1、并聯(lián)(bnglin)機(jī)器人的雅可比，可操作性，條件數(shù)和精度（翻譯(fny)論文）雖然在最早的機(jī)器人研究(ynji)中就已經(jīng)有了雅可比矩陣的概念、可操縱性、條件數(shù)的概念，但是它們的真正意義并不是很好理解。在本文中，我們重新審視這些作為并聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計(jì)精度指標(biāo)的概念。首先，我們指出，通常的雅可比矩陣的輸入輸入方程可能不足以分析平臺(tái)的定位誤差。然后我們檢驗(yàn)可操縱性的概念，表明其經(jīng)典的解釋是錯(cuò)誤的。我們考慮各種常見的局部靈巧指數(shù)，其中大部分是基于雅可比矩陣的條件數(shù)。值得注意的是，即使對(duì)于一個(gè)給定的機(jī)器人，在一個(gè)特定的姿態(tài)也會(huì)有各種各樣的條件數(shù)，這些條件數(shù)之間都不一致，和我們想得到的精度指標(biāo)也不一致。

2、然后考慮了全局調(diào)節(jié)指數(shù)。除了存在基于錯(cuò)誤的局部準(zhǔn)確性指數(shù)的問題外，還有一個(gè)忽略了大部分時(shí)間而進(jìn)行計(jì)算的計(jì)算問題。最后，我們檢驗(yàn)了其他哪些指標(biāo)可用于優(yōu)化設(shè)計(jì)，并且介紹了計(jì)算它們的難度。1 引言我們將使用一個(gè)相對(duì)通用的非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定義。當(dāng)一個(gè)機(jī)構(gòu)用至少兩個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈來控制自由度n6的末端執(zhí)行器時(shí)，我們定義它為并聯(lián)機(jī)構(gòu)，而其他的6-n個(gè)自由度是一個(gè)恒定值通過單自由度驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)控制。此外，如果將驅(qū)動(dòng)器鎖定，則末端執(zhí)行器的自由度為0，非驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)有一個(gè)單自由度。這樣的定義涵蓋了經(jīng)典的六自由度機(jī)器人，比如Gough和Hexa平臺(tái)，還有少于六自由度的機(jī)構(gòu)，如Delta和3-UPU機(jī)構(gòu)。如今，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域越

3、來越廣，如望遠(yuǎn)鏡、精定位裝置、包裝速度快、機(jī)床、醫(yī)療。對(duì)尺寸非常的敏感是并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵問題。最優(yōu)設(shè)計(jì)的方法有靜力學(xué)性能指標(biāo)。精度顯然是許多應(yīng)用中的一個(gè)關(guān)鍵問題。并聯(lián)機(jī)構(gòu)也有串聯(lián)機(jī)構(gòu)的一些關(guān)鍵問題，因此，針對(duì)這些問題做了很多廣泛的研究，定義除了很多準(zhǔn)確性指標(biāo)，這些結(jié)果已經(jīng)應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)構(gòu)上。本文的目的是檢驗(yàn)這些指標(biāo)是否適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)。雅可比矩陣和逆雅可比矩陣用于研究末端執(zhí)行器的定位精度的，為了這個(gè)目的，很有必要研究它們的概念。2 雅可比矩陣和逆雅可比矩陣讓Xa表示末端執(zhí)行器的廣義坐標(biāo)，由末端執(zhí)行器的N個(gè)自由度參數(shù)組成。而讓X表示末端執(zhí)行器的所有廣義坐標(biāo)，即，一組參數(shù)完全描述末端執(zhí)行器的

4、移動(dòng)和方向。對(duì)于參數(shù)X的選擇，我們不考慮任何限制（如：一個(gè)Gough機(jī)器人平臺(tái)的姿勢(shì)可能用末端執(zhí)行器上三個(gè)不相關(guān)聯(lián)的三個(gè)點(diǎn)的九個(gè)坐標(biāo)來表示）。末端執(zhí)行器的扭轉(zhuǎn)W由平移速度V和角速度組成，將受限制的轉(zhuǎn)動(dòng)定義為Wa。眾所周知，機(jī)器人擁有至少兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。W不是X對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)檫@里沒有表示方向的衍生品對(duì)應(yīng)的角速率。不過，通常存在矩陣H、K使得機(jī)器人的內(nèi)部(nib)幾何形狀可以用一系列參數(shù)(cnsh)進(jìn)行(jnxng)描述，這些參數(shù)可以描述大多數(shù)或者全部的關(guān)節(jié)，包括被動(dòng)的非驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。這些變量是關(guān)節(jié)變量矢量組成的。通常定義的雅可比矩陣涉及到關(guān)節(jié)變量矢量，關(guān)節(jié)變量矢量受到驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的限制，并且基于驅(qū)動(dòng)

