1、專題5對稱法.方法介紹由于物質世界存在某些對稱性，使得物理學理論也具有相應的對稱性，從而使對稱現象普遍存在于各種物理現象和物理規律中.從某種意義上講，物理學的每一次重大突破都有美學思想在其中的體現.應用這種對稱性不僅能幫助我們認識和探索物質世界的某些基本規 律，而且也能幫助我們去求解某些具體的物理問題，這種思維方法在物理學中稱為對稱法.物理中對稱現象比比皆是，對稱的結構、對稱的作用、對稱的電路、對稱的物像等等.一般 情況下，對稱表現為研究對象在結構上的對稱性、物理過程在時間上和空間上的對稱性、物理量在分布上的對稱性及作用效果的對稱性等.用對稱性解題的關鍵是敏銳地抓住事物在某一方面的對稱性，這些

2、對稱性往往就是通往答案的捷徑，利用對稱法分析解決物理問題，可以避免復雜的數學演算和推導，直接抓住問題的實質，出奇制勝，快速簡便地求解問題.例題精講.對稱法在靜力學中的應用在靜力學中，若結構具有對稱性，則受力就具有對稱性，我們可以利用對稱法進行思維， 簡化運算.物體做平拋運動例1 .如圖1所示，有n個大小為F的共點力，沿著頂角為120。的圓錐體的母線方向. 相 鄰兩個力的夾角均相等.求這n個力的合力大小.【解析】 將每個力沿圓錐體的對稱線方向和平行于底面的方向分 解，得到n個沿著對稱線方向的分力和 n個平行于底面方向的分力.每 個沿著對稱線方向的分力大小都等于F,所以n個沿著對稱線方向的2nF

3、分力的合力大小為 .另一萬面，由于對稱性，n個平行于底面萬向2的分力的合力為零.所以本題所求n個力的合力大小等于 .2.對稱法在拋體運動中的應用物體做斜拋運動時，其向斜上運動階段和向斜下運動階段具有對稱性.時，若碰撞到豎直的障礙物后反彈（沒有機械能損失），則小球與豎直的障礙物碰撞前后的速度v和v關于墻壁對稱，碰撞后的軌跡與無豎直的障礙物時小球做平拋運動的軌跡關于豎 直的障礙物對稱.現討論乒乓球發球問例2.拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動.題，設千臺長2L、網高h,乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力.（設重力加速度為 g）圖

4、2A（1）若球在球臺邊緣 O點正上方高度為 處以速度V1水平發出，落 在球臺的R點（如圖2中實線所示），求R點距O點的距離X1.（2）若球在 O點正上方以速度 V2水平發出，恰好在最高點時越過球 網落在球臺的 心點（如圖2中虛線所示），求V2的大小.（3）若球在O點正上方水平發出后， 球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣F3處，求發球點距 O點的高度h.【解析】（1）設發球時飛行時間為，根據平拋運動規律h1 = gt12, X1=V1t 1,2聯立解得Pi點距O點的距離xi=vi2n(2)設發球高度為h2,飛行時間為t2,同理根據平拋運動規律h2= 1gt22, X2=V2t 2,2且

5、h2=h,2x2= L聯立解得v2 = L2(3)如圖2B所示，發球高度為 h3,飛行時間為t3,同理根據平拋運動規律得,h3=gt32/2 , , X3=V3t 3且 3X3=2L設球從恰好越過球網到最高點的時間為t,水平距離為s,有h3h=gt 2/2 , s=V3t ,由幾何關系知，X3+s=L4聯立上述6式解得h3=-h3.對稱法在簡諧運動中的應用物體做簡諧運動時，其物體在平衡位置兩側的位移、加速度、回復力、動能、勢能和速度的大小關于平衡位置具有對稱性.例3如圖3所示，輕彈簧的一端固定在地面上，另一端與木塊B相連，木塊 A放在木塊B上，兩木塊質量均為 m ,在木塊A上施有豎直向下的力

6、F,整個裝置處于靜止狀態.(1)突然將力F撤去，若運動中 A B不分離，則A、B共同運動到最高點時， B對A的彈 力有多大？(2)要使A、B不分離，力F應滿足什么條件？【解析】力F撤去后，系統作簡諧運動，該運動具有明顯的對稱性，該題利用最高點與最低點的對稱性來求解，會簡單得多.(1)最高點與最低點有相同大小的回復力，只是方向相反，這里回復力是合外力.在最低點，即原來平衡的系統在撤去力F的瞬間，受到的合外力應為 F,方向豎直向上；當到達最高點時，系統受到的合外力也應為F,方向豎直向下，A受到的合外力為1F,方向向下，考慮到重力的存在，所以B對A的彈力為mg - F22(2)力F越大越容易分離，討

