1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業向量的知識點與高考應用及題型融合一,向量重要結論、及基礎知識點公式總結（1）、向量的數量積定義： 規定， （2）、向量夾角公式：與的夾角為，則（3）、向量共線的充要條件：與非零向量共線存在惟一的，使。（4）、兩向量平行的充要條件：向量,平行（5）、兩向量垂直的充要條件：向量（6）、向量不等式：，（7）、向量的坐標運算：向量,，則（8）、向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比較大小，但向量的模可以

2、比較大小。相等向量：長度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區別）（11）、單位向量：模為1個單位長度的向量 向量為單位向量1（12）、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量注：解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：（1） 給出直

3、線的方向向量或，要會求出直線的斜率；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5）給出以下情形之一：；存在實數；若存在實數,等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三

4、角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內心；（15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線。（17）如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底（18）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（19）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，

5、只與其相對位置有關（20）1.結合律不成立：；2.消去律不成立不能得到3.=0不能得到=或=向量與三角函數的結合向量與三角函數結合，題目新穎而精巧，既符合在知識的“交匯處”構題，又加強了對雙基的考查1.（江西18）已知向量.是否存在實數若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.解： 2已知向量和，且求的值.分析：考查知識點：（三角和向量相結合）解:=由已知,得又 3.（2009上海卷文）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 . 已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量， .若/，求證：ABC為等腰三角形；若，邊長c = 2，角C = ，求ABC

6、的面積 .證明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑，為等腰三角形解（2）由題意可知由余弦定理可知， 與函數的結合向量與函數的結合，是以向量為載體來考查函數，所以本質上仍然是函數題4.已知集合M=1,2,3,N=1,2,3,4.定義函數若三角形ABC的外接圓圓心為D,且則滿足條件的函數f(x)有（ ）A 6個 B 10個 C 12個 D 16個5.（湖北理17）已知向量在區間（1，1）上是增函數，求t的取值范圍.分析：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、利用導數研究函數的單調性，以及運用基本函數的性質分析和解決問題的能力。解法1：依定義開口向上的拋物線，故要使在區間（1，1）上恒成立.

7、解法2：依定義的圖象是開口向下的拋物線，與解析幾何的結合平面向量與解析幾何結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算6已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（C）（A） （B） （C） （D）7已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內的動點，滿足，則動點P（x，y）的軌跡方程為（ B ）（A）（B）（C）（D）8.已知點A(-2,0),B(3,0),動點P(x,y)滿足，則點P的軌跡是（D） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線點評此題考查軌跡方程和向量的基本運算等知識，屬于較

8、簡單的題.9.（2009全國卷理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=(a). (b). 2 (C). (D). 3解:過點B作于M,并設右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A10.（2009浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的離心率是 ( )A B C D答案：C 【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，則有，因11.（2009浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點若，則橢圓的離心率是（ ）A B C DD 【命題意圖】對于對解析

9、幾何中與平面向量結合的考查，既體現了幾何與向量的交匯，也體現了數形結合的巧妙應用【解析】對于橢圓，因為，則12.（2009四川卷文）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則 A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【答案】C【考點定位】本小題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的定義，基礎題。（同文8）解析：由題知，故，故選擇C。解析2：根據雙曲線漸近線方程可求出雙曲線方程，則左、右焦點坐標分別為，再將點代入方程可求出，則可得，故選C。13.（2009全國卷理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為A B. C. D. 解：設雙曲線的右準線為,過

10、分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又 故選A14.（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_.【答案】3【解析】依題意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。15.已知橢圓(ab0)上總存在點P,使,其中F1,F2是橢圓的焦點,那么該橢圓離心率的取值范圍是點評此題借助向量語言給出的垂直關系，重點考查橢圓的幾何性質.向量與解析解答題16已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|+|=4.求點P(x,y)的軌跡C的方程.如果過點Q(0，m)且方向向量為 =(1,1) 的直線l與點

11、P的軌跡交于A，B兩點，當AOB的面積取到最大值時，求m的值。解：(1) =, |=,且|+|=4.點P(x,y)到點(,0)，(-,0)的距離這和為4，故點P的軌跡方程為(2)設A(),B()依題意直線AB的方程為y=x+m.代入橢圓方程，得，則+=-m, =因此，當時，即m=時，變式1 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|-|=2.求點P(x,y)的軌跡C的方程.(軌跡為雙曲線)變式2 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足=|.求點P(x,y)的軌跡C的方程. 提示：設K(-,0)，F (,0)，則表示在x軸上射影，即點P到x= -的距離，所以點P到定點F的距