5、關(guān)節(jié)速度和受限制扭轉(zhuǎn)之間的線性關(guān)系在本文中，我們只考慮非冗余機(jī)器人，所以雅可比矩陣是方陣，我們將它稱之為運(yùn)動(dòng)雅可比。并聯(lián)機(jī)器人的一個(gè)特點(diǎn)是，通常很容易建立一個(gè)解析形式，然而獲得往往很困難甚至是不可能的事。要計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比，我們可能會(huì)使用的速度分析，但正如Gosselin所提到的，也可以使用閉合環(huán)路的運(yùn)動(dòng)方程來得到運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比，運(yùn)動(dòng)閉合回路方程的一般形式為因?yàn)槲覀円呀?jīng)將唉設(shè)機(jī)器人是非冗余的，而且如果它的驅(qū)動(dòng)都被鎖死，末端執(zhí)行器是不能運(yùn)動(dòng)的，所以肯定恰好存在n個(gè)這樣的方程。用微分方程表示我們可以得到利用式(1)對(duì)的限制，只要不是奇異的我們就可以得到Gosselin 和 Angeles7已經(jīng)對(duì)

6、并聯(lián)機(jī)器人奇異性問題作了初步研究，他們區(qū)分了當(dāng)是奇異時(shí)的串聯(lián)奇異（或1型）與當(dāng)是奇異時(shí)的并聯(lián)奇異（或2型）。根據(jù)這個(gè)定義，在一個(gè)并聯(lián)的奇異位置，即使驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)被鎖住末端執(zhí)行器也是可動(dòng)的。一個(gè)典型的測(cè)量誤差的例子是，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量的測(cè)量值沒有改變，而末端執(zhí)行去卻又一個(gè)位移。因此，精度分析也涉及到了奇異性分析。我們也可以定義其他的雅可比矩陣。該雅可比矩陣中包含了描述被動(dòng)關(guān)節(jié)參數(shù)中的參數(shù)。在并聯(lián)機(jī)器人中存在著大量的這樣的參數(shù)，因此將被定義為一個(gè)N維向量，其中對(duì)應(yīng)被動(dòng)關(guān)節(jié)的參數(shù)，N表示運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的總數(shù)量。一些(yxi)機(jī)器人的設(shè)計(jì)(shj)目標(biāo)是自由度小于6，其余(qy)的自由度是一個(gè)定值，末端執(zhí)行器依然是

7、一個(gè)6自由度的剛體。在優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)候需要檢查所有自由度的定位誤差。確定末端執(zhí)行去全部轉(zhuǎn)動(dòng)W的逆雅可比矩陣是很有意思的。為了確定這個(gè)逆雅可比矩陣，我們將運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉環(huán)路方程寫作：這個(gè)方程中未知數(shù)的數(shù)目是N+n。我們已經(jīng)假定當(dāng)n個(gè)驅(qū)動(dòng)器鎖定后，末端執(zhí)行器是不能運(yùn)動(dòng)的，所以在該系統(tǒng)中方程G解的數(shù)目必須是有限的，即，方程的數(shù)目必須與未知數(shù)的數(shù)目相同，都是N個(gè)。將式(6)求微分我們得到其中，A是階矩陣，B是階矩陣，C是階矩陣。Zlatanov8得出了類似的表達(dá)式，不同之處在于他使用的是受限制的旋轉(zhuǎn)，此時(shí)的可能通過來獲得。他的目的在于將式（7）化為其中，L是的矩陣。這個(gè)式子還可以寫成其中，D是的矩陣。如果D