7、論臨界情況，也利用最高點與最低點回復力的對稱性.最高點時 A、B間雖接觸但無彈力， A只受重力，故此時回復力向下，大小為mg那么，在最低點時，即剛撤去力F時，A受的回復力也應等于 mg但根據前一小題的分析，此時回復力為 1 F ,這就是說1F=mg則F = 2 mg因此，使A、22B不分離的條件是 FW 2 mg.對稱法在電場中的應用等量異號(或同號電荷)的電場具有對稱性.帶帶電薄板和點電荷的電場都具有對稱性.電量相等的異號帶電粒子在同一電場中運動軌跡具有對稱性.例4.如圖4,帶電量為+q的點電荷與均勻帶電薄板相距為2d,點電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心.若圖中a點處的電場強度為零， 根

8、據對稱性，帶電薄板在圖中b點處產生的電場強度大小為,方向.(靜電力恒量為k)【解析】均勻帶電薄板在ab兩對稱點處產生的電場強度大小相等、方向相反，具有對稱性.點電荷+q在a點處產生的電場強度由點電荷電場強度公式可得=kq/d2,方向向左.題述帶電薄板和點電荷+q在a點處的合電場強度為零，因此帶電薄板在a點處產生的電場強度為E= Eq=kq/ d2,方向垂直于薄板向右.根據對稱性，帶電薄板在b點處產生的電場強度為巳=卜4/：方向垂直于薄板向左.例5.如圖甲所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，場強為E,在圓周平面內，將一帶正電q的小球從a點以相同的動能拋出， 拋出方向不同時，小

9、球會經 過圓周上不同的點，在這些所有的點中，到達 c點時小球的動能最大.已知/ cab=30,若 不計重力和空氣阻力，試求：(1)電場方向與直徑 ab間的夾角。；(2)若小球在a點時初速度方向與電場方向垂直 ，小球恰好能落在c點，則初動能為多少？【解析】由于從a點以相同的初動能沿不同方向拋出的小球到達圓周上的各點時，其中到達c點的小球動能最大，因此過 c點的切線一定是等勢線，由此可以確 定電場線的方向，至于從a點垂直于電場線拋出的小球可按類平拋運動處理.(1)用對稱性判斷電場的方向：由題設條件，在圓周平面內，從a點以相同的動能向不同方向拋出帶正電的小球，小球會經過圓周上不同的點，且以經過c點時

10、小球的動能最大，可知，電場線平行于圓平面.又根據動能定理，電場力對到達c點的小球做功最多，為qUc.因此IL最大，即c點的電勢比圓周上任何一點的電勢都低.又因為圓周平 面處于勻強電場中，故連接 Og圓周上各點白電勢對于 Oc對稱(或作過c點且與圓周相切 的線cf是等勢線)，0c方向即為電場方向(如圖乙所示)，它與直徑ab的夾角為60. (2)小球在勻強電場中做類平拋運動.小球沿垂直于電場方向拋出,為m在垂直于電場線方向，有：x =vt 在沿電場線方向，有 y = 1 at 22由圖中幾何關系可得：x = R3os30 y =R1 十 cos60)且：a= qE m將、式代入、兩式解得:所以初動

11、能：Ek= 1 mv2 =生艮.28.對稱法在磁場中的應用2v =qER4m設其初速度為v,小球質量圈乙其軌跡具有對稱性.若粒子仍當帶電粒子以一定的角度進入邊界為直線的勻強磁場中, 從該邊界射出，則射出磁場時的速度方向與磁場邊界的夾角和射入磁場時的速度方向與磁場 邊界的夾角相等.例6.如圖所示，正方形勻強磁場磁區邊界長為a,由光滑絕緣壁圍成. 質量為m電量為q的帶正電的粒子垂直于磁場方向和邊界，從下邊界的正中央的Aa孔射人磁區中，粒子和壁碰撞時無能量和電量損失，不計重力和碰壁時間，設磁感應強度的大小為 B,粒子在磁場中運動半徑小于a,欲使粒子仍能從 A孔射出，粒子的入射速度應多大？在磁場中的運

12、動時間是多少 ？并在下面框中畫出軌跡圖.【解析】本題的關鍵在于頭腦中要建立粒子運動的對稱圖景.其運動圖景（最基本）可分為兩類，第一類由圖1所示.由圖中的幾何關系得 a=（4n+2）R, （n=0、1、2、3 ）,a解得 R=, （n=0、1、2、3 ）4n 22帶電粒子在勻強磁場中運動洛侖茲力提供向心力，qvB=m,RR=mv qB聯立解得粒子的入射速度應為v= 一qBa一，2二 R 2 二m又丁 =qB2m 2n 12（4n+1）二 m在磁場中的運動時間是 t=（4n+1）T =- ,（n=0、1、2、3 ）.qB第二類如圖2所示，帶電粒子的軌道半徑R=3, （k=1、2、3 ）4k ,2

13、帶電粒子在勻強磁場中運動洛侖茲力提供向心力，qvB=m , R=mv,R qB聯立解得粒子的入射速度應為 v =史,4km2二 R 2二 m又T =v qB在磁場中的運動時間是 t=2kT+叁= 4（n +2）km, （k=1、2、3 ）. v qB欣賞粒子的運動軌跡組成了一幅美麗的窗簾，可謂巧奪天工！物理學家溫伯格說：“目前物理學中最有希望的探索方法就是透過現象世界與表層結構的迷霧去發現隱藏在事物深處的對稱性”.由此可見，對稱性思想在物理學中的應用是廣泛的，也是很重要的，所以我們在平時的生活和學習中要逐漸培養美學思維能力.對稱法在電磁感應中的應用例7.如上圖甲所示，在半徑為 的圓柱形區域內，

