1、第四章 拉普拉斯（Laplace）方程 的 格林（Green）函數法數學物理方法拉普拉斯方程 第四章 拉普拉斯（Laplace）方程的格林（Green）函數法 第一章，作為本課程的基礎，從試探、訓練的角度出發，對一些典型方程和定解條件的導出，進行了演繹。 第二、三兩章，我們較為系統地介紹了求解數學物理方程的三種常用方法： 分離變量法 行波法 積分變換法 本章，我們將介紹拉普拉斯的格林函數法。 先討論涉及此類方程解的一些重要性質 再建立格林函數的概念 然后通過格林函數建立拉普拉斯方程第一邊值問題解的積分表達式4.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法 在第一章中，我們已經從無源靜電場的電位分布和穩恒場的

2、溫度分布等兩個方面的問題，同時導出了三維拉普拉斯方程作為描述穩定的或平衡的物理現象之拉普拉斯方程，談它的初始條件是沒有意義的！至于邊界條件，如前所述有三種類型，但應用較為廣泛的是以下兩種邊值情況。（1） 第一邊值問題 在空間 中某一區域 的邊界 上，給定了連續函數 ，要求這樣一個函數 ,它在閉區域 （或記作 ）上連續，在 內有連續偏導數，且滿足拉普拉斯方程，在 上與已知函數 相重合，即第一邊值問題也稱為迪利克萊（Dirichlet)）問題，或簡稱為迪氏問題。 2.3中所討論過的問題，就是圓域內的狄氏問題。調和函數談到拉普拉斯的連續解，也就是說，具有二階連續偏導數并且滿足拉氏方程的 連續函數，稱

3、為調和函數。所以，迪氏問題也可以換一種說法：在區域 內 尋找一個調和函數，使它在邊界 上的值為已知?。?） 第二邊值問題 在某光滑的閉曲面的邊界 上給出連續函數 ，要求尋找這樣一個函數 ，它在 內部的區域 中是調和函數，在 上連續，在 上任意一點處的法向導數 存在， 并且等于已知函數 在該點的值：這里 是 的外法向矢量。第二邊值問題，也稱為牛曼（Neumann）問題 以上兩個邊值問題，都是在邊界上 給定某些邊界條件，而在區域內部求拉普拉斯方程的解，這樣的問題稱為內問題。（4） 牛曼外問題 在光滑的閉曲面的邊界 上給出連續函數 ，要求尋找這樣一個函數 ，它在 外部的區域 內是調和函數，在 上連續

4、，在 無窮遠處滿足條件（4.3），而且它在 上任意一點處的法向導數 存在，并滿足這里 是邊界曲面 的內法向矢量。（1） 第一邊值問題（2） 第二邊值問題（3） 迪氏外問題（4） 牛曼外問題 下面，我們重點討論內問題，所用的方法也可以用于外問題。光滑閉曲面（邊界）閉曲面 所包圍的空間 邊界 + 所包圍的空間 =因為上式左端所以有上式移項后，稱為第一 Green 公式交換 與 的位置，則有將（4.7）與（4.8）式相減，得到為第二 Green 公式為第一 Green 公式 利用格林公式，我們可以推出調和函數的一些基本性質。在公式（4.9）中， 被認為是調和函數了，同時假定它在上有一階連續偏導數，再

5、取 ，并以 代替上式中的 ，從而得到因為在 內是解析區， （依據解析函數的性質）。而在球面 上內球面法方向與半徑反向（復變函數對區域的定義）因此對第一項有被挖去小球后剩余部分，全部落在 區域之中，在此區域應用第二格林公式，有（4.11）變成這就是調和函數的基本積分表達式，它在區域 內任何一點處的值，可以用其在邊界 上的函數 和法向導數 的積分表示出來，極具廣泛的應用價值，是研究調和函數性質的基礎。同理，對第二項有將上面兩項結果代入 (4.11) 式，可得（3）調和函數的平均值定理證明 由調和函數基本積分表達式定理 調和函數 在其定義域 內任意一點 的值，等于 以 為球心，以 為半徑，且完全落在

6、 內部的這個 球面 上積分的平均值。 只需將上式應用球面 ，即 ，并注意以及牛曼內問題有解的必要條件所以（4）拉普拉斯方程解的唯一性問題現在，利用格林公式來討論拉普拉斯方程的唯一性問題。將證明如下結論： 設 ， 是定解問題的兩個解，則它們的差 也必定是原問題，且滿足邊界條件的解。對于迪氏問題， 滿足對于牛曼問題， 滿足以下需要證明：以下需要證明：事實上，在（4.8）中，取 ，則得由條件（4.16）或（4.17）得故在 內必有即4.3 格林函數 (Green Function) 調和函數的基本積分表達式上述（4.12）式說明了調和函數可以用邊界 上的函數 和邊界上法方向的導數 ，來確定它在區域

7、內任意一點 的函數值！ 但是，這個公式不能直接提供迪氏（Dirichlet) 問題或牛曼（Neumann）問題的解，因為公式中：既包含了又包含了對于狄氏問題而言已知，但 不知道而對于牛氏問題而言已知，但 不知道由解的唯一性知道，當給定了 之后，就不能再任意給定 。所以要想從（4.12）式中得到如迪氏問題的解，就必須消去 ，這就需要引進格林函數的概念。在上述第二格林公式（4.9）中，取 ， 均為 內的調和函數，且在 上有連續一階偏導數，則得將（4.12）與（4.18）相減，得如果能夠選取調和函數 ，使其滿足則（4.19）中的 項就被消去了，于是有 令則（4.21）式可表示為G 被稱為拉普拉斯方程