8、是非奇異矩陣，我們就可以得到它的逆雅可比矩陣其中，是的矩陣。在大多數(shù)情況下，速度分析可以消除式（10）中被動(dòng)關(guān)節(jié)速度，從而得到之關(guān)系到和的簡(jiǎn)單雅可比關(guān)系。其中，是的矩陣，這個(gè)矩陣稱為全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比。通常的雅可比矩陣限制了從得到。式（10）中逆雅可比矩陣的重要特性是，無論末端執(zhí)行器處在什么樣的位置，逆雅可比矩陣和全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比的秩相同。Zlatanov提出(t ch)了六種他稱之為奇點(diǎn)的情況，其中式（8）沒有(mi yu)一個(gè)通用的行為。因?yàn)槲覀冎豢紤]末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)，所以我們之考慮一下的情況(qngkung)：冗余輸出（RO）：當(dāng)時(shí)，使得式（8）滿足。換句話說，即使驅(qū)動(dòng)器被鎖住，末端執(zhí)行器

9、也會(huì)運(yùn)動(dòng)（著通常叫做奇異位形）。全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可將不是滿秩。瞬時(shí)自由度增加（IIM）：當(dāng)矩陣L的秩小于N時(shí)。必須注意到，式（10）描述了一個(gè)機(jī)器人的固有特性。我們可以改變姿勢(shì)參數(shù)向量X（比如，對(duì)于有一個(gè)動(dòng)平臺(tái)的Gough機(jī)器人，可以選擇不同的X的元素，即末端執(zhí)行器上三個(gè)特定獨(dú)立點(diǎn)的九個(gè)坐標(biāo)），而得到相同的方程。我們可以進(jìn)一步拓展式（7），考慮機(jī)器人的幾何參數(shù)P（例如，Gough平臺(tái)分支定位點(diǎn)的位置）。出于這一目的，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將被寫成，矩陣P的偏導(dǎo)數(shù)G矩陣允許定位錯(cuò)誤的末端執(zhí)行器P存在一個(gè)定量誤差的影響。雖然這種影響對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人可能很重要915，但我們不去解決這個(gè)問題，不過部分影響可以通過校準(zhǔn)來

10、減少。可以看到，逆雅可比矩陣不止有一個(gè)，而是有很多。值得關(guān)注的是，就單位方面而言，涉及到末端執(zhí)行器完整扭轉(zhuǎn)W的逆雅可比矩陣元素將通常不是齊次的。因此，這個(gè)矩陣的很多特性不會(huì)因單位的改變而改變，例如它的行列式、軌跡等（如16對(duì)靈巧指數(shù)不變性的討論）。這也將是涉及到末端執(zhí)行器轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)自由度逆雅可比矩陣的情況。涉及到機(jī)器人末端執(zhí)行器移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的也是運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比矩陣的情況。最后，值得注意的是，通過二重性，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比矩陣也可應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜態(tài)分析，即，在平臺(tái)上的關(guān)節(jié)和構(gòu)件上力和力矩之間的關(guān)系17、18。在本文中，我們會(huì)關(guān)注末端執(zhí)行器在測(cè)量參數(shù)下無法被檢測(cè)到的運(yùn)動(dòng)。這將會(huì)在一下兩種情況下發(fā)生

11、：不可測(cè)量的主動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，這種用對(duì)對(duì)應(yīng)測(cè)量準(zhǔn)確性的限制Zlatanov對(duì)冗余輸出（RO）和瞬時(shí)自由度增加（IIM）的幾點(diǎn)分類為了研究這兩種情況，我們需要用到全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比而不僅僅是運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比矩陣，在例2.1中對(duì)此進(jìn)行強(qiáng)調(diào)。例2.1 3-PUP并聯(lián)機(jī)器人。Tsai4已經(jīng)提出了3移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-PUP（如圖1）。每個(gè)分支的組成為，從底部起，由一個(gè)U副連接一個(gè)由直線驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，長(zhǎng)度可變的桿，桿的另一端也是連接一個(gè)U副，該U副的軸線方向與底部U副軸線方向相同。這種約束理論上可以使末端執(zhí)行器有一個(gè)移動(dòng)自由度。通過這個(gè)例子我們可以確定全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣，并且可以看到這個(gè)雅可比矩陣的重要性。需要說明

