1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)計(jì)算行列式. 定義. 定理. 性質(zhì)1. (上三角行列式)(下三角行列式)性質(zhì)2. 性質(zhì)3. 性質(zhì)4. 性質(zhì)5 性質(zhì)6 行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零. 性質(zhì)7 . |AT|A| 性質(zhì)8. |A|n|A|其中n為矩陣A的階數(shù) 性質(zhì)9. 設(shè)A, B都是n 階矩陣, 則|AB|A|B|性質(zhì)10.例1: 計(jì)算解:例2. 解: 例3. 解: 例4: 計(jì)算解:伴隨矩陣的性質(zhì).1. 設(shè)A為n階方陣， 其中Aij是|A|的(i,j)元的代數(shù)余子式.則AA*A*A|A|E 稱為矩陣A的伴隨矩陣?yán)?. 解: 例5. 解 性質(zhì). 例8. 解. 例9. 解: 性質(zhì).例9. 解: 把矩

2、陣A通過若干次初等行變換化簡(jiǎn)成階梯形矩陣和最簡(jiǎn)形矩陣. 二. 求解方程組. (重點(diǎn)) 定義. 若在矩陣A中有一個(gè)r階子式D非零 且所有r1階子式(如果存在的話)都為零 則稱D為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式 稱數(shù)r為矩陣A的秩 記作R(A) 規(guī)定零矩陣的秩等于0 求矩陣的秩.矩陣秩的基本性質(zhì)0R(Amn)minm n R(AT)R(A) 3. 若AB 則R(A)R(B) 4.若P, Q可逆 則R(PAQ)R(A)6. maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特別地 當(dāng)B 為列向量時(shí) 有 R(A)R(A )R(A)1(一). 線性方程組AmnXn1=m1的求解.定理. 1.不含參數(shù)的線

3、性方程組的求解.2.含參數(shù)的線性方程組的求解.(因?yàn)楹瑓?shù)的矩陣不太好化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形矩陣, 一般只能把它化簡(jiǎn)成階梯形矩陣.)克拉默法則:例1. (3學(xué)分) 例2. (3學(xué)分) 例3. (109頁, 習(xí)題28) 解. 例4 (2學(xué)分) 解： 性質(zhì). (2)方程組的解的結(jié)構(gòu)定理例5. 解 例6. 解: 例7. 解: (二). 求解矩陣方程AmnXnl=Bml .所以矩陣方程的求解實(shí)際上是若干個(gè)線性方程組的求解.例8. (3學(xué)分) 定理. 存在可逆矩陣P，Q 使PAQB (3)矩陣A等價(jià)于B(1)矩陣A行等價(jià)于B存在可逆矩陣P 使PAB存在可逆矩陣Q 使AQB(2)矩陣A列等價(jià)于B引理.例9. 例10

4、. (56頁, Ex18) 解 例11 解:性質(zhì). 三. 討論向量組的線性相關(guān)性.定理. 特別的, 例1. 解 例2. (3學(xué)分) 解例3.(108頁Ex17) 證: 四. 求向量組的最大無關(guān)組. (重點(diǎn))定理(最大無關(guān)組的等價(jià)定義). 注意: 一般來說, 最大無關(guān)組不唯一. 實(shí)際上, 設(shè)向量組A的秩為r, 則向量組A的任意r個(gè)線性無關(guān)的向量都是向量組A的最大無關(guān)組. 定理. 矩陣的秩等于它的列向量組的秩, 也等于它的行向量組的秩. 定義求m維列向量組1, 2, ,n的最大無關(guān)組, 并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.例1. 解 性質(zhì). 例2. 解: 五. 矩陣的對(duì)角化.1. 討

5、論一般矩陣的對(duì)角化問題.性質(zhì). 定理1. 矩陣可對(duì)角化的判別準(zhǔn)則: 定理2. 若 n 階矩陣 A 有 n 個(gè)互不相等的特征值, 則 A 可對(duì)角化. 例1. 解: 例2.(3學(xué)分) 解: 注意上面的對(duì)角矩陣中的主對(duì)角線上的特征值的排列次序和可逆矩陣P中列向量的排列是對(duì)應(yīng)的. 性質(zhì).例3. 解: 例4. (3學(xué)分)(參考Ex24) 證: (1) (2) (3) (4) 2. 用正交矩陣把對(duì)稱矩陣化成對(duì)角矩陣, 或者利用正交變換把二次型化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形. (重點(diǎn))施密特正交化定理.注意上面的對(duì)角矩陣中的主對(duì)角線上的特征值的排列次序和正交矩陣P中列向量的排列是對(duì)應(yīng)的. 例5. 解: 例6.(135頁Ex20) 解: 例7.(2學(xué)分) 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣A的各行元素之和均為3，向量 是線性方程組AX=0的兩個(gè)解， （1）求A的特征值與特征向量解: 定義. 注意: 利用正交變換把二次型化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形(重點(diǎn)) : 例10. 解: 七. 計(jì)算矩陣的k次冪. 性質(zhì). 例1. 解: 例2. 解: 例3. 解: 八. 討論二次型的正定性. 定理. 例. 解:九. 計(jì)算線