1、三角形的中線與面積的三個重要結論三角形的中線與三角形的面積有著密切的關系，下面就來探討一下這個話題.一、三角形的中線與面積1、三角形的一條中線與面積如圖1,AD是三角形ABC的中線，則S三角形ABDS三角形ACDS三角形ABC證明：因為AD是三角形的中線，所以BD=CD,過點A作AE丄BC，垂足為E,則S三角形abd=2XBDXAE，XCDXAE,所以S三角形AR。=S三角形ACD，所以S=S=1S三角形ABD三角形ACD2三角形ABC由此得到如下結論：1、等底同高的兩個三角形面積相等.2、三角形的一條中線分原來三角形所成的兩個三角形面積相等.2、三角形的二條中線與面積如圖2,AD,BE是三角

2、形ABC的中線，則S三角形BDF=S三角形AEF；S三角形ABF=S四邊形。”丘s=S=2S=2S=1S.三角形ABF四邊形CDFE三角形BDF三角形AEF3三角形ABC證明：因為AD、BE是三角形的中線，所以S三角形AR。=S三角形A。，S三角形abe=S三角形BCE所以s+s=S+S(1),三角形BDF三角形ABF三角形AEF四邊形CDFEs+s=S+S(2),三角形AEF三角形ABF三角形BDF四邊形CDFETOC o 1-5 h z1）（2）得SS=SS，所以S=S；三角形BDF三角形AEF三角形AEF三角形BDF三角形BDF三角形AEF因為S+S=S+S，所以S=S三角形BDF三角形

3、ABF三角形AEF四邊形CDFE三角形ABF四邊形CDFE如圖2,連接CF，易得S三角形bdf=三角形CDF=三角形AEF=三角形CEF所以S=S=2S=2S=1S三角形ABF四邊形CDFE三角形BDF三角形AEF3三角形ABC由此得到如下結論：1、三角形的兩條中線分原來三角形所成的四個圖形中，對頂的兩個圖形面積相等.2、三角形的兩條中線分原來三角形所成的四個圖形中，四邊形的面積等于不對頂三角形面積的2倍.3、三角形的三條中線與面積如圖3,AD,BE,CF是三角形ABC的中線，設厶BGD的面積為S,BGF的面積為S,AGF12的面積為耳,AGE的面積為S,CGE的面積為耳,CGD的面積為S，A

4、BC的面積為3456S.則s=S=S=S=S=S=S.1234566圖M證明：因為AD是三角形ABC的中線，所以BD=CD，因為三角形ABD和三角形ACD的高相同,所以三角形ABD的面積和三角形ACD的面積相等，即S+S+S3=S+S6.123456因為三角形BGD和三角形CGD的高也是相同的，所以兩個三角形的面積相等即S=S6.16所以S2+S3=S4+S5.因為三角形BGF和三角形AGF的高相同,BF=AF，所以；BFh=；AFh，其中h是點G到AB的距離，所以S=S3,同理可證S=S5,所以2S3=2S,所以S3=S,TOC o 1-5 h z23453434所以S=S=S=S，同理可證

5、S=S=S=S.所以S=S=S=S=S=S.因為三角形23451236123456ABC的面積為S,所以S=S=S3=S=S5=S6=S.1234566由此我們得到如下結論：三角形的三條中線分三角形成六個小三角形，則六個小三角形的面積相等，等于三角形面積的六分之一.二、結論在解題中的應用例1（2015廣東省）如圖4,ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若三角形ABC的面積為12,則圖中陰影部分面積是分析：這是三條中線分割三角形的情形，每一個小三角形的面積是相等，且等于原來三角形11面積的2個就是面積的631解：因為三角形ABC的面積為12，所以陰影部分的面積為3X12=4.例2三角形的

6、一條中線把其面積等分，試用這條規律完成下面問題：（1）把一個三角形分成面積相等的4塊（至少給出兩種方法）；（2）在一塊均勻的三角形草地上，恰好可放養84只羊，如圖5,現被兩條中線分成4塊，則四邊形的一塊（陰影部分）恰好可放養幾只羊？分析：抓住等底同高的兩個三角形面積相等，依托三角形的中線性質，完成求解.解：（1）此題的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面給出了幾種分割方法,供同學們學習時，參考.(2)根據中線分割圖形與原來三角形面積之間關系知道，四邊形的面積是整個圖形面積的三1分之一，因為是均勻分布，所以這塊面積應該有3X84=28(只)羊.例3如圖6所示，在ABC中，已知點D,E,

7、F分別為邊BC,AD,CE的中點，且S人直。=4cm2,則S陰影等于.解：因為點D是BC的中點，所以SACD1ABD2SABC=2X4=2.所以SEDS因為點E是AD的中點，所以SbedABX2TX2=1-所以SjECBED+SED=1+1=2,點F是E1BEC=2X2=1.斕題的解答：積為JE,使得AE=AC，則陰影部分的面積例4已知三角形ABC的面積為1、如圖7,延長BC到D,2、如圖8,延長BC到為3、如圖9,延長BC到D,使得CD=BC,延長CA到E,使得AE=AC,延長AB到F,使得AB=FB,則陰影部分的面積為4、如圖10,延長BC到D,使得CD=BC,延長CA到E,使得AE=AC

8、,延長AB到F,使得AB=FB,連接DF，則陰影部分的面積為；三角形DEF的面積是分析：依據條件，結合三個結論，認真分析，就能輕松完成解答.解：1、如圖7,AC是三角形ABD的中線，所以陰影面積與三角形ABC的面積相等，所以應該填a；2、如圖8,當我們連接AD時，不難發現三角形ACD的面積與三角形AED的面積相等，所以陰影部分的面積為2a；3、如圖9，三角形AEF的面積與三角形CDE的面積是相等，所以陰影部分的面積是4a；4、如圖10,三角形BFD的面積等于三角形CDE的面積，所以陰影部分的面積為6a；三角形DEF的面積為陰影部分的面積加三角形ABC的面積，所以是7a，也就是說此時三角形的面積是原來三角形ABC面積的7倍.我們不妨把得到的三