12、的是，這樣的機(jī)構(gòu)已經(jīng)由首爾國(guó)立大學(xué)（SNU）設(shè)計(jì)出來，但在各分支長(zhǎng)度相同的姿態(tài)下，機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出奇怪的行為，雖然直線驅(qū)動(dòng)器被鎖住，末端執(zhí)行器卻表現(xiàn)出明顯的定向運(yùn)動(dòng)。對(duì)于這種現(xiàn)象有兩種可能的原因：末端執(zhí)行器的位置對(duì)制造誤差是非常敏感的。事實(shí)上，這種機(jī)器人只是理論上有三個(gè)評(píng)議自由度，因?yàn)樗蟮撞亢蛣?dòng)平臺(tái)上的U副軸線完全對(duì)齊。在實(shí)際中，這種對(duì)齊是不可能實(shí)現(xiàn)的，這樣將導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的產(chǎn)生。Han等19和Parenti-Castelli和Di Gregorio20對(duì)制造誤差對(duì)定位精度的影響進(jìn)行了研究。雖然這個(gè)機(jī)器人表現(xiàn)出了很強(qiáng)的敏感性，但是僅僅因?yàn)槊舾行赃€無法解釋SUN模型為何有如此大的轉(zhuǎn)動(dòng)。機(jī)器人處在奇

13、異(qy)位形；這是先天的缺陷(quxin)，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比矩陣(j zhn)的行列式在任何奇異的姿態(tài)都不為0。Bonev和Zlatanov21第一次將這種現(xiàn)象解釋為約束奇異。Di Gregorio和Parenti-Castelli22，Joshi和Tsai23，Wolf等24近期對(duì)此做出了相同的解釋。這個(gè)現(xiàn)象已經(jīng)成為了典型的奇異的例子，奇異僅僅通過輸入輸出速度方程無法求解，即今通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆雅可比矩陣無法解釋。首先，我們將確定全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比的解析形式。我們用來表示動(dòng)平臺(tái)上U副的中心，用表示末端執(zhí)行器的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度。點(diǎn)的速度為我們定義為分支的單位向量，為分支的長(zhǎng)度，為直線驅(qū)動(dòng)器的速度。我

14、們可以計(jì)算式（12）左右兩邊的點(diǎn)積定義為U副處兩個(gè)關(guān)節(jié)軸的單位向量，底部和動(dòng)平臺(tái)上所有U副的這些向量都是相同的。分支相當(dāng)于地步的角速度和動(dòng)平臺(tái)相當(dāng)于分支的角速度為動(dòng)平臺(tái)的角速度可以通過下式獲得定義，計(jì)算上式等號(hào)兩邊對(duì)的點(diǎn)積，我們可以得到恒等式這表明末端執(zhí)行器不能繞著通過單位向量為的直線轉(zhuǎn)動(dòng)。結(jié)合式（13）和式（14）我們可以得到設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)W的完整的速度方程建立(jinl)了全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣(j zhn)。是一個(gè)(y )的矩陣，每一列由向量組成，通過它可以推導(dǎo)出逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣。從這個(gè)矩陣中可以得到重要的信息。首先，矩陣的行都是空間線的Plcker向量。矩陣前三行是機(jī)器人分支線的Plcker

15、向量，而后三行對(duì)應(yīng)的線在無窮遠(yuǎn)處。因此，基于線性幾何的奇異性分析方法可能應(yīng)用于自由度小于6的去機(jī)器人。事實(shí)上，對(duì)于知道的所有并聯(lián)機(jī)器人，它們的全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比的行都是Plcker向量，雖然據(jù)我所知，并沒有正式的證據(jù)能夠證明永遠(yuǎn)是這樣的情況。對(duì)于精度分析而言，重要的是分析的下半部分。他們代表位于任意平面上的無窮遠(yuǎn)處的線垂直于。根據(jù)幾何關(guān)系，如果向量位于同一平面或者相互平行，則三條線相互依賴，即，。在這種情況下，鎖住驅(qū)動(dòng)器動(dòng)平臺(tái)也會(huì)有定向運(yùn)動(dòng)，由于機(jī)器人的幾何關(guān)系這個(gè)定向運(yùn)動(dòng)是極小或者有限的21。SNU設(shè)計(jì)的機(jī)器人也恰好有這樣的情況存在，驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)度相同、所有U副軸線處在水平位置時(shí)會(huì)導(dǎo)致平行垂直，因

