1、第5章 流動性風險管理.在股票價錢服從幾何布朗運動的假設下，同時思索了股票動搖性、股票流動性、投資者變現行為、頭寸規模等要素對投資者所面臨市場風險的影響，并允許投資者選擇恣意的目的頭寸規模，而且，目的所用到的參數都可以利用實證數據進展測算，設計思索內生流動性風險的VaR這一目的，較好的實現了實際研討與實際運用的銜接。 .首先給出思索內生流動性風險的VaRLiquidity risk incorporated Value at Risk，的定義：定義 1 思索內生流動性風險的VaR是指給定置信程度和持有期，投資者采用某種買賣戰略對一定頭寸規模的資產進展變現時的最大變現損失.從以上定義可以看出，影

2、響VaR的要素，如資產動搖性、相關性等，都會對思索內生流動性風險的VaR這一目的產生影響；另外，該目的還與投資者所采用的買賣戰略和頭寸規模親密相關；并且下面的分析還將闡明，資產的流動性也將對目的值產生重要影響，而這幾個要素在傳統的VaR中都是被忽略的。 流動性的影響主要經過其對變現損失的影響來實現的.對于一名投資者而言，假設他被迫在較短時間內變現其資產，那么其資產價值在變現前后的差值，即執行本錢，也將遭到動搖性風險和流動性風險兩方面要素的影響，而本質上是在一定置信程度下的最大變現損失。 .這樣, 的計算可以歸結為投資者資產價值在變現前后差值的計算，因此在給出 之前將首先計算執行本錢；另外，為直

3、觀起見，將從組合中只包括單種股票的特殊情況出發，計算執行本錢，而后推行至多種股票的情況。 . 離散時間 幾何布朗運動算術布朗運動. 延續時間幾何布朗運動算術布朗運動.5.1 算術布朗運動情況下的模型 1、模型的有關假設 思索一名投資者在當前零時辰持有一種股票，其頭寸為 ，他對該股票預備長期持有的保管頭寸為 ，一旦由于外生沖擊不得不變現股票時，投資者將會在持有期第 個買賣日終了時仍持有股票頭寸，即將在持有期內變現 X-Y 的股票。.將(0,T)期間等分為K個足夠小區間，每個區間長度為 ，定義在 時辰，k=1,，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。那么在零時辰，股票頭寸為x(0)=X，在T時辰，

4、股票頭寸為x(K)=Y。 .顯然，投資者可以經過選擇在 時辰持有的股票頭寸來確定買賣戰略，從而可以將在變現期(0,T)期間隨時間變化的股票頭寸x(k)等價于投資者的買賣戰略，同時定義在 期間內頭寸變化為 ，買賣速度 ，那么買賣速度 同樣也可以等價為買賣戰略。.假定在0，T期間股票價錢 ， ，服從無漂移的算術布朗運動： 1其中 為在 期間內股價的變動。 .3 買賣對價錢沖擊的引入 當投資者對組合中的股票進展繼續的賣出買賣時，股票價錢將接受向下的價錢沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的平衡價錢發生改動，在股票價錢決議的模型中表現為價錢運動的微分方程中添加一負向漂移項；

5、.瞬時沖擊使得股票的供應和需求在瞬間出現不平衡，股票成交價錢與買賣前的市場價錢存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達，股票價錢就會回到原來的平衡程度。 .記 為永久沖擊系數，表示每出賣一單位的股票使得股票平衡價錢下降的幅度，同時假定永久沖擊系數在變現期間為常數，且永久價錢沖擊為線性的，得到新的價錢運動微分方程： 2 .式2中右邊第一項 即為投資者的賣出買賣引發股票平衡價錢的改動，可以看出買賣對價錢的永久沖擊與期間內投資者的頭寸變化 成正比，比例系數為 。那么在時辰 ，股票價錢為： 3 .瞬時沖擊使買賣者的成交價錢 與股票在該時辰的價錢 之間存在一個差額，記 為瞬時沖擊系數，表示每出賣一