12、離與到定直線x= -的距離比為1，故點P的軌跡是以(,0)為焦點以x= -為準線拋物線變式3 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足=|.求點P(x,y)的軌跡C的方程.提示：設K(-,0)，F (,0)，則表示在x軸上射影，即點P到x= -的距離，所以點P到定點F的距離與到定直線x= -的距離比為，當時，點P的軌跡是以(,0)為焦點，以x= -為相應準線的橢圓；當時，點P的軌跡是以(,0)為焦點，以x= -為相應準線的雙曲線的右支；若想得到雙曲線的雙支應滿足什么條件？變式4 已知平面上兩定點K、F，P為一動點，滿足，.求點P(x,y)的軌跡C的方程.(以F焦點，過K且垂直于KF的

13、直線為準線的拋物線)變式5 已知平面上兩定點K、F，P為一動點，滿足，.求點P(x,y)的軌跡C的方程.(以F焦點，過K且垂直于KF的直線為準線的圓錐曲線。)17. 已知點A(，0)，B(，0)動點P滿足(1)若動點P的軌跡記作曲線C1，求曲線C1的方程.(2)已知曲線C1交y軸正半軸于點Q，過點D（0，）作斜率為k的直線交曲線C1于M、N點，求證：無論k如何變化，以MN為直徑的圓過點Q. 解：（1）設P(x，y)，則有 得： （2）由 得Q (0，) 設直線C的方程為y=kx-代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2設M(x1，y1) N(x2，y2) 又= 點Q在以MN為直徑的圓上.

14、變式1 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|+|=4.求點P(x,y)的軌跡C的方程. (,點P軌跡為圓，其中A（，0），B（，0）)變式2 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足6.求點P(x,y)的軌跡C的方程. (軌跡為圓)18設橢圓方程為,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B,O是坐標原點,點P滿足,點N的坐標為.當l繞點M旋轉時,求(1)動點P的軌跡方程;(2)的最大值和最小值. 解析設，代入中消得. 設則 設，則 ，消得 當不存在時，中點為（0，0），滿足上述方程. 所以P點軌跡方程是.由P點軌跡方程知 所以，當時，；當時，.點評此題主要考查平面向量的

15、基本運算、直線和圓錐曲線相交問題、軌跡方程的求法和應用、配方法求函數的最值等基本知識，考查了解析幾何的基本思想和綜合解題能力.19.【文】（）求M()的軌跡C；()過點（0，3）作直線與曲線交于A,B兩點，是否存在直線使OAPB為矩形解：（）設，則因此，點的軌跡是以為焦點，長軸長為8的橢圓，其方程為（）假設存在這樣的直線，使得為矩形，并設與橢圓方程聯立得：設，則是（*）的兩根，且因為為矩形，故則，由此可得：解得：因此，當直線的斜率為時，可使為矩形20【文】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點；（1）求點C的軌跡方程；（2）求證：；（3）在x軸正

16、半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.解：（1）設，由知，點C的軌跡為.（2）由消y得：設，則，,所以，所以，于是 （3）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為,由消x得：，設，則，.因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以即,所以得，所以存在. 21已知A、B為拋物線x2=2py (p0)上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D.（1）若，求拋物線的方程。（2）CD是否恒存在一點K，使得解：（1）提示：記A（）、B （）設直線AB

17、方程為代入拋物線方程得x2-2kpx-p2=0 ，（2）設線段AB中點P在在準線上的射影為T，則0故存在點K即點T，使得22.設平面內向量（x，0）、（1，y），滿足：()()（1）求點P（x，y）的軌跡方程；（2）若直線l：ykxm （km0）與所求曲線C交于A、B兩點，D（0，1）且,求m的取值范圍。【解】（1）()() ()()00 即為所求曲線的軌跡方程。（2）設A（）、B（），由得： 則 ， 即：把代入，解得m由得：12()0把代入化簡得：0 m4或mmOxyF11MP23. (重慶卷) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。解：（）設雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即 設，則而于是 由、得 故k的取值范圍為24.(天津市十二區縣重點中學) 如圖，若為雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，在雙曲線左支上，在右準線上，且滿足（）求此雙曲線的離心率；（）若此雙曲線過點求雙曲線的方程；（）設（）中雙