16、此是旋轉(zhuǎn)奇點(diǎn)。3-PUP機(jī)器人又很多不同的模型（例如可能存在只有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的3-PUP機(jī)構(gòu)），Zlatanov25已經(jīng)對(duì)這些機(jī)器人的奇異性做出了廣泛的分析。這個(gè)例子表明精度分析不能夠脫離奇異性分析，還表明我們總是需要考慮全逆運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比。3. 可操縱性我們考慮了逆雅可比矩陣，現(xiàn)在來考慮另一個(gè)經(jīng)典的概念：運(yùn)動(dòng)學(xué)可操作性，其目的是量化機(jī)構(gòu)的速度傳遞能力，或者說是機(jī)構(gòu)的靈巧度。對(duì)于給定的機(jī)構(gòu)，因?yàn)樗乾F(xiàn)實(shí)的所以假設(shè)其聯(lián)合測(cè)量誤差是有界的，并且這些聯(lián)合測(cè)量誤差將導(dǎo)致定位誤差。聯(lián)合測(cè)量誤差所給定的界限的誤差會(huì)導(dǎo)致位置誤差，又由于式（11）是線性的界限的范數(shù)可以任選，所以一個(gè)簡(jiǎn)單的定比就能確定定位誤差。這

17、個(gè)界限通常選擇為1，所以可進(jìn)一步推導(dǎo)出如果使用歐幾里得范數(shù)，式（16）代表一個(gè)在聯(lián)合誤差空間里的圓。通過矩陣，這個(gè)圓映射成廣義坐標(biāo)誤差空間的一個(gè)橢圓。一般來說，映射可以將聯(lián)合誤差空間的超球轉(zhuǎn)換為廣義坐標(biāo)空間的橢圓，通常叫做可操縱性橢球。這種情況在很多書本中都可以看到，對(duì)這種情況的經(jīng)典的幾何解釋在二維情況下給出，如圖2。一般說來，橢圓的形狀和尺寸在聯(lián)合空間誤差和廣義坐標(biāo)誤差之間是指數(shù)放大的。更確切地說，橢圓主軸的長(zhǎng)度分別是矩陣特征值的最大值和最小值，并且主軸的長(zhǎng)度被看作是最小和最大速度的放大倍數(shù)。這些長(zhǎng)度越接近，可操作性橢球越接近一個(gè)圓。為了評(píng)估這些接近程度，Yoshikawa26提出了一個(gè)串聯(lián)

18、機(jī)器人的可操作性指數(shù)對(duì)應(yīng)(duyng)的橢球的一半(ybn)軸長(zhǎng)度(chngd)的乘積。實(shí)際上，在式（16）中使用歐幾里得范數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的。這就意味著，如果其中一個(gè)聯(lián)合測(cè)量誤差是1，那么其他的聯(lián)合誤差就恰好是0。適當(dāng)?shù)姆稊?shù)是無窮的范數(shù)，這也就規(guī)定了聯(lián)合誤差的絕對(duì)值有獨(dú)立的邊界1。有了這個(gè)范數(shù)，式（16）可以代表聯(lián)合誤差空間中的一個(gè)n維空間，此時(shí)的聯(lián)合誤差空間已經(jīng)映射到多面體操作空間中的，這個(gè)空間包括廣義坐標(biāo)誤差空間的可操作橢球。圖2給出了在二維情況下的映射。使用可操作橢球在整個(gè)工作空間中得到具有恒定放大倍數(shù)的完美映射時(shí)可能的。在可操作多面體的情況下，沒有其他更多的情況了。必須注意的是，除了更現(xiàn)實(shí)