6、單位的股票在瞬間推進股票價錢下降的幅度，同樣假定該系數在變現期間不發生改動，且瞬時價錢沖擊為線性的，得到： 4.式4中右邊第二項 即為投資者的賣出買賣使成交價錢和市場價錢之間出現的差別，可以看出這一差別與單位時間內頭寸的變化 成正比，比例系數為 。 .那么在時辰 ，買賣者的成交價錢為： 5 .式3闡明，變現過程中股票價錢由兩部分組成：第一部分為初始時辰的股票價錢，第二部分為買賣對價錢的累計永久沖擊成分；式中5顯示，瞬時沖擊只會在瞬間影響買賣者的成交價錢。 .3、變現損失的計算 投資者變現股票時，在任一 時間區間內，其所持有現金的變化量 為股票頭寸的變動量與成交價錢之間的乘積： 6 .將式5代入

7、式6，得： 7 .在整個變現期間0，T)，投資者所持有現金的變化量為： (8) .在 T 時辰，投資者剩余頭寸的價值為： (9) .定義投資者執行本錢 EC 為期初資產總值與期末資產總值之差： (10).將式(8)、(9)代入式(10)： (11) . 由式(11)可以看出，投資者的執行本錢是一個與買賣戰略 ， ，有關的隨機變量。 至此，我們曾經得到在單種股票情況下投資者執行本錢的表達式。下面，我們將在股票價錢服從幾何布朗運動的情況下計算投資者的執行本錢 。 .5.2 單種股票情況下的執行本錢 1、模型的有關假設 思索一名投資者在當前零時辰持有一種股票，其頭寸為 ，他對該股票預備長期持有的保管

8、頭寸為 ，一旦由于外生沖擊不得不變現股票時，投資者將會在持有期第個買賣日終了時仍持有股票頭寸，即將在持有期內變現 X-Y 的股票。.將(0,T)期間等分為K個足夠小區間，每個區間長度為 ，定義在 時辰，k=1,，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。那么在零時辰，股票頭寸為x(0)=X，在T時辰，股票頭寸為x(K)=Y。 .顯然，投資者可以經過選擇在 時辰持有的股票頭寸來確定買賣戰略，從而可以將在變現期(0,T)期間隨時間變化的股票頭寸x(k)等價于投資者的買賣戰略，同時定義在 期間內頭寸變化為 ，買賣速度 ，那么買賣速度 同樣也可以等價為買賣戰略。.假定在0，T期間股票價錢 ， ，服從無漂移

9、的幾何布朗運動： 12其中 為在 期間內股價的變動。 .2、買賣對價錢沖擊的引入 當投資者對組合中的股票進展繼續的賣出買賣時，股票價錢將接受向下的價錢沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的平衡價錢發生改動，在股票價錢決議的模型中表現為價錢運動的微分方程中添加一負向漂移項；.瞬時沖擊使得股票的供應和需求在瞬間出現不平衡，股票成交價錢與買賣前的市場價錢存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達，股票價錢就會回到原來的平衡程度 . 記 為永久沖擊系數，表示每出賣一單位的股票使得股票平衡價錢下降的幅度，同時假定永久沖擊系數在變現期間為常數，且永久價錢沖擊為線性的，得到新

10、的價錢運動微分方程：13.式13中右邊第一項 即為投資者的賣出買賣引發股票平衡價錢的改動，可以看出買賣對價錢的永久沖擊與期間內投資者的頭寸變化 成正比，比例系數為 。.那么在時辰 ，股票價錢為： 14 .瞬時沖擊使買賣者的成交價錢 與股票在該時辰的價錢 之間存在一個差額，記 為瞬時沖擊系數，表示每出賣一單位的股票在瞬間推進股票價錢下降的幅度，同樣假定該系數在變現期間不發生改動，且瞬時價錢沖擊為線性的，得到： 15.式15中右邊第二項 即為投資者的賣出買賣使成交價錢和市場價錢之間出現的差別，可以看出這一差別與單位時間內頭寸的變化 成正比，比例系數為 。 .那么在時辰 ，買賣者的成交價錢為： 16

