1、考點04 三角函數的圖象與性質 1.已知函數f（x）sin（x+）（0，0）滿足f（x+）f（x），f（）1，則f（）等于（）ABCD【解答】解：f（x）sin（x+）+）sin（x+） 解得2k（kZ），當k1時，f（x）sin（2x+），f（）sin（2+）1，解得2k1+（k1Z）（不合題意），當k2時，f（x）sin（4x+），f（）sin（4+）1，解得2k2+（k2Z），當k21時 ，所以f（x）sin（4x+），f（）sin（4（）+）sin（），故選：C【知識點】三角函數的周期性 2.已知函數f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期為，且關于中心對稱，則下列結論正確的是（）A

2、f（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）【解答】解：函數的最小周期是，得2，則f（x）sin（2x+），f（x）關于中心對稱，2（）+k，kZ，即k+，kZ，當k0時，即f（x）sin（2x+），則函數在，上遞增，在，上遞減，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即f（2）f（1）f（0），故選：D【知識點】三角函數的周期性 3.設函數在，的圖象大致如圖所示，則f（x）的最小正周期為（）ABCD【解答】解：由圖象知函數的周期T（），即，得，f（x）cos（x+），當0時，函數f（x）的圖象是ycosx向左平移得到，由五點對應

3、法得+，即+，即，則f（x）的最小正周期為T，故選：C【知識點】三角函數的周期性 4.已知函數，xR，則（）Af（x）的最大值為1Bf（x）在區(qū)間（0，）上只有1個零點Cf（x）的最小正周期為D為f（x）圖象的一條對稱軸【解答】解：函數sin2xcos2x2（sin2xcos2x）2sin（2x），可得f（x）的最大值為2，最小正周期為T，故A、C錯誤；由f（x）0，可得2xk，kZ，即為x+，kZ，可得f（x）在（0，）內的零點為，故B錯誤；由f（）2sin（）2，可得x為f（x）圖象的一條對稱軸，故D正確故選：D【知識點】三角函數的最值、二倍角的三角函數、兩角和與差的三角函數、三角函數的周

4、期性 5.已知函數，則函數f（x）的圖象的對稱軸方程為（）ABCD【解答】解：函數sin（+），+，2，f（x）sin（2x+）cos2x，令2xk，求得x，kZ，則函數f（x）的圖象的對稱軸方程為 x，kZ，故選：C【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性 6.已知函數f（x）Asin（2x）（A0），若函數f（xm）（m0）是偶函數、則實數m的最小值是（）ABCD【解答】解：函數f（x）Asin（2x）（A0），若函數f（xm）Asin（2x2m）（m0）是偶函數，則 2m+最小為，則實數m的最小值為，故選：A【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性 7.已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x

5、R，都有f（x+4）f（x）+f（2）成立，那么函數f（x）可能是（）ABCDf（x）2cos2x【解答】解：f（x+4）f（x）+f（2），f（2+4）f（2）+f（2），f（2）0，又函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（2）0f（x+4）f（x）+0f（x），f（x）是以4為周期的函數f（x）2cos2x1+cosx，以4為周期的函數故選：B【知識點】余弦函數的對稱性、正弦函數的奇偶性和對稱性 8.已知函數f（x）sin（x+）的圖象關于y軸對稱，則實數的取值可能是（）ABCD【解答】解：ysin（x+）的圖象關于y軸對稱，則k+，kZ，當k0時，的一個值是故選：C【知識點】正弦函數的奇

6、偶性和對稱性 9.函數f（x）2sin2（x）（0）的最小正周期為則f（x）在，上的最小值是（）A1+BC2D1【解答】解：f（x）2sin2（x）1cos（2x），0，函數的最小正周期T，得1，則f（x）1cos（2x），x，2x，1cos（2x），即11cos（2x）2，即函數的最小值為1，故選：D【知識點】正弦函數的圖象 10.已知函數，若函數F（x）f（x）3的所有零點依次記為x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，則x1+2x2+2x3+2xn1+xn（）AB21CD42【解答】解：令2x+k（kz），可得xk+（kz），即函數的對稱軸方程為xk+（kz），又f（x）的周期為T，

