1、近世代數課件不變子群商群第1頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三10.1 定義這一節里要講到一種重要的子群，就是不變子群 給了一個群 ，一個子群 ，那么 的一個右陪集 未必等于 的左陪集 ，這一點我們在上一節的例里已經看到第2頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三一個不變子群 的一個左(或右)陪集叫做 的一個陪集. 意味著: 嗎? 反過來呢? 在元素間意味著什么?不變子群又稱為正規子群注1.注2.注3.注4. 定義一個群 的一個子群 叫做一個不變子群,假如對于 的每一個元 來說,都有 第3頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三10.

2、2 例子例一個任意群 的子群 和 總是不變子群，因為對于任意 的元 來說，例 剛好包含群 的所有有以下性質的元 ， ，不管 是 的哪一個元證明: 是 的一個不變子群第4頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三證明: . 的每一個元 可以同 的每一個元 交換，所以 ，即 是不變子群(1) 是子群.因為 ，所以 是非空的這就是說， 是一個子群 ， 又這個不變子群 叫做 的中心第5頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三例 一個交換群 的每一個子群 都是不變子群因為 的每一個元 可以和任意一元 交換， ，所以對于一個子群 來說， 例 那么， ， 是一個不變子群從這

3、個例子可以總結出一般性結論嗎?注5.第6頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三10.3 等價條件現在復習一下群 的子集的乘積: 設A，B是群 的兩個非空子集,規定，容易證明:，由于結合律成立, ， ， 的乘積用符號 來表示第7頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三定理 一個群 的一個子群 是一個不變子群的充分而且必要條件是：對于 的任意一個元 都對證明 證完 注5. 可以換成 ?第8頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三證明這個條件的必要性是顯然的，是定理的直接結果我們證明它也是充分的定理一個群 的一個子群 是一個不變子群的充分而且必

4、要條件是：，條件 意味著（） 因為 也是 的元，在（）中以 代 ,證完第9頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三 要測驗一個子群是不是不變子群，用定理的條件一般比較方便注6.用定理的條件可以改寫成，注7.等價于 注8.等價于？注9.第10頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三小結:群 的一個子群 , ， .下面條件等價:1. 2.3. 4.注意: 不變子群不具有傳遞性.第11頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三10.4 商群 不變子群所以重要，是因為這種子群的陪集，對于某種與原來的群有密切關系的代數運算來說，也作成一個群 我們看一個

5、群 的一個不變子群 的所有陪集作成一個集合第12頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三 相對 :是一個元素, 相對 :是一 個子集.(2) 有不同的表示方式. 的子集的乘積,計算兩個陪集 和 的 成績 定理一個不變子群的陪集對于上邊規定的乘法來說作成一個群第13頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三證明我們證明群定義的條件， 能被滿足顯然 是單位元,因為 有逆元 ,因為證完第14頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三 定義一個群 的一個不變子群 的陪集所作成的群叫做一個商群這個群我們用符號 來表示 因為 的指數就是 的陪集的個數，我們顯然有，商群 的元的個數等于 的指數當 是有限群的時候，第15頁，共17頁，2022年，5月20日，18點44分，星期三從商群的角度重新認識剩余類加群第一，回憶剩余類加群。第二，重