11、 .式14闡明，變現過程中股票價錢由兩部分組成：第一部分為初始時辰的股票價錢，第二部分為買賣對價錢的累計永久沖擊成分；式中16顯示，瞬時沖擊只會在瞬間影響買賣者的成交價錢。 .3、變現損失的計算 投資者變現股票時，在任一 時間區間內，其所持有現金的變化量 為股票頭寸的變動量與成交價錢之間的乘積： 17 .將式16代入式17，得： 18 .在整個變現期間0，T)，投資者所持有現金的變化量為： (19) .在 T 時辰，投資者剩余頭寸的價值為： (20) .定義投資者執行本錢 EC 為期初資產總值與期末資產總值之差： (21).將式(19)、(20)代入式(21)： (22) . 由式(22)可以

12、看出，投資者的執行本錢是一個與買賣戰略 ， ，有關的隨機變量。 至此，我們曾經得到在單種股票情況下投資者執行本錢的表達式。下面，我們將在組合中包含多種股票的情況下計算投資者的執行本錢，以便為一致計算 作好預備。.5.3 多種股票情況下的執行本錢 1、模型的有關假設思索一名投資者在零時辰持有由N種股票組成的組合， 為第n種股票的頭寸規模，那么該投資者的初始組合為 。他對組合中股票預備長期持有的頭寸為 ，一旦由于外生沖擊不得不變現股票時，投資者將會在持有期第T個買賣日終了時堅持組合的頭寸為 。 .定義在 時辰， ， ，該投資者持有的組合頭寸為 。那么在0時辰，組合頭寸為，在 T 時辰，組合頭寸為

13、。 .由于投資者可以經過選擇在 時辰持有的組合頭寸來確定買賣戰略，從而可以將在變現期(0,T)期間隨時間變化的組合頭寸 等價于投資者的買賣戰略，同時定義買賣速度 ，它也可以等價為買賣戰略。 .假定組合中的股票價錢服從無漂移的規范 N 維幾何布朗運動 (23).其中 ， ，表示組合中第 i 種股票在 期間內價錢變動， ， ，為矩陣 中的元素，矩陣A滿足：C為組合中證券收益的方差協方差矩陣。 .那么在 時辰，投資者所持有組合的價錢向量為： (24).2、買賣對價錢沖擊的引入 與組合中只需一種股票的情況類似，首先引入買賣對價錢的永久沖擊， ， 分別為組合中第 i 種股票的永久沖擊系數，并假定永久沖擊

14、系數在變現期間為常數，價錢沖擊方程為線性的，得到新的價錢運動微分方程： . (25).那么當引入買賣對價錢的永久沖擊后， 時辰投資者所持有組合的價錢向量為： (26) .同樣引入買賣對價錢的瞬時沖擊，瞬時沖擊將使買賣者的成交價錢 與股票在該時辰的價錢 之間存在一個差額，記 ， ，為瞬時沖擊系數，同樣假定該系數在變現期間不發生改動，價錢沖擊方程為線性的，得到： (27) .3、變現損失的計算 投資者變現股票時，在任一 時間區間內，其所持有現金的變化量 為股票頭寸的變動量與成交價錢之間的乘積： (28) .那么在整個變現期間，投資者可以獲得的現金總量為： (29).在T時辰，剩余頭寸的價值為 ，定

15、義投資者的執行本錢EC為期初資產總值與期末資產總值之差： (30) .由式(31)可以看出，投資者的執行本錢是與買賣戰略 ， ，有關的隨機變量。 .5.4 的一致表達式 由于5.2節中單種股票的情況是5.3節中多種股票情況的特例，故下面將只給出多種股票情況下 的表達式，該表達式即為 的一致表達式。 .令該投資者執行本錢的期望和方差分別為EEC和VEC，那么在置信程度1- 、持有期T下，該投資者采用買賣戰略 ， ，將證券頭寸由 降至 時的最大能夠損失為： (31) 其中 為概率分布的 分位數。 .式(31)所定義 的即為在置信程度 、持有期T下，思索內生流動性風險的 Liquidity risk

