東北一模數學試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.實數-2的絕對值是（）A.-2B.2C.±2D.1/22.一元二次方程$x^2-3x=0$的解是（）A.$x=3$B.$x_1=0，x_2=3$C.$x=0$D.$x_1=0，x_2=-3$3.函數$y=\sqrt{x-1}$中，自變量$x$的取值范圍是（）A.$x>1$B.$x\geq1$C.$x<1$D.$x\leq1$4.一個多邊形的內角和是$720^{\circ}$，這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形5.已知點$A(2，y_1)$、$B(4，y_2)$都在反比例函數$y=\frac{k}{x}(k<0)$的圖象上，則$y_1$、$y_2$的大小關系為（）A.$y_1>y_2$B.$y_1<y_2$C.$y_1=y_2$D.無法確定6.若一次函數$y=kx+b$（$k$、$b$為常數，且$k\neq0$）的圖象經過點$A(0，-1)$，$B(1，1)$，則不等式$kx+b>1$的解集為（）A.$x<0$B.$x>0$C.$x<1$D.$x>1$7.如圖，在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，則$\sinA$的值是（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$8.已知圓錐的底面半徑為$3cm$，母線長為$5cm$，則圓錐的側面積是（）A.$20\picm^2$B.$15\picm^2$C.$10\picm^2$D.$5\picm^2$9.若關于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+m^2-1=0$的常數項為0，則$m$的值是（）A.1B.-1C.±1D.010.拋物線$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的對稱軸為直線$x=1$，與$x$軸的一個交點坐標為$(-1，0)$，其部分圖象如圖所示，下列結論：①$4ac<b^2$；②方程$ax^2+bx+c=0$的兩個根是$x_1=-1$，$x_2=3$；③$3a+c>0$；④當$y>0$時，$x$的取值范圍是$-1<x<3$。其中正確的結論有（）A.1個B.2個C.3個D.4個答案：1.B2.B3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.C多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列運算正確的是（）A.$a^2+a^3=a^5$B.$a^6\diva^2=a^4$C.$(a^2)^3=a^6$D.$2a\times3a=6a^2$2.以下圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形3.下列數據是2023年10名學生的體重（單位：kg）：42，48，50，53，49，50，50，53，51，67。這組數據的眾數和中位數分別是（）A.50B.51C.52D.534.若點$A(x_1，y_1)$、$B(x_2，y_2)$在二次函數$y=x^2-2x-1$的圖象上，且$x_1<x_2<1$，則$y_1$與$y_2$的大小關系可以是（）A.$y_1>y_2$B.$y_1=y_2$C.$y_1<y_2$D.無法確定5.下列命題中，真命題有（）A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線相等的平行四邊形是矩形6.已知$\odotO$的半徑為5，點$P$到圓心$O$的距離為$d$，若關于$x$的方程$x^2-3x+d=0$有實根，則點$P$（）A.在$\odotO$內B.在$\odotO$上C.在$\odotO$外D.可能在$\odotO$上或內7.一次函數$y=-2x+3$的圖象經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.下列函數中，$y$隨$x$的增大而減小的函數是（）A.$y=-2x+1$B.$y=3x-2$C.$y=\frac{1}{x}(x>0)$D.$y=x^2-2x-3(x<1)$9.已知二次函數$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象如圖所示，對稱軸為直線$x=1$，則下列結論正確的是（）A.$abc>0$B.$a+b+c<0$C.$b^2-4ac>0$D.$2a+b=0$10.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$、$CE$是$\triangleABC$的兩條高，$AD=8$，$BC=12$，則下列說法正確的是（）A.$S_{\triangleABC}=48$B.$CE=\frac{48}{AB}$C.若$\angleBAC=45^{\circ}$，則$AE=BE$D.若點$F$是$AB$中點，則$DF=\frac{1}{2}AB$答案：1.BCD2.ABC3.AB4.ABC5.ACD6.BD7.ABD8.ACD9.CD10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.