19、意外，由無窮范數(shù)映射到出幾何對(duì)象，比用橢球更容易操作。例如，末端執(zhí)行器處在不同的兩個(gè)位姿時(shí)，可能得到相同的末端速度。出于這一目的，我們將計(jì)算兩個(gè)多面體的交叉點(diǎn)以獲得這兩個(gè)姿勢(shì)，這是一個(gè)著名的計(jì)算幾何問題，比計(jì)算兩個(gè)橢球的交集更容易。最后，應(yīng)注意到吉川可操作度指數(shù)表征的是可操作多面體的體積。但可操作度的概念的主要缺點(diǎn)是，它混合任意平移和轉(zhuǎn)動(dòng)能力，另一方面它對(duì)于不同單位的選擇是變化的。因此，可操作度已經(jīng)把雅可比的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)部分分開了，并且計(jì)算每一部分的可操作度指數(shù)。但是這種估算涉及到平移和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的放大系數(shù)的計(jì)算方法不能讓人滿意。4條件數(shù)沿著可操作性多面體一個(gè)給定的軸線方向時(shí)，大尺寸會(huì)造成很大的放

20、大誤差。因此非常有必要來量化這種放大系數(shù)。讓我們考慮線性系統(tǒng)其中，是階的運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣。這個(gè)式子表明了錯(cuò)誤的放大系數(shù)是如何使得中的相對(duì)誤差成倍增加的，并且導(dǎo)致X的相對(duì)誤差。這個(gè)式子在一定程度上表征了機(jī)器人的靈巧度，并且提出了一個(gè)性能指標(biāo)。我們用一個(gè)范數(shù)來表示可進(jìn)一步得到誤差放大因子稱為條件數(shù)，定義為因此，條件數(shù)依賴于矩陣范數(shù)的選擇。最常用的規(guī)范有：兩個(gè)范數(shù)定義為，矩陣最大特征值的平方根：的條件數(shù)是最大、最小特征值比值的平方根。定義(dngy)階矩陣(j zhn)A，Euclidean（或Frobenius）范數(shù)可定義為或者(huzh)等價(jià)為：如果是的特征值，則條件數(shù)為和的比值。注意，有時(shí)也可

21、用加權(quán)Frobenius范數(shù)，其中用替代，W是權(quán)重矩陣，目的是“規(guī)范化”矩陣的組成。對(duì)于這兩個(gè)范數(shù)，條件數(shù)最小的可能值為1。也會(huì)常常用到條件數(shù)的倒數(shù)，其取值范圍是。無論范數(shù)取什么值，值為0時(shí)表示逆雅可比矩陣是奇異的。規(guī)定范數(shù)的必要性和選擇范數(shù)引起的變化，會(huì)在這一節(jié)后面給予說明，我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的串聯(lián)直角X-Y工作臺(tái)說明這點(diǎn)。有一種范數(shù)是無窮范數(shù)，定義為矩陣行的和的最大值，行的和為每行元素絕對(duì)值的和。如果我們定義一個(gè)坐標(biāo)系，使其坐標(biāo)軸方向與直線驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)方向相同，則機(jī)器人的雅可比矩陣的條件數(shù)用無窮范數(shù)就為1。現(xiàn)在我們沿著垂直軸使參考系旋轉(zhuǎn)45度；雅可比矩陣的行將變成，其無窮范數(shù)的條件數(shù)為2。因此，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析，每個(gè)矩陣范數(shù)都是相等的說法是不確切的。條件數(shù)用單一的數(shù)字來描述機(jī)器人的整體運(yùn)動(dòng)學(xué)行為是有主要優(yōu)勢(shì)的。它作為一個(gè)指數(shù)來描述下列情況：機(jī)器人的靈巧度和精度27-29。奇異位形的接近程度30-32。一般來說，給一個(gè)具有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由的的機(jī)器人的奇異性下一個(gè)數(shù)學(xué)程度的定義是不可能的。因此，使用條件數(shù)比用其他任何指數(shù)都有效。作為一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)器人比較的性能標(biāo)準(zhǔn)33-41。作為一個(gè)確定機(jī)器人有效工作區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)42。條件數(shù)的定義很明顯地表明，我們無法計(jì)算位姿參數(shù)的函數(shù)解析形式，除非這個(gè)機(jī)構(gòu)很簡(jiǎn)單，不過，對(duì)于給定的位姿，魯棒線性代數(shù)軟件可以計(jì)算它的數(shù)值。然而，