14、充滿與圓柱軸線平行的勻強磁場，長為3 r的金屬棒MNW磁場方向垂直地放在磁場區域內 ，棒的端點 吊他在磁圖甲B 場邊界的圓周上，已知磁感應強度 B隨時間均勻變化，其變化率為=k，求M時產生的.：t電動勢為多大？【解析】由題可知，MNh有感應電動勢， 這種感應電動勢無法直接計算，但如果注意MN的長為J3r,結合題意，可虛構兩根與 MN完全相同的金屬棒與 MN$一起剛好構成圓的內接正三角形，如圖乙所示；由法拉第電磁感應定律，這一回路中的感應電動勢E 二大后Y由對稱性可知，MN的感應電動勢是整個回路中電動勢的所以:E mn=J*34三.針對訓練1 .如圖所示,A、B為豎直墻面上等高的兩點，AO BO

15、為長度相等的兩根輕繩， C。一根輕桿，轉軸C在AB中點D的正下方，AOBS同一水平面內，ZAOB120 , Z COD60O點處懸掛一個質量為 m的物體，系統處于平衡狀態，則：A .繩AO所受的拉力Fi為Zmg B.繩BO所受的拉力F2為 mg 33C .桿OC/f受的壓力F3為 mg D .桿OCM O點的支持力F4為43mg 33.如圖所示，相對的兩個斜面，傾角分別為37和53,在頂點把兩個小球以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在足夠長的斜面上.若不計空 氣阻力，則 A、B兩個小球在空中運動的時間之比(sin 37 = 0.6 , COS 53= 0.8)A. 1:l B

16、. 4:3C.16:9 D.如圖所示，兩塊相同的豎直木板 A B之間有質量均為 m的四塊相同的醇，用 兩個大小均為F的水平力壓木板，使穆靜止不動，設所有接觸面間的動摩擦系數為 科, 則第二塊磚對第三塊磚的摩擦力的大小為A.0 B . mg C .叱F D . 2mg. 一根自由長度為10 cm的輕彈簧，下端固定，上端連一個質量為m的物塊P,在P上放一個質量也是 m的物塊Q系統靜止后，彈簧長度為 6 cm,如圖11所示.如果迅 速向上移去Q,物塊P將在豎直方向做簡諧運動，此后彈簧的最大長度為A. 8 cm B . 9 cm C . 10 cm D .11 cm.如上圖所示，一塊均勻的半圓形薄電阻

17、合金片，將它按圖甲方式接在電極A、B之圖11間，其電阻為R將它按圖乙方式接在電極 G D之間，求其電阻值.(電極電阻忽略不計)BD, 圖a圖甲圖乙.沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A,拋出點離水平地面的高度為h,距離墻壁的水平距離為s,小球與墻壁發生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s,如圖a所示.求小球拋出時的初速度.如圖所示，在空間中的 A、B兩點固定著一對等量正點電荷，有一帶電微粒在它們產 生的電場中運動，設帶電微粒在運動過程中只受到電場力的作用，帶電微粒在電場中所做的運動可能是：A.勻變速直線運動 B .勻速圓周運動 C .類似平拋運動 D .機械振動

18、現有某同學分析如下：帶電粒子在電場中不可能做勻變速直線運動與類似平拋運動，因為帶電粒子在電場中不可能受到恒定的外力作用，所以A、C是錯誤的，也不可能做勻速圓周運動，因為做勻速圓周運動的物體所受的合外力始終指向圓心充當向心力，圖示中兩點電荷所產生的電場不可能提供這樣的向心力，所以B也是錯誤的.只有 D正確，理由是在 AB連線中點O兩側對稱位置之間可以做機械振動.你認為該同學的全部分析過程是否有錯 ？若沒有錯，請說明正確答案 D成立的條件； 若有錯，請指出錯誤并說明理由.如圖所示，在水平方向的勻強電場中，用長為 l的絕緣細線，拴住質量為 m帶電量 為q的小球，線的上端 O固定，開始時將線和球拉成水平，松開后，小球由靜止開始向下擺d的A處放有帶電量為-q的動，當擺過600角時，速度又變為零.求:(1)A、B兩點的電勢差 Ub多大？(2)電場強度多大？.如圖所示為一塊很大的接地導體板，在與導體板相距為點電荷.(1)試求板上感應電荷在導體內P點產生的電場強度;(2)試求感應電荷在導體外 P點產生的電場強度(P與P點對導體板右表面是對稱的 );(3)在本題情形，試分析證明導體表面附近的電場強度的方向與導體表面垂直；(4)試求導體上的感應電荷對點電荷-q的作用力.設在地面上方的真空室內，存在勻強電場和勻強磁場.已知電場強度和磁感應強度的方向是相同的，電場強度的大小E