7、令k+，可得k8，所以函數在x0，上有8條對稱軸根據正弦函數的性質可知，x1+x22，x2+x32，xn1+xn2，（最后一條對稱軸為函數的最大值點，應取前一條對應的對稱軸），將以上各式相加得，x1+2x2+2x3+2xn1+xn（+）2，故選：C【知識點】正弦函數的圖象 11.已知函數f（x）2sin（x+）+h的最小正周期為，若|f（x）|在上的最大值為M，則M的最小值為（）ABC1D【解答】解：引理，若f（x）在其定義域上的最大值、最小值分別為a，b，|f（x）+h|有最大值為M，則M的最小值為證明：|f（x）+h|f（x）（h）|可視為yf（x）與yh的距離，則Mmax|a（h）|，|

8、b（h）|，M的最小值為，此時h，函數f（x）2sin（x+）+h的最小正周期為，2，當x時，2x+，+，則|f（x）|2sin（2x+）（h）|，令g（x）2sin（2x+），則|f（x）|可視為曲線g（x）上一點到直線yh的距離，由g（x）的特征可知，在0，必存在一個極值點，記為x0，根據g（x）曲線的對稱性可設g（x0）2，則g（x）在0，x0上單調減，在x0，上單調增，由xx0為g（x）的對稱軸，知x0，x離x0越遠，g（x）越大，記為0，中距x0較遠的一個，則|x0|，g（）maxg（0），g（），g（）g（），由引理知Mmin故選：D【知識點】三角函數的周期性 12.若函數f（x）

9、Asin（x+）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）圖象的一條對稱軸是（）AxBxCxDx【解答】解：函數f（x）Asin（x+）的部分圖象，它的一個對稱中心的橫坐標為x，故它的一條對稱軸為 x，令一條為 x，故選：B【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性 13.函數ycos2x的單調減區(qū)間是（）ABC2k，+2k，kZD【解答】解：由2x2k，2k+，可得xk，k+，（kZ），函數ycos2x的單調遞減區(qū)間是k，k+，（kZ）故選：A【知識點】余弦函數的單調性 14.已知函數f（x）asinx+cosx的一條對稱軸為x，則函數g（x）sinxacosx的一條對稱軸可以為（）AxBxCxDx【解答】

10、解：f（x）（sinx+cosx），令cos，sin，則f（x）（sinxcos+cosxsin）sin（x+），f（x）的一條對稱軸為x，+k+，即k+，kZ，g（x）sinxacosx（sinxcosx）（sinxsincosxcos）cos（x+），由x+m，mZ，得xmmk+（mk），m，kZ，當mk1時，對稱軸為x，故選：B【知識點】正弦函數的圖象 15.已知f（x）2sin（x+）（0，0）的圖象關于直線x對稱，若存在x1，x2R，使得對于任意x都有f（x1）f（x）f（x2），且|x1x2|的最小值為，則等于（）ABCD【解答】解：對于函數f（x）2sin（x+），對任意xR，都

11、有f（x1）f（x）f（x2），且|x1x2|的最小值為，則T，2，可得f（x）2sin（2x+），又f（x）2sin（x+）的圖象關于直線x對稱，2+2k+，kZ，可得2k+，kZ，0，故選：B【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性、三角函數的最值 16.函數f（x）1+sinxcosx的最小正周期為【解答】解：f（x）1+sinxcosx1+sin2x，可得f（x）的最小正周期為T故答案為：【知識點】三角函數的周期性、二倍角的三角函數 17.函數f（x）sin2xcos2x+1的最小正周期為【解答】解：f（x）sin2xcos2x+11cos2x，T故答案為：【知識點】二倍角的三角函數、三角函

12、數的周期性 18.若函數ycos（x+）為奇函數，則最小的正數【解答】解：函數ycos（x+）為奇函數，因為函數ycos（x+）sinx是奇函數，所以故答案為：【知識點】誘導公式、正弦函數的奇偶性和對稱性 19.曲線的一個對稱中心的坐標為（3，0），則的最小值為【解答】解：曲線的一個對稱中心的坐標為（3，0），則3+k，kZ，令k1，可得的最小值為，故答案為：【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性 20.已知函數f（x）cos（2x+）（|）的一個對稱中心是（，0），則的值為【解答】解：f（x）的一個對稱中心是，2+k+，kZ，得k，kZ，|，當k0時，故答案為：【知識點】余弦函數的對稱性 21.