無理數就是開方開不盡的數。（）2.兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等。（）3.對角線相等的四邊形是矩形。（）4.若$a>b$，則$ac^2>bc^2$。（）5.函數$y=\frac{1}{x-1}$中，自變量$x$的取值范圍是$x\neq1$。（）6.正多邊形都是中心對稱圖形。（）7.拋物線$y=x^2-2x+3$的頂點坐標是$(1，2)$。（）8.數據1，2，3，4，5的方差是2。（）9.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（）10.若一個圓錐的側面展開圖是半圓，則這個圓錐的母線長與底面半徑之比是2。（）答案：1.×2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√簡答題（每題5分，共4題）1.計算：$\sqrt{12}-4\sin60^{\circ}+(2023-\pi)^0-(\frac{1}{2})^{-1}$答案：-先化簡各項：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$4\sin60^{\circ}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$；-任何非零數的0次方為1，所以$(2023-\pi)^0=1$；-一個數的負指數冪等于其正指數冪的倒數，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$。-原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1-2=-1$。2.解方程：$\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=1$答案：-方程兩邊同乘$(x+1)(x-1)$去分母得：$x(x+1)-2=(x+1)(x-1)$；-展開式子得$x^2+x-2=x^2-1$；-移項可得$x^2+x-x^2=-1+2$；-解得$x=1$。-檢驗：當$x=1$時，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，原方程無解。3.已知一個二次函數的圖象經過點$A(0，-3)$，$B(1，0)$，$C(-1，-4)$，求這個二次函數的解析式。答案：-設二次函數解析式為$y=ax^2+bx+c$。-把$A(0，-3)$，$B(1，0)$，$C(-1，-4)$分別代入得：-把$A(0，-3)$代入得$c=-3$；-把$B(1，0)$代入得$a+b+c=0$；-把$C(-1，-4)$代入得$a-b+c=-4$。-將$c=-3$代入$a+b+c=0$和$a-b+c=-4$，得方程組$\begin{cases}a+b-3=0\\a-b-3=-4\end{cases}$-解方程組得$a=1$，$b=2$。-所以二次函數解析式為$y=x^2+2x-3$。4.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，以$AB$為直徑的$\odotO$交$BC$于點$D$，過點$D$作$DE\perpAC$，垂足為$E$。求證：$DE$是$\odotO$的切線。答案：-連接$OD$。-因為$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$。-又因為$OB=OD$，所以$\angleB=\angleODB$，則$\angleODB=\angleC$。-所以$OD\parallelAC$。-因為$DE\perpAC$，所以$DE\perpOD$。-又$OD$是$\odotO$半徑，所以$DE$是$\odotO$的切線。討論題（每題5分，共4題）1.在直角坐標系中，一次函數與反比例函數圖象有交點，結合函數圖象討論它們交點個數與函數系數之間的關系。答案：-設一次函數$y=k_1x+b$，反比例函數$y=\frac{k_2}{x}$。-聯立方程得$k_1x+b=\frac{k_2}{x}$，即$k_1x^2+bx-k_2=0$。-由判別式$\Delta=b^2+4k_1k_2$決定。-當$\Delta>0$，有兩個交點；$\Delta=0$，有一個交點；$\Delta<0$，無交點。2.討論如何利用相似三角形的性質測量學校旗桿的高度。答案：-可以在同一時刻，在旗桿旁立一根已知長度的標桿。-分別測量出標桿的影長和旗桿的影長。-因為同一時刻，太陽光線平行，所以標桿與旗桿及它們的影子構成相似三角形。-利用相似三角形對應邊成比例，即標桿高度與旗桿高度之比等于標桿影長與旗桿影長之比，從而算出旗桿高度。3.二次函數$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸的交點個數與一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根有什么關系？請討論。答案：-二次函數$y=ax^2+bx+c$圖象與$x$軸交點的橫坐標就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。-當$\Delta=b^2-4ac>0$，方程有兩個不同實根，函數圖象與$x$軸有兩個交點；-當$\Delta=0$，方程有兩個相同實根，函數圖象與$x$軸有一個交點；-當