8、的格林函數 討論：(1) 階偏導數，對于 Laplace 方程的 Dirichlet 問題如果格林函數表達式中的 一經求得，且它在閉區域 上存在連續的一的解存在，那么這個解必定能夠表示成對于Poisson 方程 的 Dirichlet 問題若存在在 上一次連續可微的解，那么這個解必定能夠表示成 討論: (3) 格林函數在靜電學中有廣泛的應用 格林函數的靜電源像法或稱為鏡像法，其發源于靜電學原理。 設閉曲面 內一點 處，有一個單位正電荷。則它在 面的內側感應有一定分布的密度的負電荷，而在 的外側分布有相應的正電荷。（單位電荷的電量 q=1) 如果曲面 是導體并接地，則外側正電荷立即消失，且電位為

9、零。這時， 內任意一點 的電位，將由兩種電荷共同作用產生（貢獻）： 這就是定解問題（4.24）的解。因此這里格林函數也就是導體曲面內的電位。電像法這種在像點處放置一虛構的電荷，來等效替代界面上 感應電荷所產生電位的方法，稱之為電像法。4.4 兩種特殊區域的格林函數 (Green Function)及迪氏問題的解 只要求出了它的格林函數，這個區域內的迪氏問題的解，就能以積分形式表示出來。從（4.23）式知，對于一個由曲面 所圍成的區域 ， 實踐經驗告訴我們，對于某些特殊的區域，它的格林函數可以用電像法求得。所謂電像法 就是：在區域 外，找到 關于邊界 的像點 ， 然后在這個像點放置適當的負電荷，

10、 由它產生的負電位與 點單位正電荷所產生的正電位恰好在曲面 上互相抵消。 由于 在 內部，它的像點 在 的外部，所以放在 處的像電荷所產生的電位，在 內部 正是調和函數 ，而且依據要求，有 故，在 與 處，兩個點電荷產生的電場所形成的電位，就是所要求的格林函數。下面，將以半空間、球域為例，說明電像法的應用。（2） 尋找格林函數 （3） 求定解問題的解 4.4.2 球域的格林函數設有一球心在原點，半徑為 的球面 ， 在球內任取一點 ，連接并延長至 ，使 ，點 被稱為點 關于球面 的反演點或鏡像點。 在 放置單位正電荷，在 放置 單位的負電荷。 下面，需要適當選擇 的值，使得這兩個電荷所產生的電位

11、，在球面 上相互抵消。即或其中， 是球面 上任一點。以 表示 ，則（1）建立反演點 或鏡像點（2）尋找調和函數因此，只要在點 處放置 單位的負電荷，由它所形成的電場，在任一點 的電位這個電位 ，不僅在 所圍成的球域 的內部是調和函數！而且在 上具有一次連續可微，同時在 上滿足所以，球域的格林函數為（3）求解球域內的 迪氏問題現在，利用格林函數求球域內的迪氏問題的解。為此，需要計算出 ，注意到從更廣泛的意義上于是于是代入（4.23）式，可得球內迪氏問題的解在球面 上 , 有上式寫成球坐標形式其中：以上推導都是形式上的，即假定定解問題有解的條件下得到的解的表達式，至于（4.28)與（4.32）是否

12、就是定解問題的解，尚需加以驗證。在此從略。為什么要引入格林函數？為了建立 Laplace 方程解的表達式，需要導出 Green 公式。因為它是數學分析中線面 積分奧高公式的直接推論。2. 從解的形式（有限解分）入手，便于深入地進行理論分析和研究。3. 以統一的方式，研究各類定解問題。4. 對于線性問題，格林函數一旦求出，就可以計算任意源的場。最為漂亮的是求點源場分布。幾種方法的比較1. 行波法：廣泛應用于無界空間的波動問題，有一定的局限性。分離變量法：誠然很基本、很重要。可以應用于頗為廣泛類型的定解問題，但其解為無 窮級數，這總將帶來一些不便。格林函數法：直接求特解，囊括了各種定解問題。只要求

13、出各類邊值問題相應的格林函 數 G , 問題迎刃而解。內容提要1. 格林公式 設 是以足夠光滑的曲面、 為邊界的有界區域。函數 和 在 上具有一階連續偏導數，在 內具有連續二階偏導數，則有（1）第一格林公式：（2）第二格林公式：2. 調和函數的基本性質（1）基本積分公式上述（4.12）式說明了調和函數可以用邊界 上的函數 和邊界上法方向的導數 ，來確定它在區域 內任意一點 的函數值！內容提要（2）（3）平均值公式3. 格林函數的定義4. 特殊區域上的格林函數（1）上半空間的格林函數內容提要（2）球域的格林函數5. 特殊區域上拉普拉斯方程狄利克雷問題的解（1）上半空間上狄利克雷問題的解為內容提要（2）球上狄利克雷問題的解為或寫成球坐標形式為內容提要