13、函數的最小正周期為；若函數f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞增，則a的最大值為【解答】解：函數的最小正周期為；若函數f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞增，當x0時，2x+；當xa時，2x+2a+，2a+，0a，故答案為：；【知識點】正弦函數的單調性、三角函數的周期性 22.將函數f（x）2sin（2x）向左平移個單位后得函數g（x），則g（x）在0，上的最大值是【解答】解：將函數f（x）2sin（2x）向左平移個單位后，得函數g（x）2sin（2x+）2sin（2x+）的圖象，在0，上，2x+，故當2x+時，函數g（x）取得最小值為1；當2x+時，函數g（x）取得最大值為故答案為：【知識點】函數y

14、=Asin（x+）的圖象變換、正弦函數的單調性、三角函數的最值 23.已知函數f（x）2sinxcosx（0）的最小正周期為（）求的值；（）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（）若，（），求sin2的值【解答】解：（）f（x）2sinxcosxsin2x，最小正周期；（）f（x）sin2x，由，解得，kZf（x）sin2x的遞增區(qū)間為，kZ；（）f（x）sin2x，又，又，sin20，則【知識點】正弦函數的單調性、二倍角的三角函數 24.已知函數f（x）（cosx+sinx）cosx（1）求函數f（x）的最小正周期T；（2）當時，求函數f（x）的值域【解答】解：（1）函數f（x）（cosx+sinx）

15、cosxcos2x+sinxcosx+sin2xsin（2x+）+，故它的最小正周期為（2）當時，2x+，），故當2x+時，f（x）取得最小值為+0；當2x+時，f（x）取得最大值為 +，故函數的值域為0，【知識點】二倍角的三角函數、三角函數的周期性 25.已知函數f（x）2sin（x+）（0，0）為偶函數，且函數yf（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為（1）求的值；（2）求函數的對稱軸方程；（3）當時，求函數yf（x）的值域【解答】解：（1）f（x）2sin（x+）是偶函數，則+k（kZ），解得+k（kZ），又因為0，所以，所以2cosx，由題意得2，所以2，故f（x）2cos 2x，因此2c

16、os；（2）由f（x）2cos2x，得，所以，即，所以函數的對稱軸方程為；（3）由f（x）2cos2x，當時，2x0，cos2x1，1，則yf（x）的值域為2，2【知識點】正弦函數的奇偶性和對稱性 26.若函數f（x）cos（x+），0，|）的一個零點與之相鄰的對稱軸之間的距離為，且時f（x）有最小值（1）求f（x）的解析式；（2）若，求f（x）的值域【解答】解：（1）函數f（x）的一個零點與之相鄰的對稱軸之間的距離為，f（x）的周期為T，即，2；又x時f（x）有最小值，f（）cos（+）1，+2k+，解得2k，|，f（x）cos（2x）；（2）x，2x，當2x時，f（x）取得最小值1，當2x

17、時，f（x）取得最大值，f（x）的值域是1，【知識點】余弦函數的圖象 27.已知函數求函數f（x）在0，上的單調遞減區(qū)間【解答】解由已知得：，由，kZ，可得kZ，又x0，函數f（x）在0，的單調遞減區(qū)間為0，和，【知識點】正弦函數的單調性 28.已知函數f（x）a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，滿足f（）139（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）是否存在正整數n，使得f（x）0在區(qū)間0，）內恰有2021-2022個根若存在，求出n的值，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）函數f（x）a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，令x，得 a+4+913

18、9，解得a9；（2）f（x+）9|sin（x+）|+|cos（x+）|+4sin2（x+）+99（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9f（x），所以，f（x）的最小正周期為（3）存在正整數n4039，使得f（x）0在區(qū)間0，）內恰有2021-2022個根f（x）的最小正周期為，x0，），由f（x）0，解得x0，令+1，解得：n4042n4042，或4041【知識點】三角函數的周期性、兩角和與差的三角函數 29.已知函數f（x）2sinxcosx+2cos2x（）求函數f（x）的最小正周期；（）當x時，求f（x）的值域【解答】解：（）f（x）2sinxcosx+2cos2xsin2x+cos2x2sin（2x+），函數f（x）的最小正周期T；（）當x時，2x+，sin（2x+），1，f（x）2sin（2x+）的值域為，2【知識點】三角函數的最值、三角函數的周期性、兩角和與差的三角函數 30.已知函數（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；