下，對問題進行了較為全面的分析求解。模型的主要優點是：一、在處理小橢圓型儲油罐問題中，我們避免了直接求解變位情況下的橢圓柱體儲油量，而是利用罐體變位前后儲油體積不變這一關系，對模型進行了簡化處理，將求解罐體傾斜時的儲油量轉化為求解罐體水平放置時的儲油量，并在簡化條件下，很容易求得罐體傾斜時油位探針測得的油位高度和罐體水平放置時的油位高度的關系。二、在簡化條件下得到罐容表（即儲油量）的數學模型后，我們根據附件1、附件中的實驗數據分別對模型進行誤差修正和檢驗，大大地減小了誤差，使得模型更為合理。同時模型在如下幾方面也存在不足，需要進一步改進：

48、一、在求解第一問中橢圓柱體儲油罐里儲油量的模型時，我們根據實際情況，假設不需要考慮液面低于油位探針最下端和液面高于探針最上端這兩種情況。但是這樣處理，使得我們在液面較高和液面較低時無法預測相關數據。改進時，我們可以用附件中的數據進行線性擬合，將液面較低或較高時的儲油量 V 和油面高度 h1 的關系，以及 h1 和 h2 之間的關系表示出來。參考文獻田鐵軍，傾斜臥室罐直圓筒部分的容積計算 ，現代計量測試，第 5 期：P32-P36， 1999 年。王聯群，李莉，石油油罐體積計算方法的探討 ，吉林化工學院學報，第 6 卷第 4 期： P45-P51，1989 年 12 月。陳杰， Matlab 寶

49、典，北京：電子工業出版社， 2010 年。譚浩強， C 程序設計，北京：清華大學出版社， 2008 年。 同濟大學應用數學系，高等數學，北京：高等教育出版社，2008 年。附錄附錄 1圖 2220/24（1）當0 h2b時：ah2 )bS(h2 )h2 (2 bb)a2x2 dxb( h20aab arcsinh2 (2b h2 )a( hb)h (2bh )bb222（2）當 b h22b時：S(h2 )abh2 (2b-h2 )abh2 (2b-h2 )a-b) h2 (2b-h2 )abarcsin(h2bb又由 V (h2 )S(h2 )L ，得：h2 (2bh2 ) aLb) h2

50、(2 bh2 ) ，abL arcsinb(h2V (h2 )bh2(2bh2 )aLabLabL arcsinh2 (2b h2 )b(h2 b)b附錄 2模型一的求解程序H=0.41129,0.42345,0.43833,0.45054,0.4639,0.47774,0.48937,0.50256,0.51469,0.52684,0.53888,0.55196,0.5644,0.57656,0.58874,0.59956,0.61162,0.62344,0.635 58,0.64628,0.65859,0.67022,0.68063,0.69303,0.70467,0.71645,0.72766,0.73939, 0.7509,0.76155,0.77343,0.78539,0.79604,0.80827,0.8208,0.8328,0.84447,0.8562 9,0.8676,0.88006,0.89292,0.90434,0.91734,0.9299,0.94142,0.9546,0.96809,0.98014,0.99241,1.00634,1.01907,1.03424,1.03536 。 V= 。n=size(H,2)。fori=1:nh1=H(i)。ifh1=0.1469 & h1=0.6591v1=1.3083*asin(sqrt(h1-0.05