16、 incorporated Value at Risk, ： (32) .5.5 與 的一致性 在本章的開場曾經指出，本章所提出的 與 最大的差別在于 引入了流動性風險，即思索了投資者在未來變現時的執行本錢。顯然，直觀上講，當投資者在未來時辰不需求變現時， 該當與 相等。下面將驗證 能否具有這一特性。 .假設投資者在未來時辰不需求變現，此時投資者的初始頭寸應等于剩余頭寸，即 ；并且投資者在(0,T)期間組合頭寸堅持不變，有： (33).將式(33)代入思索永久沖擊證券價錢的表達式(26)，得到： (34) .將式(34)和成交價錢表達式(27)代入期末所得到現金總量的表達式(29)，得到： T

17、C=0 (35) .將式(34)、(35)代入執行本錢的表達式(30)，得到 : (36).從式(36)可以看出，當投資者在未來不需求變現時，執行本錢等于期初和期末由于證券價錢變動所導致的組合價值變化，該執行本錢的期望和方差為： EEC=0 (37) . (38)將式(37)、(38)代入(31)的表達式，得到： (39) .此時,LrVaR 等于組合價值變化的規范差乘以 ，而這一表達式恰恰與VaR 的表達式一樣！即，當投資者在未來時辰不需求變現時，LrVaR 與 VaR 等價。 .需求指出的是，雖然LrVaR 比VaR 多思索了內生流動性風險，但LrVaR 并不一定比VaR 大！這是由于：

18、LrVaR 思索了未來變現時的執行本錢，而VaR 忽視了該項本錢，從這一點而言， LrVaR 應比VaR 大；.但是LrVaR 同時思索了未來變現過程中頭寸減少導致投資者組合整體動搖性風險的降低，而VaR 一直假定投資者持有初始頭寸，會將變現過程中曾經變現那部分頭寸的動搖性風險也計算在內，高估了投資者所面臨的動搖性風險。 .這樣， LrVaR 和VaR 之間的相對大小是不能確定的。甚至當欲變現的頭寸動搖性較高時， VaR 所高估的動搖性風險會高于LrVaR 所額外思索的執行本錢，從而使得LrVaR 小于VaR ，在下面的分析中將可以看到這一點。 .5.6 延續時間框架下的度量模型 .在5.2中

19、，我們假定證券服從幾何布朗運動。現實上，當證券價錢動搖不大、變現期較短時，可以對這一假設作出簡化，假定證券服從算術布朗運動。在下面的分析中可以看到，這一簡化為最優戰略的求解，尤其是解析求解，帶來極大的便利 。.1、 相關設定與假設思索一名投資者在初始零時辰持有一種證券的頭寸為 X ，他對該股票預備長期持有的保管頭寸為 Y ，一旦由于外生沖擊不得不變現股票時，投資者將會在持有期第 T 個買賣日終了時仍持有股票頭寸Y，即將在持有期內變現 X-Y 的股票。 .定義在 t 時辰， ，投資者持有的頭寸為x(t)，證券的價錢為p(t)，那么有： 由于投資者可以經過選擇在t 時辰持有的組合頭寸來確定買賣戰略，從而可以將在變現期(0，T)期間隨時間變化的組合頭寸x(t)等價于投資者的買賣戰略。 .定義買賣速度為： 假定證券價錢p(t)服從無漂移的規范幾何布朗運動： (40). 由于本文只思索短期內的變現，變現前后價錢變動差額相對較小，從而可以將價錢服從的幾何布朗運動近似為其服從算術布朗運動，即令 其中， 為證券在零時辰的價錢， 為原始動搖率，那么 在變現期內也為常數。為簡便起見，下文直接將 作為動搖率。那么式可化為： (41) .2、 引入買賣對價錢的沖擊 首先引入買賣對價錢